人教版（2024）八年级下册（2024）24.2 数据的离散程度优质第1课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）24.2 数据的离散程度优质第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学准备，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第1课时 离差平方和、方差
解题大招一 方差的计算
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
在求一组数据x1，x2，……，xn的方差时，要先求出它们的平均数x，再计算出各数据与它们的平均数x的差的平方：x1−x2,x2−x2,⋯,xn−x2,，最后求出它们的平均数.
即s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2就是这组数据的方差.
例1 (1)样本5，6，7，8，9的方差是 2 ；
(2)在样本方差的计算公式 s2=110x1−202+x2−202+⋯+xn−202 中，数字10表示 样本容量 ，数字20表示 样本平均数 ；
(3)某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10.若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 3.6 .
解析：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，则有x=8，这组数据的平均数为15×5+10+7+8+10=8,则这组数据的方差s2=15×5−82+10−82+7−82+8−82+10−82=3.6.
解题大招二 方差的应用
用样本方差估计总体方差：在考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，那么可以采用样本估计总体的统计思想.实际生活中常常用样本的方差来估计总体的方差.
在用方差比较数据的稳定性时需要注意：一般要先比较平均数，当几组数据的平均数相等或相近时，才能用方差比较数据的离散程度.
例2 甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少?
(2)谁的射击成绩更稳定?
解：1x甲=15×7×2+8×2+10=8,x乙=15×7+8×3+9=8.
s甲2=15×7−82+7−82+8−82+8−82+10−82=1.2,
s乙2=15×7−82+8−82+8−82+8−82+9−82=0.4.
所以甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8，方差是0.4.
(2)因为s甲2>s乙2,所以乙的射击成绩更稳定.
教学目标
课题
24.2 第1课时 离差平方和、方差
授课人
素养目标
1.体会刻画数据离散程度的意义，发展数据观念.
2.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组数据的离差平方和、方差.
3.理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的离散程度.
教学重点
离差平方和、方差概念的理解及计算.
教学难点
对方差概念和意义的理解及应用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
现要从甲、乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适?
甲、乙两名射击选手的测试成绩统计如下：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
我们先来看他们的平均成绩：
x甲=7+8+8+8+95=8，x乙=10+6+10+6+85=8.
平均成绩一样，那么作为教练该如何挑选呢?接下来我们一起学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和与方差.
【教学建议】
学生独立计算，得出两名射击选手的平均成绩相同，无法做出判断，教师从而引出方差的概念与计算.
设计意图
通过情境吸引学生的注意力，引发学生对新知识的学习欲望.
活动二：实践探究，获取新知
探究点 离差平方和、方差
1.离差平方和、方差的概念和意义
我们来看引言中的问题.
(教材P168问题)某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如表所示：
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢?
我们一起通过分析问题来解决：
(1)计算出两组数据的平均数，你有什么发现?
答：x甲=7.537,x乙=7.515.发现在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
教师：我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”，但像上面这种情况，我们发现只知道“平均水平”是不够的.
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面的图①和图②.
(2)观察图①和图②，比较甲、乙两种甜玉米的波动程度.
答：比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.
由问题(2)我们发现：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
概念引入：一般地，由n个数据x1，x2，……，xn，用x表示它们的平均数，我们把xi−xi=12⋯n叫作xi关于平均数x的离差.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗?为什么?
答：不能.因为(x₁−x+x₂−x+⋯+xₙ−x=x₁+x₂+⋯+xₙ−nx=0，所以平均离差无法刻画一组数据的离散程度.
概念引入：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把x₁−x²+x₂−x²+⋯+xₙ−x²叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²”.把离差的平方的平均数x₁−x²+x₂−x²+⋯+xₙ−x²n作这组数据的方差，记作“s²”.
归纳总结：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
(3)请大家利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度.
解:s甲2=7.65−7.5372+7.50−7.5372+⋯+7.41−,
s乙2=7.55−7.5152+7.56−7.5152+⋯+7.49−7.515210≈0.002.
由s甲2>s乙2,可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量的波动较小，稳定性较好.由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.根据样本估计总体的统计思想，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
思考(教材P170思考)：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度?和方差比较，有什么不足?
答：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制.
2.利用计算器求方差
使用计算器说明：
(1)使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
(2)通常需要先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，……，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差s²=x₁−x²+x₂−x²+⋯+xₙ−x²n的值.
【对应训练】
教材P171练习第1题.
【教学建议】
老师逐步引导，并提醒学生以下几点：
(1)使用方差的前提条件是平均数相等或相近.
(2)各个数据与其平均数的差不取绝对值的原因是在许多问题中含有绝对值的式子不便于计算，且在衡量一组数据的波动大小的“功能”上，取平方更强些.
(3)计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
【教学建议】
教师提醒学生：
方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但是方差较大；也可能一组数据比较大，但是方差较小.
设计意图
通过对方差公式的探究，帮助学生认识到引入方差的必要性并理解方差公式，让学生体会方差可以反映一组数据的波动大小，同时培养学生的合作交流意识.
活动三：典例精讲，升华提高
例 (教材P170例1)甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩(单位：环)如表所示：
甲
9
7
9
10
10
8
9
10
5
10
乙
9
10
7
8
10
9
9
8
7
9
哪名射击运动员的发挥更稳定?
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
x甲=9+7+⋯+1010=8.7，x乙=9+10+⋯+910=8.6.
两名运动员射击成绩的方差分别为
s甲2=9−8.72+7−8.72+⋯+10−8.7210=2.41,
s乙2=9−8.62+10−8.62+⋯+9−8.6210=1.04.
由s甲2>s乙2可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
【对应训练】
教材P171练习第2题.
【教学建议】
老师提醒学生注意：只有在两组或多组数据的平均数相等或比较接近时，才能用方差比较两组或多组数据的离散程度.
设计意图
巩固学生对方差意义的认知，在实际生活问题中，根据方差比较数据的稳定性.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
离差平方和、方差的概念是什么?方差的计算公式是什么?方差有什么作用?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P174习题24.2第1，2题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
24.2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和、方差
1.离差、离差平方和、方差的概念.
2.离差平方和、方差的计算公式.
3.方差的意义和作用.
教学反思
本节课采用了创设问题情境，启发学生思考的教学模式，更好地抓住学生学习新知的过程.由于本课时的试题信息量比较大，会耽误一定的时间，学生在互动的时间上会有所压缩.从本节课的授课过程来看，学生在教师的引导下自学，联系旧知，给学生充分发表意见的自由度.
命中环数/环
7
8
9
10
甲命中的频数/次
2
2
0
1
乙命中的频数/次
1
3
1
0