专题2.4基本不等式导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习

这是一份专题2.4基本不等式导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
2．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式求积的最大值、判断命题的必要不充分条件
【详解】由题可知，
若，则，当且仅当“”时取“”，
则；
若取，满足，但，
故“”是“”必要不充分条件.
3．函数的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【详解】当时，，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.
4．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．4B．7C．9D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据有条件的基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当等号成立，将代入解得.
即时等号成立，所以的最小值为9.
故选：C
5若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．B．8C．16D．
【答案】C
【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值
【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值.
【详解】设直角三角的两条直角边分别为，
因为直角三角形的面积为32，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以两条直角边的和的最小值是.
故选：C
6．（25-26高三·全国·三轮复习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围．
【详解】函数的定义域为，.
由函数在上单调递增，得对任意恒成立．
即恒成立，
即恒成立．
由知，所以，
当且仅当，即等号成立.
因此的最小值为．
要使恒成立，则，即．
7函数的最小值是（ ）
A．-3B．-1C．0D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，则：
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：B
8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】由公式列出面积的表达式，然后由基本不等式求得最大值.
【详解】由题意.
，即，
当且仅当时等号成立.
所以此三角形面积的最大值为3.
故选：B.
9.已知，且，则的最小值是（ ）
A．5B．25C．36D．64
【答案】B
【知识点】条件等式求最值
【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】因为，所以，
即，解得（舍去），
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
故选：B.
二、填空题
10．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________．
【答案】
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】由，代入即可得出答案.
【详解】，
当且仅当“”，即时取等，
所以的最大值为.
故答案为：
11．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．
【答案】12
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用不等式即可求解.
【详解】,
当且仅当,即或时,等号成立,
故的最小值为12.
故答案为：12.
12．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
13．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】由可知，
且：，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．设，则的最小值为_________．
【答案】4
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4