初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.1 四边形及多边形教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.1 四边形及多边形教案，共8页。教案主要包含了师生活动，设计意图，迁移应用，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．类比三角形，经历四边形有关概念的形成过程，理解四边形及其边、顶点、对角线、内角、外角等概念，发展几何直观．
2．探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力，感受转化与化归的思想方法．
3．了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用，感受几何图形性质的广泛价值．
教学重点
四边形的概念；四边形的内角和．
教学难点
通过作辅助线，把四边形化归为两个三角形，进而推导出四边形的内角和．
教学过程
新课导入
【引导语】现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂……观察下列图形，你能找出其中的四边形结构吗？你能再列举一些生活中含有四边形的事物吗？


【师生活动】学生在教师的组织下进行分享交流，体会四边形在生活中的广泛应用．
【引导语】与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形．在这一章，我们将类比三角形的研究方法，借助边、角以及重要线段研究四边形，学习平行四边形、长方形、正方形、菱形等特殊四边形，掌握它们的概念，理解它们的关系，探索并证明它们的性质和判定方法，并从中体会研究图形性质的一般思路和方法．让我们从概念和性质开始，一起走进四边形的学习之旅．
【设计意图】通过生活中的实例引入，使学生感受到四边形应用的广泛性，同时让学生了解本章要学习的主要内容及研究方法．
新知探究
【问题1】观察下图，请你回忆三角形的概念以及符号表示，尝试描述四边形的概念．

【师生活动】教师引导学生类比三角形，归纳四边形的概念，并在学习任务单上记录．
【新知】在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．
【提醒】四边形用表示它的各个顶点的字母表示，可以按照顺时针的顺序书写，也可以按照逆时针的顺序书写．
【设计意图】类比三角形，学习四边形的概念，建立新旧知识的自然衔接，为后面的学习打下基础．
【问题2】这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？
（1） （2）
【师生活动】学生观察图形后讨论交流，直观感知两个四边形的外形差异，总结出左边的四边形整体轮廓“向外凸出”，右边的四边形则“向内凹陷”．
【追问1】请你用直尺在图（1）中画出任意一条边所在直线，观察整个四边形是否都在这条直线的同一侧？
【师生活动】学生在学习任务单上用直尺分别画出图（1）中边AB，BC，CD，AD的所在的直线，发现对于每一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧．教师结合学生的发现，给出凸四边形的定义．
【新知】如图（1），画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形．
【追问2】观察图（2），请你判断四边形ABCD是不是凸四边形？
【师生活动】学生在学习任务单上动手画图后发现：边CD（或BC）所在直线把四边形分成了两部分，整个四边形不在这条直线的同一侧，这样的四边形不是凸四边形．教师提醒：在后续学习中，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形．
【设计意图】通过观察、对比、操作，让学生自主构建凸四边形概念，发展几何直观．
【问题3】连接AC和BD，你发现了什么？
【师生活动】学生在学习任务单上动手操作，发现线段AC将四边形分为△ABC和 △ADC，线段BD将四边形分为△ABD和△CBD．教师明确这条线段的名称——对角线，并提醒一条对角线可以将一个四边形分割为两个三角形，连接对角线是把四边形问题转化为三角形问题的常用方法．
【新知】连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线．
【问题4】类比三角形内角、外角的定义，和同桌说一说四边形的内角和外角分别是什么，并完成以下任务：
（1）画一个四边形ABCD，将它的所有内角表示出来；
（2）在（1）的图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角．
【师生活动】师生共同明确四边形的内角和外角的概念．学生完成相应任务，教师巡视指导，选取典型案例进行展示，适时提醒：（1）四边形的每一个顶点处都可以画出两个外角，且这两个外角是相等的．一般讨论外角问题时，每个顶点处任选一个外角探讨即可；（2）同一个内角两边的延长线也形成了一个夹角，这个角不是四边形的外角．
【新知】与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角．
【设计意图】通过具体图形，让学生直观认识四边形的对角线、内角、外角等概念，为后续学习夯实基础．
【问题5】我们知道，三角形的内角和是180°，那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能猜想并证明你的结论吗？
【师生活动】学生结合学习过的长方形、正方形等特殊四边形，容易猜想出四边形的内角和是360°，但要进行推理论证会存在一定难度．教师可提醒学生：三角形是我们学习过的图形，能否把四边形问题转化成三角形问题呢？引导学生，通过连接对角线，将四边形分为两个三角形，再结合三角形内角和定理进行推理．学生在学习任务单上完成推理过程．
【答案】如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD．在 △ABC中，由三角形内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°．
同理∠2＋∠4＋∠D＝180°．
由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D）
＝180°＋180°
＝360°．
【新知】四边形的内角和等于360°．
【设计意图】引导学生在三角形内角和定理的基础上推导出四边形的内角和，感受转化与化归的思想，加强知识之间的联系，提升推理能力．
例题精讲
【例】如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
【师生活动】教师引导学生结合图形发现，四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，启发学生将外角和与已知的内角和建立联系，得出四边形的外角和与内角和的总和为4×180°．根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和．教师先让学生尝试在学习任务单上用符号语言表达完整的推理过程，再进行书写示范．
【答案】解：如图，∵ ∠DAB与∠1是邻补角，
∴ ∠DAB＋∠1＝180°．
同理 ∠ABC＋∠2＝180°，
∠BCD＋∠3＝180°，
∠CDA＋∠4＝180°．
∴ ∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°．
而 ∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°．
【新知】四边形的外角和等于360°．
【设计意图】在掌握了四边形内角和的基础上，结合邻补角，运用整体思想推导得出四边形的外角和，一方面深化了学生对几何转化方法的理解，另一方面为后续探究多边形的外角和提供了参考思路．
新知探究
【问题6】（1）如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
（2）如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？

① ②
【师生活动】请学生操作教具，师生共同发现并总结：四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性．再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变．
【迁移应用】在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，有时又需要克服四边形的不稳定性．观察下面三幅图，你能说一说它们的原理吗？

【师生活动】教师组织学生交流，师生达成共识：（1）四边形具有不稳定性，即四边形的边长确定后，它的形状可以改变（容易变形）．这种特性使得四边形结构可以灵活改变形状，从而实现门的伸展与收缩、升降机的上升与下降．这种结构既能满足功能需求，又能节省空间．（2）在窗框上钉一根木条，实际上是将原本的四边形窗框分割成了两个三角形，通过这种方式，利用三角形的稳定性，使窗框变得稳固，不易变形，从而保证窗框的结构强度和安装质量．
【追问】你能再说一些这样的例子吗？
【师生活动】学生分享自己的想法，教师进行补充，如折叠桌、折叠椅、婴儿车等利用四边形的不稳定性进行展开或折叠；高压电线塔的塔身由无数三角形钢架组成，抗风、抗压、抗震能力强；衣柜在柜体背板或角部加装斜撑木条或金属角码，形成三角形，防止柜体晃动或变形．
【设计意图】结合生活经验，让学生直观感受四边形的不稳定性在解决实际问题中的重要作用，体会数学的应用价值．
课堂练习
1．求出下列图形中x的值．
（1） （2） （3）
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）∵ 四边形的内角和等于360°，
∴ x＋x＋90＋140＝360，
∴ x＝65；
（2）∵ 四边形的内角和等于360°，
∴ 3x＋3x＋2x＋4x＝360，
∴ x＝30；
（3）∵ 与x°角相邻的内角的度数为（180－x）°，
∴ 120＋75＋（180－x）＋80＝360，
∴ x＝95．
2．一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：另一组对角也互补．
如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，
由四边形的内角和等于360°，得
∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．
所以它的另一组对角也互补．
3．下列图形中哪些具有稳定性？
（1） （2） （3） （4） （5）
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】（1）（4）具有稳定性．
【设计意图】通过练习，帮助学生巩固四边形内角和定理，强化内角与外角的关联应用，并从具体计算过渡到性质推导，深化对四边形角的性质的理解，同时，进一步感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1. 什么是四边形？四边形的组成要素有哪些？
2. 四边形的内角和与外角和分别是多少？你是怎么推导得到的？
3. 四边形是稳定的图形吗？你能结合生活中的例子进行说明吗？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第52～53页习题21.1第1，5，8题．