初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第十九章 二次根式19.2 二次根式的乘法与除法精品教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第十九章 二次根式19.2 二次根式的乘法与除法精品教案及反思，共3页。教案主要包含了知识回顾，教学建议，对应训练，对应练习，思路分析，随堂训练，课堂总结，知识结构等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册13
教学目标
课题
19.2 第3课时最简二次根式
授课人

素养目标
1.理解最简二次根式的概念，利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算，感知数学转化思想的应用.2.能够判断一个二次根式是否为最简二次根式.
教学重点
最简二次根式的概念，最简二次根式的识别及运用.
教学难点
运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：复习回顾，旧知启发
【知识回顾】
1.请分别写出二次根式的乘法法则和除法法则.
二次根式的乘法法则： a⋅b=aba≥0b≥0;
二次根式的除法法则： ab=aba≥0b0).
2.在前面的课时中，我们进行了二次根式的乘法、除法运算，得到的结果有 22,33,310,yyx,303,观察这些式子中的二次根式，可以发现，它们都具备相同的特点，本课时我们将对这一类二次根式进行探究学习.
【教学建议】
教师带领学生回
顾二次根式的乘除法法则，引导学生分析对比给出的二次根式的分母，根号内的因数(式)，为最简二次根式的引入做好铺垫.
设计意图
通过对给出的二次根式进行分析对比，发现它们所具备的特点，方便引入最简二次根式的概念.
活动二：问题引入，自主探究
探究点 1 最简二次根式及其识别
1.活动一第2点中，列举的二次根式具有什么特点?
答：观察发现，这些二次根式有如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
概念引入：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
2.判断下列二次根式是否为最简二次根式，并说明理由.
112; 232; 330x; 4a²b; 5m²+1;
6yx³; 7m⁴+9m².
解:(3)(5)是最简二次根式,(1)(2)(4)(6)(7)不是最简二次根式.理由:(1)的被开方数中含有因数4，(4)的被开方数中含有因式a²，(2)(6)的被开方数中含有分母，(7)的被开方数经过因式分解后含有因式m².
【对应训练】
下列各式是最简二次根式的是(C)
A.0.3 B.19 C.15 D.18
【教学建议】
可 先 让学 生讨
论，再指定学生代表回答，教师进行总结.提醒学生根号下是小数时，先化成分数.
设计意图
引导学生发现总结最简二次根式的特点.
设计意图
应用积的算术平方根的性质与商的算术平方根的性质，把二次根式化成最简二次根式.
探究点2 把二次根式化成最简二次根式
1.观察 32和 118,怎么去掉被开方数中的分母?
答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质.例如：
32=3×22×2=62²=62,118=1×218×2=236=26(这里令分子、分母乘同一个数，使得分母变成完全平方数)
【教学建议】
根据最简二次根式的概念，教师引导学生总结把二次根式化成最简二次根式的步骤：①将被开方数化为最简分式或整式；
14 名师教学设计
教学步骤
师生活动

2.(教材 P9 例7)计算:
135; 23227; 382a.
解:(1)解法 1：35=35=3×55×5=155²=155²=155.这里先用二次根式的除法法则，再用1 中方法)
解法2： 35=3×55×5=155²=155.(这里分子、分母乘同一个二次根式，使得分母变成有理数)
23227=323²×3=323²×3=23=2×33×3=63.
382a=8⋅2a2a⋅2a=4a2a=2aa.
3.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
112; 20.8; 345a²b; 427b³a²c.
解:(1)原式: =4×3=23;
(2)原式 =45=4×55×5=255;
(3)原式 =9a²⋅5b=3a5b;
(4)原式 =27b³⋅ca²c⋅c=9b²⋅3bca²c²=3b3bcac}.
4.计算:
118; 2325; 36mn3m.
解:(1)原式 =1×88×8=228=24;(2)原式 =32×55×5=3105;
(3)原式 =6mn⋅3m3m⋅3m=6mn3m3m=2n3m.
【对应练习】
教材P10练习.
②利用分式的性质将分母化成完全平方数(式);③开方.
【教学建议】
教师 需 注 意强
调：二次根式计算及化简后的最终结果是最简二次根式，解题后需要对结果进行检查，避免在化简过程中出现遗漏.
活动三：重点突破，提升探究
例(1)已知最简二次根式. 4a+b与 a−b23的被开方数相同,则a+b= 8 ;(2)若二次根式 2x+7是最简二次根式，则x 可取的最小整数是 -2 .
【思路分析】
【对应训练】
已知二次根式 23−a与 8化成最简二次根式后，被开方数相同.若a 是正整数，则a的最小值为 5 .
【教学建议】
通常情况下，若一个二次根式为最简二次根式，根号内字母的取值不止一个，教师需要引导学生根据题目中的限定条件，找出最符合题意的结果.
设计意图
根据相关定义与已知条件，求出对应字母的值，强化对最简二次根式概念的理解.
备课素材
八年级数学下册 15
教学步骤
师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：最简二次根式具有哪些特点?如何将一个二次根式化简为最简二次根式?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P11 习题19.2第4,8,9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
19.2二次根式的乘法与除法
第3课时 最简二次根式
1.最简二次根式的概念.
2.把二次根式化为最简二次根式.
教学反思
本课时先对比观察前面课时中例题的计算结果，总结归纳其特点，引入最简二次根式的概念，再结合积和商的算术平方根的性质，为最简二次根式的化简提供依据.同时强调二次根式相关运算的结果需要化为最简形式，让学生养成规范答题的良好习惯.
解题大招
解题大招 化为最简二次根式
(1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
如： 5²+12²不是最简二次根式，因为 5²+12²=25+144=169=13;m²+n²是最简二次根式.
(2)化简二次根式一般分三步：
①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化成 ab的形式；
②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽平方的因数或因式开出来；
③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号.
例 将 1212化为最简二次根式.
解 1212=252=252=52=5×22×2=522.
注意：化简时别犯这种错误 :1212=12×12=23×22=6.
培优计划
培优点 因式分解在二次根式中的应用
例 (1)当x≥0,y≥0时,. x−y=x²−y²=x+yx−y,同理， x−2xy+y=x−y².
(2)a,b均为非负数,且a≠b,化简 4a−b2a−b+4a+4ab+b2a+b.
解： 4a−b2a−b+4a+4ab+b2a+b=2a+b(2a−b)2a−b+2a+b²2a+b=2a+b+2a+b=4a+2b