沪科版（2024）八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系优质课课件ppt

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1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③ 由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2. 则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
(x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ②
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
【教材P38练习 T1】
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（4）3x2 = 1.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0.
已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.
2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0
28 – 4k = 0
2x2 + 7x – 4 = 0
【教材P38练习 T2】
已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
【教材P38练习 T3】
设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)；（2）（3）|x1 – x2|.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
引申：对于 ax2  bx  c  0（a  0，  0）（1）若两根互为相反数，则 b  0；（2）若两根互为倒数，则 a  c；（3）若一根为 0，则 c  0；（4）若一根为 1，则 a  b  c  0；（5）若一根为 1，则 a  b  c  0；（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
你能自己推导出这些结果吗？
1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．
4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________．
5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　)A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1
【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1.