人教版（2024）八年级下册（2024）21.1 四边形及多边形一等奖教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）21.1 四边形及多边形一等奖教学设计，共4页。教案主要包含了情境引入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

教学目标
课题
21.1.2 多边形及其内角和
授课人

素养目标
1.了解多边形的概念及相关要素.
2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，提升推理能力.
教学重点
多边形的内角和与外角和.
教学难点
多边形的内角和与外角和公式的推导.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，引入新知
【情境引入】
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗?
【教学建议】
让学生结合生活
中的场景，谈谈自己见到的多边形，融入课堂.
设计意图
通过观察生活中的图片，引出多边形的学习，激发学生兴趣.
活动二：类比学习，探究新知
探究点 1 多边形的相关概念
(1)请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
答：组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形内角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
(2)指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
答:该六边形的边为 AB,BC,CD,DE,EF,AF;顶点为点 A,B,C,D,E,F;内角为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F;外角如图①所示,分别为∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8,∠9,∠10,∠11,∠12;画出它的全部对角线如图②所示.
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
【教学建议】
要带领全班将多
边形的各要素梳理清楚.对于多边形的对角线，要让学生自己动手去画，在画的过程中，由于要做到不遗漏，学生会自行体会到从一个顶点出发可以画几条对角线，若细心观察(或稍后加以引导)，还能发现从一个顶点出发的对角线可以将多边形分割成几个三角形.这对于后面的学习很有帮助.
设计意图
认识多边形及其相关要素，提升类比学习的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
概念引入：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.如图是正多边形的一些例子.
注意：要判断一个多边形是不是正多边形，各个角都相等，各条边都相等必须同时具备，缺一不可.另外，由于正多边形的各内角相等，所以它的各外角也相等.
【教学建议】
讲述正多边形时，
各角相等与各边相等是两个相互独立的条件，对于边数大于3的多边形，必须同时满足这两个条件才能判定其为正多边形.可让学生举一些正多边形的实例，加深对概念的理解.
准确理解正多边形的概念，认识其特点，为后面的学习打下基础.
设计意图
探究点 2 多边形的内角和
(教材P50探究)类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗?由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?
观察图形，可以发现：
从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°；
从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°.
归纳总结：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于( n−2×180°.
这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°.
注意：由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角的度数都为 n−2×180°n.
思考：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗?
答：有其他分法，这里介绍两种，可由此得到多边形的内角和公式.
【教学建议】
对于多边形的边
数与分割成的三角形的个数之间的关系，多边形的内角和与各三角形内角和之间的关系，要让学生按照自己的观察去认真总结，从而加深印象.
【教学建议】
对于每种分割方
式，都尽量让学生自己去总结规律.
通过设问引导学生探索，经历多边形内角和公式的推导过程，体会数与形之间的联系，感受由特殊到一般的数学推理过程和思考方法，发展合情的推理能力.
设计意图
让学生感受得到结论的方法并不是唯一的，发散学生思维，拓展学生的创新意识.
图示
方法
如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.因为这n 个三角形的内角和是n×180°,以O为公共顶点的n 个角的和是 360°,所以n 边形的内角和是 n×180°−360°,,即(n-2)×180°
如图，在n边形的边上任意取一点 P(不与顶点重合)，连接这点与各顶点的线段，把n 边形分成(n-1)个三角形.因为这(n-1)个三角形的内角和是(n-1)×180°,以 P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°，所以n 边形的内角和是( n−1×180°−180°,，即 n−2×180°
【对应训练】
1.教材P52练习第1题.
2.教材P52练习第2题(1)(2).
®
教学步骤
师生活动
设计意图
探究点3 多边形的外角和
(教材P51探究)与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度?请你说明理由.
答：与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于 n×180°，外角和等于 n×180°−n−2×180°=360°.
归纳总结：多边形的外角和等于360°.
注意：由于正多边形的每个外角都相等，所以正n边形的每个外角的度数都为 360°n.
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°:
如图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依
次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.在行程
中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
【对应训练】
教材P52练习第2题(3).
【教学建议】
有了上节课四边
形内角和与外角和的学习，此处推导多边形的外角和相对容易，可让学生自己推理，教师适当加以引导和指正.应让学生特别牢记结论：多边形的外角和恒等于 360°，与多边形的边数无关.
通过推理与观察两种方式得出多边形的外角和，发展学生的推理能力和几何直观感知能力.
活动三：综合运用，巩固提升
例(教材P52例2)一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形?
解：设这个多边形的边数为 n.因为它的内角和等于( n−2×180°,外角和等于360°,所以( n−2×180°=2×360°.
解得n=6.
因此这个多边形是六边形.
【对应训练】
一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数.
解：设多边形的边数为n，由题意，得( n−2×180°=3×360°+180°,,解得n=9.
内角和度数为( 9−2×180°=1260°.
答：这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°.
【教学建议】
学生独自完成，教
师集中批改、订正.给学生强调，解此类题的关键在于牢记多边形的内角和与外角和公式，再根据两者之间的关系列方程求解.
设计意图
综合多边形的内角和与外角和进行强化训练，使学生在运用中熟练掌握新知.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
什么是多边形?多边形的组成要素有哪些?什么是正多边形?多边形的内角和公式是怎样的?你能推导吗?多边形的外角和是多少?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P52~53习题21.1第2,3,4,6,7,9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
备课素材
解题大招
解题大招一 与多边形的内角和有关的问题
多边形的内角和通常有以下几种应用类型：(1)已知多边形边数求内角和，或已知多边形内角和求边数；(2)求正多边形的每个内角度数，或已知正多边形的各个内角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用.
例1 已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)
A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形
例2 一个多边形的内角和不可能是(D)
A.1800°B.540°C.720°D.810°
分析：n边形的内角和是(n—2)×180°，即多边形的内角和一定是 180°的正整数倍，810°不能被180°整除，所以一个多边形的内角和不可能是810°.
例3 如图,在正六边形ABCDEF 内,以AB 为边作正五边形ABGHI,求∠FAI的度数.
分析：利用多边形内角和及正多边形的性质分别求得∠BAF，∠BAI 的度数，然后利用角的差计算即可.
解:在正五边形ABGHI 中, ∠BAI=5−2×180∘5=108∘,
在正六边形ABCDEF 中, ∠BAF=6−2×180∘6=120∘,
则∠FAI=∠BAF-∠BAI=120°-108°=12°.
解题大招二 与多边形的外角和有关的问题
多边形的外角和通常有以下几种应用类型：(1)直接求多边形外角和；(2)求正多边形的每个外角度数，或已知正多边形的各个外角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用.
注意：行走问题实际上属于上述类型(2)，它是多边形的外角和等于360°的现实意义.如果每次走的路程都相等，每次转的方向都相同，当回到出发点时，所走路径将会构成一个正多边形，而每次的转向角就是正多边形的外角，据此即可求解.
例4 已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是(B)
A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形
例5 如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数是(A)
A.45°
B.60°
C.30°
D.50°
教学步骤
师生活动
板书设计
21.1.2 多边形及其内角和
1.多边形.
2.多边形的内角和.
3.多边形的外角和.
教学反思
本节课类比上节课四边形的内容，学习了多边形的有关知识，采用同样的思路推导了多边形的内角和、外角和.教学中注意思维引导，让学生积极思考，主动参与，较好地培养了学生类比学习的能力.