2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学5月期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 1 卷 (选择题 共 58 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知复数 z 满足 zi=2+i ( i 是虚数单位)，则 z 的虚部为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2. 已知 O 为坐标原点， A1,2 ， B5,1 ，则 △OAB 的重心坐标为
A. 3,32 B. 6,3 C. 2,1 D. 3,3
3. 设 a,b 为非零向量，则 “ aa=bb ” 是 “ a=b ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，在 △ABC 中， AB=3AD ， CE=ED ，设 AB=a ， AC=b ，则 AE=

A. 13a+12b
B. 14a+12b
C. 15a+12b
D. 16l+12b
5. 在 △ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积为 S ,若 b2+c2=a2+2S ,则 tanA=
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
6. 已知 △ABC 中, AB=AC=AB+AC ,则 BC 在 BA 上的投影向量为
A. 32BA B. −32BA C. 3BA D. −3BA
7. 在 △ABC 中, a,b 分别为内角 A,B 的对边,若 atanB+btanAa+b=tanAtanB ,则 △ABC 的形状一定是
A. 等腰三角形 B 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
8. 已知点 A 在线段 BC 上 (不含端点), O 是直线 BC 外一点，且 OA=2xOB+yOC ，则 1x+1−yy+2 的最 - 小值是
A. 4 B. 85 c. 35 D. 2
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分.
9. 设 z1,z2 为复数,则下列结论中正确的是
A. 若 z1=z2 ，则 z1=z2 B. 若 z1=z2 ，则 z1+z2 是实数
C. 若 1z1 为纯虚数，则 z1 也为纯虚数 D. z1−z2≤z1+z2
10. 已知向量 a,b 满足: a=3,b=2,2 ， a−2b=51 ，则
A. a⋅b=−4
B. a 与 b 夹角的余弦值为 −33
C. a 在 b 上的投影向量坐标为 1,1 D. a−λbλ∈R 的最小值为 1
11. 已知 △ABC 的内切圆半径为 r ，外接圆半径为 R ，外接圆圆心 O 满足 5OA+5OB+6OC=0 ， M 为 △ABC 的外接圆上一动点，且 CM=λOA+uOBλ,μ∈R ，则
A. △ABC 为等腰三角形 B. CA+CB=AB
C. Rr=55+18 D. λ+μ 的取值范围为 0,103
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不 写过程).
12. 已知向量 m=2,1,n=−1,λ ，且 m//n ，则实数 λ= _____.
13. 若向量 a,b 满足: b=2a,a⊥a−b ，则 a 与 b 的夹角为_____.
14. 在锐角 △ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 c−b=2bcsA ,若 c−λab 存在最小值,则实数 λ 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分. 各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
15. (13分)
已知复数 z=m−i ( i 是虚数单位， m∈R )，且 z⋅1−2i 为纯虚数.
(1)求复数 z ；
(2)若复数 −a−i2026+i2025z 在复平面内对应的点位于第二象限,求实数 a 的取值范围.
16. (15 分)
在锐角 △ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, a=3,b=10 .
(1)若 csB=14 ，求 c 的值；
(2)若 △ABC 的面积为 32 ，点 D 满足 AD=2DB ，求线段 CD 的长.
17. (15 分)
在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=2DC=4 ， AD=BC=5 ， F 是 BC 的中点，点 E 满足 DE=tDC (其中 0≤t≤1 ).
(1)若 t=12 ，且 EF=λAB+μADλ,μ∈R ，求 λ+μ 的值；
(2)求 AE⋅AE+BE 的取值范围.
18. (17 分)
在 △MAB 中, MA=MB=4,MC=MA+MB,D 为 MA 的中点.
(1)求 CD 的取值范围；
(2)若 ∠AMB=π3 ， E 为 BC 的中点， P 为平面上一动点，满足 BD⋅BP=BP2 .
(i) 求证: PM⋅PE 为定值;
(ii) 求 PM+2PE 的最大值.
19. (17 分)
在 △ABC 中,已知 AB=BC,△ABC 的面积 S 满足: ​22S+3BA⋅BC=0 .
(1)求 ABAC 的值；
(2)如图所示， O 为线段 AC 上一点，延长 BO 至点 D ，使得 CD=2AD=4 ，记 ∠ADC=θ .

(i) 用含 θ 的式子分别表示 △ABC 与 △ABD 的面积;
(ii) 若 AO=λAC ,求实数 λ 的最大值.
2025-2026 学年高一(下)期中学业水平检测 数学答案
一、单项选择题:
1. A
由 zi=2+i ,得 z=2+ii=1−2i ,故选 A.
2. C
由重心坐标公式可得坐标 0+1+53,0+2+13 ,即 2,1 ,故选 C .
3. B
由 “ aa=bb ” 只能得到 “ a//b ”，不满足充分性；由 “ a=b ” 可以得到 “ aa=bb ” ，满足必要性, 故选 B.
4. D
AE=12AC+12AD=12AC+1213AB=16AB+12AC ,故选 D.
5. C
由 b2+c2=a2+2S ,可得 b2+c2=a2+bcsinA ,
由余弦定理 b2+c2−a2=2bccsA=bcsinA ,则 tanA=2 ,故选 C.
6. A
由 AB=AC=AB+AC 可知 △ABC 为等腰三角形,且 ∠BAC=23π ,则 BC 在 BA 上的投影向量为 32BA ,故选 A.
7. B
atanB+btanAa+b=tanAtanB ,
首先正切化为正余弦比值,即 asinBcsB+bsinAcsA=a+bsinAsinBcsAcsB ,
然后将边化为正弦值，即 sinAsinBcsB+sinBsinAcsA=sinA+sinBsinAsinBcsAcsB ，
两边约去 sinAsinB 同时去分母,
可得 csA+csB=sinA+sinB ,即 sinA−csA=−sinB−csB ,
利用辅助角公式,
可得 2sinA−π4=−2sinB−π4 ,即 sinA−π4=−sinB−π4=sinπ4−B , 则 A−π4=π4−B 或者 A−π4+π4−B=π,A+B=π2 或者 A−B=π (舍),故选 B.
8. C
由 A,B,C 三点共线, OA=2xOB+yOC ,
则 2x+y=1x>0,y>0 ,且 1x+1−yy+2=1x+1−y+2−2y+2=1x+1+2y+2−1 ,
观察分母与条件等式之间关系,构造 2x+1+y+2=5 ,
有 2x+1+y+21x+1+2y+2=2+y+2x+1+4x+1y+2+2≥4+24=8 ,
当 y+2x+1=4x+1y+2 ,即 2x+1=y+2 时, 2x=y=12 时取得等号,
所以 1x+1−yy+2 的最小值为 85−1=35 ,故选 C.
二、多项选择题:
9. BCD
选项 A: 举反例 z1=1,z2=i ，故不成立;
选项 B: 设 z1=a+bia,b∈R,z1=z2 ,则 z2=a−bi,z1+z2=2a∈R ,成立; 选项 C: 可设 1z1=mim∈R,m≠0 ,则 z1=1mi=−1mi 为纯虚数,成立;
选项 D:由复数减法的几何意义可判断成立；故选 BCD.
10. AD
选项A: 由 b=2,2 ,知 b=22 ,
a−2b=51 平方可得 a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=51 ,则 a⋅b=−4 成立;
选项 B: cs=a⋅bab=43×22=−63 ，故不成立；
选项 C: a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2b=−4222b=−12b=−1,−1 ，故不成立； 选项 D:由几何意义可知 a−λb≥asin=3×33=1 故成立；故选 AD.
11. ACD
设 AB 中点为 D ，由 5OA+5OB+6OC=0 ，
可得 10OD+6OC=0 ，即 5OD=3CO ，
选项 A: 外心 O 在 CD 上， CD 为中垂线,
所以 CA=CB ， △ABC 为等腰三角形，故成立；
选项 B:可设 R=OC=OA=OB=5 ，由 5OD=3CO ，可知 OD=3 ，由 OD⊥AB ，可得 AD=BD=4 ， 所以 CA+CB=2CD=16 ,而 AB=8 ,故不成立;
选项 C:利用选项 B 的运算结果，由等面积法，可得内切圆半径
r=2S△ABCa+b+c=8×845+45+8=85+1 ,则 Rr=55+18 ,故成立;
选项 D: 由 CM=λOA+μOB ,得 OM−OC=λOA+μOB ,
即 OM=OC+λOA+μOB ,代入 5OA+5OB+6OC=0 ,即 OC=−56OA−56OB ,
可得 OM=λ−56OA+μ−56OB ，由等和线知识观察可知系数和
λ−56+μ−56∈−53,53 ，则 λ+μ 的取值范围为 0,103 ，故成立；故选 ACD.
三、填空题:
12. −12
因为 m//n ,所以 2λ=1×−1 ,即 λ=−12 .
13. π4
记 a 与 b 所成角为 θ ,因为 a⊥a−b ,
所以 a⋅a−b=a2−a⋅b=a2−abcsθ=a2−2a2csθ=0 ,
解得 csθ=22 ，所以 θ=π4 .
14. 22,23
由正弦定理可知:
sinC−sinB=2sinBcsA⇔sinA+B−sinB=2sinBcsA
⇔sinAcsB+sinBcsA−sinB=2sinBcsA
⇔sinAcsB−sinBcsA=sinB⇔sinA−B=sinB ,
故 A−B=B 或 A−B+B=A=π (舍去),
所以 c−λab=sinC−λsinAsinB
=sinπ−3B−λsin2BsinB=sin3B−λsin2BsinB=sinB+2B−2λsinBcsBsinB
=sinBcs2B+csBsin2B−2λsinBcsBsinB=sinBcs2B+2sinBcs2B−2λsinBcsBsinB
=cs2B+2cs2B−2λcsB=4cs2B−2λcsB−1 ,
且由 0