初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 提公因式法优秀课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 提公因式法优秀课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了最大公约数，相同的字母，最低次幂，Pa+2b，yP1+P，由此可知规律，不彻底，x－24等内容，欢迎下载使用。
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.2. 能运用整体思想进行因式分解.
注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号.
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
思考：（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)
= (x - 3)(a + 2b).
例1 把下列各式分解因式：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
= y(x + 1)(1 + xy + y).
提公因式为多项式的因式分解
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
1. x(a + b) + y(a + b)
2. 3a(x - y) - (x - y)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p)
= (a + b)(x + y)
= (x - y)(3a - 1)
= 6(p + q)(p + q - 2)
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]
＝6(m－n)2(m－n－2)
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a).
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a.
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数) (a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数) (-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2；
(3) (a-b)3 =___(b-a)3；
(4) (a-b)4 =___(b-a)4；
(5) (a+b) =___(b+a)；
(6) (a+b)2 =___(b+a)2；
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3；
(8) (a+b)4 = __(-a-b)4.
【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4)．
把下列各式因式分解：(1)－3ma3＋6ma2－12ma；
(2)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)．
原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)＝(x－y)·(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b)．
【解】(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2＝(x－2y)[(x＋3y)＋(x－2y)]＝(x－2y)(2x＋y)＝2x2－4xy＋xy－2y2＝2(x2－y2)－3xy.∵x2－y2＝8，xy＝3，∴原式＝2×8－3×3＝7.
[2025上海闵行区期中]已知x2－y2＝8，xy＝3，将(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2先化简，再求值．
【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(2b＋a)2.
把下列各式因式分解：(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；
(2)(x2＋1)2－4x2； (3)(m＋n)2－4(m＋n－1)．
原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.
原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2.
【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.
利用因式分解计算：662－6 600＋2 500.
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)＝(x－y)(x＋4)．乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)＝a2－(b－c)2(直接运用公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们的解法的启发下，把下列各式因式分解：(1)x2＋xy－xz－yz；　(2)xy2－2xy＋2y－4；
【解】原式＝x(x＋y)－z(x＋y)＝(x＋y)(x－z)．
原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4)＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(y－2)(xy＋2)．
(3)m3－2m2－4m＋8；　 (4)x2－2xy＋y2－9.
原式＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.
原式＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)．
【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3.(1)二次项系数2＝1×2，常数项－3＝－1×3＝1×(－3)；(2)验算：“交叉相乘之和”；①1×3＋2×(－1)＝1；②1×(－1)＋2×3＝5；③1×(－3)＋2×1＝－1；④1×1＋2×(－3)＝－5.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数－1，即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，∴2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法．仿照此方法，分解因式：3x2＋5x－12＝_________________________.
(x＋3)(3x－4)
下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　(第一步)＝y2＋8y＋16(第二步)＝(y＋4)2(第三步)＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果：____________．
(2)请你仿照以上方法尝试对多项式(m2－2m)·(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.