专题2.3不等式性质导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习

这是一份专题2.3不等式性质导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习，共7页。试卷主要包含了不等式与不等关系03不等式性质，两个实数大小的比较，数学情境等内容，欢迎下载使用。
考情分析
高考对不等式性质的考查单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据
知识梳理
知识点一 两个实数大小的比较
1.作差法：
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为: .
2.作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
知识点二 不等式性质
三、类型应用
类型一：判断比较大小
例1：已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，，则，故A错误；
对于B选项，若，则当时，，故B错误；
对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确；
对于D选项，当时，满足，此时，故D错误.
故选：.C
变式训练1-1：下列说法正确的是（ ）
A．若，则.B．若，则.
C．若，，则.D．若，，则.
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，由，得，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：B
变式训练1-2：（24-25高三下·天津宁河·开学考试）对任意实数，，，，命题：
①若，，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】根据不等式的性质判断.
【详解】①时，，故①错；
②时，，故②错；
③若，则，所以，故③正确；
④当时，，故④错，所以真命题的个数为1.
故选：B.
变式训练1-3：已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，因，由，可得，故A错误；
对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误；
对于C，因，由，可得，故C错误；
对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确.
故选：D.
变式训练1-4：下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数幂的大小
【分析】根据不等性质及函数单调性分别判断.
【详解】A选项：由已知，则，所以，A选项正确；
B选项：若，，则，B选项错误；
C选项：由，则在上单调递增，又，所以，C选项正确；
D选项：由，则在和上单调递增，又，所以，D选项正确；
故选：B.
类型二：作差法比较大小
例2：已知，则与大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差比较法求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
变式训练2：已知，，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】作差即可比较作答.
【详解】,故，
故选：C
例3：（19-20高一·全国·课后作业）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
【答案】，证明见解析
【知识点】用不等式表示不等关系、作差法比较代数式的大小
【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可.
【详解】解：时，.
证明如下：
，
.
【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.
变式训练3：设a，b，m均为正数，且，那么（ ）
A．B．C．D．与的大小随m变化而变化
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】利用不等式的性质，作差比较，即可求解.
【详解】由，
因为，且为正数，可得，所以，
即，所以.
故选：C.
类型三：求范围
例4：已知，，求的范围.
【答案】
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据不等式的性质可得出答案.
【详解】解：，
，又，
.
变式训练4：若，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】因为，所以，所以，
即的范围为.
故选：A
类型四 数学情境
1．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】取可判断A；取可判断B；取特例可判断C；由不等式可加性可判断D.
【详解】对A，若，则，A错误；
对B，若，，则，B错误；
对C，取，则，C错误；
对D，由不等式的可加性可知，若，，则，D正确.
故选：D
2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】取可排除A；取可排除B；取可排除D；由可知，然后两边同乘以，可判断C.
【详解】A选项：若，，则，A错误；
B选项：取，则，B错误；
C选项：若，则，所以，即，C正确；
D选项：取，满足，但，D错误.
故选：C
素养提升
1.已知、，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可.
【详解】当时，满足，但，
所以由不能得到.
当时，由不等式的基本性质得，
所以由能推出.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2.（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、必要条件
【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得.
【详解】若，如，但不成立，充分性不成立；
若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3.（24-25高三上·天津·期末）设a则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】由已知结合不等式的性质检验充分必要性即可判断．
【详解】解：当时成立，但没有意义，及充分性不成立；
当则此时成立，即必要性成立．
故选：B
性质
性质内容
注意
对称性
传递性
可加性
可乘性
的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
同正