沪科版（2024）八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案，共5页。教案主要包含了教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题；
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力；
4.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，体验韦达定理的发现、不完全归纳证明以及演绎证明等整个数学思维过程，提升数学的学习兴趣.
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系.
难点：对一元二次方程的根与系数关系的理解和推导.
三、教学过程设计
环节一：创设情境
引入：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示）
大家知道方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他的表示方式吗？
设计意图：通过回顾数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.
环节二：探究新知
探究：填写下表，然后观察根与系数的关系：
预设：
问题1：方程中的两根之和（x1+x2）、两根之积（ x1x2 ）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？
教师活动：逐步引导得出结论
猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ，那么x1+x2=__， x1x2=___.
问题2：你能证明上述猜想吗？
证明：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2 ，
，
.
总结：由此得出，如果的两个根为x1，x2 ，那么：
(1)两根之和，等于一次项系数与二次项系数比的相反数：
(2)两根之积，等于常数项与二次项系数的比：
即韦达定理(根与系数关系)
设计意图：经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
追问：当一元二次方程的二次项系数为1时，根与系数关系有什么特点？
预设：当一元二次方程的二次项系数为1时，设标准形式为方程x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2 ，即，.
拓展阅读：韦达（1540—1603），法国数学家．年轻时当过律师，后来致力于数学研究，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著，他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人，带来了代数理论研究的重大进步.
他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（即韦达定理），他的《应用于三角形的数学定律》可能是西欧第一部论述用6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作．在欧洲被尊称为“代数学之父”．
设计意图：通过探究二次项系数为1时，根与系数的关系，使得理解这种常见情况
练一练：不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) ；(2) ；(3)
解：(1) ，
(2) ，
(3) 方程化为一般式
，
设计意图：通过及时练习，巩固新知，加强学生自信心.
环节三：应用新知
例1：已知关于x的方程的一个根是 −4，求它的另一根及k的值.
分析：设出方程的另一根，根据韦达定理列出方程求解.
解：设方程的另一个根是x2，那么，解得
故它的另一根为， k的值是7.
例2 方程的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1 − x2的值.
分析：由韦达定理求出x1+x2和x1x2，再由完全平方公式变形可得.
解：由韦达定理，得
设计意图：通过例题教学，加深对根与系数关系的理解，培养学生的应用意识及能力，同时感受到数学的美，从而建立学好数学的自信心.
环节四：课堂练习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) .
2.判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3. 已知关于x的方程的一个根是1，求它的另一根及m的值.
4. 设x1，x2是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) (x1+1)(x2+1) ；(2)
答案：
1.解：设方程的两根分别为x1，x2.
(1) ，；
(2) ，；
(3) ，；
(4) ，；
(5) ，；
(6)方程化为一般式
，
2.解：(1)
不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.
(2)
满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.
(3)
满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.
(4)
不满足根与系数关系，即两个数不是方程的两个根.
(5) 满足根与系数关系，即两个数是方程的两个根.
3.解：设方程的另一个根是x2，那么，解得
所以，它的另一根为，m的值是16.
4.解：(1)由韦达定理，得x1+x2=−2，x1x2=−32，
(2) 1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2−32=43.
设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五：课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过提问让学生回顾、梳理本节课所学内容.