专题2.5一元二次不等式导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习

这是一份专题2.5一元二次不等式导学案+课时作业（含答案）-2027届高考数学一轮总复习，共7页。试卷主要包含了一元二次不等式，绝对值不等式，含参的一元“二次”不等式，分式不等式，含绝对值不等式，数学情境等内容，欢迎下载使用。
考情分析
高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
知识梳理
知识点一 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或
（2）恒成立的充要条件是：或
知识点二 分式不等式
① ②
③ ④
知识点三 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）
知识点四 含参的一元“二次”不等式
1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；
3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
三、类型应用
类型一 解不含参一元二次不等式
例1：解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）根据二次函数图象即可写出不等式的解集；
（2）先将不等式化为，然后根据二次函数图象即可写出不等式的解集；
（3）根据二次函数图象即可写出不等式的解集；
（4）根据二次函数图象即可写出不等式的解集.
【详解】（1）方程的解为，.根据的图象，如图：

可得原不等式的解集为或.
（2）不等式两边同乘以，得.
方程的解为，.
根据的图象，如图：

可得原不等式的解集为.
（3）方程有两个相同的解.
根据的图象，如图：

可得原不等式的解集为.
（4）因为，所以方程无实数解，根据的图象，如图：

可得原不等式的解集为.
变式训练1-1：解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的解法求解.
【详解】（1）由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为
（2）由，
知，
（3）由可得，
即，
解得，
所以不等式的解集为.
（4）由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
变式训练1-2：已知集合 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【详解】，
所以.
变式训练1-3：已知，，，求，．
【答案】,
【知识点】并集的概念及运算、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先化简集合A、B，再去求、即可解决.
【详解】
则
变式训练1-4：已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】根据交集的定义判断即可.
【详解】因为，
则．
类型二 解含参的一元二次不等式
例2：（25-26高三·全国·一轮复习）解关于的不等式.
【答案】当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或；
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】将不等式的右边移项到左边，因式分解后可得，接下来分三种情况，解不等式即可.
【详解】因为，所以，即，
令，得，
①时，，不等式的解集为或；
②时，，不等式的解集为且；
③时，，不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或；
变式训练2-1：求关于的不等式的解集.
【答案】详见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】由得，根据的情况分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由有：，
当时，由，
所以；
当时，，所以原不等式解为：或，
所以；
当时，，所以原不等式的解为：，
所以；
当时，，
所以；
当时，，所以原不等式的解为：，
所以；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
变式训练2-2：当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较和的大小即可得解.
【详解】时，，
不等式可化为，
因为，且，
所以，，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
变式训练2-3：若，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解．
【详解】因为，，
所以，
又不等式对应方程的根为：，且，
所以不等式的解为或，
故选：C．
类型三 三个“二次”的关系
例3：已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】D
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D.
【详解】由题设是的两个根，且，A错，
所以，故，B、C错，
由，D对.
故选：D
变式训练3-1：不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象分析与判断、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
【详解】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，AC选项错误，
对称轴为，D选项错误.
所以B选项正确.
故选：B
变式训练3-2：已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．4C．6D．9
【答案】B
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】根据一元二次不等式的解集，是关于的方程的两个根，应用根与系数的关系求参数值，即可得.
【详解】由题意，是关于的方程的两个根，有，
所以.
故选：B
变式训练3-3：已知关于的一元二次不等式的解集为，则___________．
【答案】1
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据一元二次不等式解集求参，再计算求解.
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，所以，
则.
故答案为：1.
类型四 不等式恒成立问题
例4：（19-20高一·全国·课后作业）当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，
则二次函数的图象在x轴下方，
即，得.
当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.
综上可知，.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式训练4-1：（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图象开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围．
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为在上恒成立，
所以
解得．综上，
故选：C．
变式训练4-2：若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当时，解得
当时，不等式恒成立，符合题意；
当，不等式，不符合题意；
当，的不等式的解集为，
所以，解得
综上所述，.
变式训练4-3：命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得.
【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题，
时，不等式为恒成立，满足题意，
时，则，解得，
综上，的范围是.
例5：若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解，
那么，设.
根据二次函数的性质可知，所以.
故答案为：.
变式训练5：不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值.
【详解】不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，则，
，当且仅当时等号成立，，
，所以.
的最小值为.
类型五 分式不等式
例6：解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；
(2).
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）由题可得，即得.
【详解】（1）由，可得，
∴，
解得或，
所以原不等式的解集为或.
（2）由可得，，
∴，解得，
所以原不等式的解集为.
变式训练6-1：不等式 的解集为_______.
【答案】
【知识点】分式不等式
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】因为
则，解得，
所以不等式 的解集为.
变式训练6-2：已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算、分式不等式
【详解】由，，得，
又，所以.
类型六 含绝对值不等式
例7：不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由可得，解得，
即不等式的解集是.
故选：B.
变式训练7：设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【详解】由解得：或，故或，
由，解得：，故，
所以
类型七 数学情境
1.（19-20高一·全国·课后作业）某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?
【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】设削笔器的销售价格定为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得削笔器的销售价格范围.
【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个
由题意得,即
∵方程的两个实数根为,
解集为
又
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.
2.表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数新定义、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先根据一元二次不等式得出解集，结合高斯函数的定义求解范围.
【详解】因为，则，
根据高斯函数定义可得实数.
故选：C.
3.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h．
【答案】30
【详解】设现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置，
自向轴作垂线，垂足为，
由题意得，则，
若在点处受到热带风暴的影响，则，
所以，即，
整理得，，解得，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为，
故答案为：30．
4.高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．若，恒成立，则实数a的取值范围为
D．若不等式的解集为，则
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、函数新定义
【分析】首先要明确取整函数的含义，对A转化为一元二次不等式有整数解的问题可得；对B则由条件得，然后再分别求x值，最后再求并集可得；对C先由条件得，再分别求不等式恒成立的a的值，最后再取交集可得；对D由条件得，再分别求m的范围，最后取交集可得.
【详解】令，
对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确
对于B：由，即，所以满足的整数或或.
若，则；若，则；若，则.
所以不等式的解集为，故B正确；
对于C：因为，所以或或或.
而恒成立，即对恒成立，不等式变形为，
当时，；当时，；当时，；当时，；
所以要对恒成立，得，故C不正确；
对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足.
当时，，即；当时，，即；
当时，，即；当时，，即.
综上所述，得，故D正确.
故选：C
四、素养提升
1.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件
【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为，
因为当时，必然满足，所以“”能推出“”，充分性成立；
当时，满足，但不满足，所以“”不能推出“”，必要性不成立.
故选：A.
2.下列命题为真命题的是（ ）
A．命题，，则命题p的否定是：，
B．“”是“”的充分不必要条件
C．方程的两根都大于1的充要条件是
D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件、全称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图象列不等式求解即得.
【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，
故命题，的否定是：，，故A错误；
对于B，由可得；但时，满足，却得不到，
故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，设，则方程的两根都大于1等价于：
，解得，故C错误；
对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立，
当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得.
综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误.
3.命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、含有一个量词的命题的否定的应用、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、判断命题的充分不必要条件
【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为，转化为求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解.
【详解】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以，
在区间上单调递增，当时，函数取得最大值，则，又⫋，
所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是.
故选：B
4.已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，，
因为⫋，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
5.解关于x的不等式．
【答案】答案见解析
【详解】原不等式可化为，即，
①当时，原不等式化为，解得
②当时，原不等式化为，
原不等式解集，
原不等式解集为，
原不等式解集为，
③当时，原不等式化为．
原不等式解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为.
判别式



的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的解集

解集为
一元二次不等式的解集