人教版（2024）八年级上册（2024）小结表格教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）小结表格教学设计，共48页。教案主要包含了复习导入，情境导入，类比导入，归纳导入，悬念激趣，质疑导入，课堂引入，探究新知等内容，欢迎下载使用。

【复习导入】
田径运动会，乐乐同学参加百米赛跑．
(1)如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是多少秒？
(2)如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是多少秒？
(3)如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是多少秒？
【情境导入】
1．某庄园的果树上挂满了“整式”的果子：t，300，s，n，a－x.请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，得到新的式子，并与同组的伙伴交流你的成果．
2．其中有不同于整式(单项式和多项式)的式子吗？请说一说它们的特点．
分数的代数表达
把整体“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫作分数．分数的拉丁文是fractin，来自frangere，是打破、断裂的意思．汉语“分”也是分开、部分的意思．在欧几里得的《几何原本》中，真分数也是部分的意思．三千多年前埃及纸草中就已经出现了分数，把所有分数都化成单分子数之和．在14世纪中叶，为了节省地方，德·摩根推荐用a/b表示eq \f(a,b)，这种记法之后出现了分数的代数表达式(分式)．
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18.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
【类比导入】
1．计算：(1)eq \f(4,64)；(2)eq \f(20,1 280).
思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．
2．你能说出分数的基本性质吗？
一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
3．尝试用字母表示分数的基本性质．
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式：
eq \f(a,b)＝eq \f(a·c,b·c)，eq \f(a,b)＝eq \f(a÷c,b÷c)(其中a，b，c是实数，且c≠0)．
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第2课时 分式的约分和通分
【归纳导入】
1．请同学们考虑：eq \f(3,4)与eq \f(15,20)相等吗？eq \f(9,24)与eq \f(3,8)相等吗？为什么？
2．说出eq \f(3,4)与eq \f(15,20)之间变形的过程，eq \f(9,24)与eq \f(3,8)之间变形的过程，并说出变形依据．
思考：eq \f(3,4)与分式eq \f(3a,4a)相等吗？分式eq \f(a2b,ab2)与分式eq \f(a,b)相等吗？
如果a≠0，那么eq \f(3,4)＝eq \f(3a,4a)，只要eq \f(a2b,ab2)与eq \f(a,b)都有意义，就有eq \f(a2b,ab2)＝eq \f(a,b).
你认为分式和分数具有相同的性质吗？你能用语言描述吗？你能用式子表示吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．可用式子表示为eq \f(A,B)＝eq \f(A·C,B·C)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷C,B÷C)(C≠0)，其中A，B，C是整式．
【复习导入】
1．复习：
(1)因式分解的方法都有哪些？
(2)回忆分式的基本性质和分数的通分及最小公倍数的定义．
2．探究：
(1)同学们，我们已经学习过分数的计算了，你们能不能快速地计算出eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)的结果？
(2)同学们，你们做的第一步名称叫什么？
提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？
类比启发：分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？
尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳出分式通分的定义吗？
【类比导入】
(1)分数eq \f(3,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)的公分母是如何确定的？
(2)你能确定分数eq \f(1,23×32×5)，eq \f(1,2×33×52) ，eq \f(1,22× 3×54)的公分母吗？
(3)若把(2)分数分母中的3，5用x，y来代替，则分式eq \f(1,23x2y)，eq \f(1,2x3y2)，eq \f(1,22xy4)的公分母如何确定呢？
(4)提问：你能概括出最简公分母的定义吗？
归纳类比：类比分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？
填空：利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
按遗嘱分马——通分
有一位老人，他有3个儿子和17匹马．他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按照我的要求去分．”老人去世后，三兄弟看到遗嘱．遗嘱上写着：“我把17匹马全部留给我的3个儿子．长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一．不许让马流血，不许杀马．你们必须遵从父亲的遗愿！”这三兄弟疑惑不解．他们该怎么办呢？
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18.2 分式的乘法与除法
第1课时 分式的乘法与除法
【类比导入】
1．复习分数的乘除法法则
观察下列算式：
(1)eq \f(3,5)×eq \f(15,2)＝eq \f(3×15,5×2)＝eq \f(45,10)＝eq \f(9,2)；
(2)eq \f(3,5)÷eq \f(15,2)＝eq \f(3,5)×eq \f(2,15)＝eq \f(3×2,5×15)＝eq \f(6,75)＝eq \f(2,25).
回忆并写出分数的乘除法法则：
乘法法则：用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母．
除法法则：把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘．
2．类比得出分式的乘除法法则
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
即eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
即eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(a·d,b·c).
【复习导入】
问题：观察下列运算：
eq \f(2,3)×eq \f(4,5)＝eq \f(2×4,3×5)，eq \f(5,7)×eq \f(2,9)＝eq \f(5×2,7×9)，eq \f(2,3)÷eq \f(4,5)＝eq \f(2,3)×eq \f(5,4)＝eq \f(2×5,3×4)，eq \f(5,7)÷eq \f(9,2)＝eq \f(5,7)×eq \f(2,9)＝eq \f(5×2,7×9).
猜一猜：eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝？ eq \f(b,a)÷eq \f(d,c)＝？
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第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
【归纳导入】
1．复习乘方的概念：
2．计算下列各题：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a,b)·eq \f(a,b)＝eq \f(a2,b2)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(3)＝eq \f(a,b)·eq \f(a,b)·eq \f(a,b)＝eq \f(a3,b3)；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(4)＝eq \f(a,b)·eq \f(a,b)·eq \f(a,b)·eq \f(a,b)＝eq \f(a4,b4)．
提问：由以上计算的结果你能推出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(n)(n为正整数)的结果吗？
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
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18.3 分式的加法与减法
第1课时 分式的加法与减法
【类比导入】
1．复习回顾，感悟知识：
(1)eq \f(1,5)与eq \f(3,5)的分母相同，称为同分母分数，eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(4,5)，运算法则是分母不变，分子相加减．
(2)eq \f(1,2)与eq \f(2,3)的分母不同，称为异分母分数，eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)＝eq \f(7,6)，运算法则是异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，再加减．
(3)eq \f(b,a)与eq \f(c,a)的分母相同，称为同分母分式；eq \f(m,a)与eq \f(n,b)的分母不同，称为异分母分式．
2．类比探索：
猜一猜：同分母的分式应该如何加减？
(1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).
(2)异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd)＝eq \f(ad±bc,bd).
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第2课时 分式的混合运算
【悬念激趣】
问题：课堂上老师出了这样一道题：当a＝－2 025时，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a－2)＋\f(12,a2－4)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a－2)－\f(1,a＋2)))的值．小明把a＝－2 025错抄成a＝2 025，但结果却是正确的，这是为什么呢？你能说清道理吗？
【质疑导入】
1．复习回顾，感悟知识：你会计算下列题目吗？
(1)eq \f(2a,a2 －4)－eq \f(1,a－2)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2y)))eq \s\up12(2)·eq \f(y,2x)；(3)(x2－4xy)÷eq \f(2y＋x,xy)·eq \f(1,x（2y－x）).
2．问题导入：以上题目分别涉及了分式的什么运算？运算法则是什么？
3．你还能说出整式混合运算的顺序吗？(类比得出分式混合运算的顺序与分数混合运算的顺序相同)
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18.4 整数指数幂
第1课时 负整数指数幂
【质疑导入】
若把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的“m>n”这个条件去掉，你有信心解决下面的问题吗？
1．计算：52÷55； 103÷107.
一方面：52÷55＝52－5＝5－3. 103÷107＝103－7＝10－4.
另一方面：52÷55＝eq \f(52,55) ＝eq \f(1,53). 103÷107＝eq \f(103,107)＝ eq \f(1,104).
则5－3＝eq \f(1,53). 10－4＝eq \f(1,104).
由分式的除法约分可知，当a≠0时，a3÷a5＝eq \f(a3,a5)＝eq \f(a3,a3·a2)＝eq \f(1,a2)；a3÷a5＝a3－5＝a－2.
于是得到a－2＝eq \f(1,a2)(a≠0)．
2．归纳：一般地，当n是正整数时，a－n＝eq \f(1,an)(a≠0)，即任何不等于零的数的－n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
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第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【类比导入】
(1)用科学记数法表示下列各数：
3 400 000 000＝________；340 000 000＝________；
34 000 000＝________；3 400 000＝________；
340 000＝________；34 000＝________；
3 400＝________；340＝________；
34＝________．
(2)如果把3.4用科学记数法的形式表示为3.4＝3.4×10n，则n＝________．
(3)类比以上各式你能发现什么规律？
(4)按照这个规律继续用科学记数法表示下列各数：
0．34＝________；0.034＝________；
0．003 4＝________；0.000 34＝________；
0．000 034＝________；0.000 003 4＝________．
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18.5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【质疑导入】
复习及引入新课
1．提问：什么叫作方程？什么叫作方程的解？
答：含有未知数的等式叫作方程．使方程左、右两边相等的未知数的值叫作方程的解．
2．在x＝0，x＝1，x＝－1中，哪个是方程eq \f(x3 －x,x－1)＝0的解？为什么？
解：(1)当x＝0时，左边＝eq \f(x3 －x,x－1)＝eq \f(0,－1)＝0，右边＝0，∴左边＝右边．
∴x＝0是方程eq \f(x3 －x,x－1)＝0的解．
(2)当x＝1时，左边式子eq \f(x3 －x,x－1)无意义，∴x＝1不是方程eq \f(x3 －x,x－1)＝0的解．
(3)当x＝－1时，左边＝eq \f(（－1）3－（－1）,－1－1)＝eq \f(0,－2)＝0，∴左边＝右边．
∴x＝－1是方程eq \f(x3 －x,x－1)＝0的解．
3．提出问题：把eq \f(1,5)的分子分母都加上同一个数， 能使分数的值变为eq \f(1,2)吗？
设所求的数为x，则依据题意可列出方程eq \f(1＋x,5＋x)＝eq \f(1,2).
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
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第2课时 分式方程的实际应用
【复习导入】
列方程解应用题的一般步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
概括这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．
问题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的eq \f(1,3)，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．求乙队单独完成需要的时间．
继续求解：哪个队的施工速度快？
归纳：用分式方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答．
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课题
18.1.1 从分数到分式
授课人
素养目标
1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．
2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
3．通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界.
教学重点
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
教学难点
掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
在七年级和第十六章我们学习了整式的有关概念和运算，请同学们回顾整式的有关概念．
1．什么是单项式？什么是多项式？单项式和多项式统称为整式．
2.eq \f(3,5)表示3÷5的商，(2a＋b)÷(m＋n)可以表示为eq \f(2a＋b,m＋n).
学生回忆并回答．温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
填空：
(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为eq \f(10,7)cm；
长方形的面积为S，长为a，宽应为eq \f(S,a)．
(2)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他的平均速度为eq \f(a,b)km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样多的距离多用c h，则他上坡的平均速度为eq \f(a,b＋c)km/h.
(3)轮船在静水中每小时航行a千米，水流速度是b千米/时，那么轮船在逆水中航行5千米所用的时间为eq \f(5,a－b)小时，在顺水中航行5千米所用的时间为eq \f(5,a＋b)小时．
(4)产量由m千克增长15%，就可达到(1＋15%)m千克．
学生自己依次填空，这些式子有什么共同点？eq \f(S,a)，eq \f(V,S)与分数有什么相同点和不同点？(由此引入新课)今天我们再认识代数式家族中新的一员——分式.
从学生已有的知识出发，利用多媒体创设问题情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．分式的概念
由【课堂引入】内容中的问题，完成思考(小组合作后归纳小结，一人发言)．
学生分组讨论得出答案，并指出书写形式：同5÷3可以写成eq \f(5,3)一样，式子A÷B可以写成eq \f(A,B).
师生活动：让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结．
分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq \f(A,B)叫作分式．
分式的特点：(1)分式的分母中必须含有字母；
(2)分式比分数更具有一般性．
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5，eq \f(b,a)，eq \f(a＋b,2)，eq \f(x＋1,x－1)，xy＋x2y，eq \f(x,π－1)，eq \f(1,m)(x＋y)．
师生活动：学生回答完问题后，让学生说出整式与分式的区别．
2．分式有意义及分式值为0的条件
我们知道除数不能为0，让学生通过思考、讨论等活动，充分认识到：
(1)分式有意义：分母不为0；
(2)分式值为0：分子为0，分母不为0.
1.培养学生从特殊到一般转化的思想．
2．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．
3．借助学生对于分数的概念的已有认识，学习分式的概念是十分自然的知识扩充，教学中按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程易于让学生接受.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式，哪些是分式．
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需________小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是________千米/时，轮船的逆流速度是________千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是________．
解：(1)eq \f(80,x)；分式．(2)a＋b，a－b；整式．(3)eq \f(x－y,4)；整式．
例2 (教材第139页例1)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)eq \f(2,3x)；(2)eq \f(x,x－1)；(3)eq \f(1,5－3b)；(4)eq \f(x＋y,x－y).
解：(1)要使分式eq \f(2,3x)有意义，则分母3x≠0，即x≠0.
(2)要使分式eq \f(x,x－1)有意义，则分母x－1≠0，即x≠1.
(3)要使分式eq \f(1,5－3b)有意义，则分母5－3b≠0，即b≠eq \f(5,3).
(4)要使分式eq \f(x＋y,x－y)有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
例3 当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式值为零？
(1)eq \f(2x－5,x2－4)；(2)eq \f(x2－1,x2－x).
解：(1)有意义：x2－4≠0，即x≠±2；
无意义：x2－4＝0，即x＝±2；
值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝eq \f(5,2).
(2)有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；
无意义：x2－x＝0，即x＝0或x＝1；
值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
师生活动：学生思考问题，教师进行个别提问，学生进行阐述，教师进行总结．
【变式训练】
1．对于单项式“5x”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x千克，共付款5x元．请你对分式“eq \f(3,y)”给出一个实际生活方面的合理解释：答案不唯一，如：香蕉每千克y元，某人用3元钱去购买，可以买到eq \f(3,y)千克香蕉．
2．已知分式eq \f(x－b,2x＋a)，当x＝2时，分式的值为零；当x＝－2时，分式没有意义，求a＋b的值．
解：∵当x＝2时，分式的值为零，即x－b＝0，∴b＝x＝2.
∵当x＝－2时，分式没有意义，即2x＋a＝0，∴a＝－2x＝4.
∴a＋b＝6.
师生活动：学生积极思考，快速解答问题，并与老师进行交流， 确定答案，理解知识．教师进行个别提问，在得到学生答案的同时， 指导学生说明理由，同时给予必要的指导和解释.
通过经历对例题和变式的探究过程，加深学生对概念的理解，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列各式中，是分式的有①③．
①eq \f(4,x)；②eq \f(a,4)；③eq \f(1,x－y)；④eq \f(3x,4)；⑤eq \f(1,2)x2.
2．分式eq \f(x2＋1,3x－2)有意义的条件是x≠eq \f(2,3)．
3．当x为何值时，下列分式的值为0?
(1)eq \f(x＋7,5x)；(2)eq \f(7x,21－3x).
解：(1)x＋7＝0且5x≠0，即x＝－7.
(2)7x＝0且21－3x≠0，即x＝0.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
当堂检测，及时反馈学习效果.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第139～140页练习第1，2，3，4题.
课堂总结，发展潜能.
板书设计
18.1.1 从分数到分式
1．分式的概念．
2．分式有意义及分式值为0的条件.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
本节课从分数类比引入分式概念，多数学生能辨析分式定义及分式有意义的条件，但在实际问题建模中存在对数量关系理解不足等问题．情境创设让多数学生感知分式产生的必要，可小组讨论提升学生参与度．习题分层有基础成效，变式和应用题反映出学生符号处理及生活经验的欠缺，迁移训练要加强．后续将从情境优化、思维训练等方面改进.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.1.2 第1课时 分式的基本性质
授课人
素养目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2．通过类比分数的基本性质探索分式的基本性质，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.
教学重点
掌握分式的基本性质.
教学难点
灵活运用分式的基本性质进行分式的变形.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.分式的定义？
2．小学里学过的分数的基本性质是什么？
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
填空：eq \f(2,3)＝eq \f(10,（）)，eq \f(24,56)＝eq \f(3,（）)，
eq \f(2,3)＝eq \f(2a,（）)(其中a≠0)，eq \f(5c,9c)＝eq \f(5,（）)(其中c≠0)．
分数的基本性质：一个分数的分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
从学生已有的知识出发，设问题情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
教师提问【课堂引入】中的思考后，学生口述猜想，教师总结：
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
你能用式子表示这个性质吗？
eq \f(A,B)＝eq \f(A·C,B·C)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷C,B÷C)(其中A，B，C是整式，且C≠0)．
师生活动：回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质．
让学生尝试用式子表示分式的基本性质.
1.回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．
2．让学生尝试用式子表示分式的基本性质，加强对学生的抽象表达能力的培养.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第140页例2)下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1)eq \f(a,2b)＝eq \f(ac,2bc)(c≠0); (2)eq \f(x3,xy)＝eq \f(x2,y).
解：(1)分式eq \f(a,2b)的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变，即eq \f(a,2b)＝ eq \f(a·c,2b·c) ＝eq \f(ac,2bc).
(2)分式eq \f(x3,xy) 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即eq \f(x3,xy) ＝ eq \f(x3÷x,xy÷x) ＝eq \f(x2,y).
例2 (教材第141页例3)填空：
(1)eq \f(x3,x2y)＝eq \f(（）,y)；(2)eq \f(3x2＋3xy,6x2)＝eq \f(x＋y,（）)；
(3)eq \f(1,ab)＝eq \f(（）,a2b)；(4)eq \f(2a－b,a2)＝eq \f(（）,a2b)(b≠0)．
解：(1)x.(2)2x.(3)a.(4)2ab－b2.
【变式训练】
1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)eq \f(－x,5y)；(2)eq \f(－3a,－7b)；(3)－eq \f(10m,－3n).
解：(1)eq \f(－x,5y)＝－eq \f(x,5y).(2)eq \f(－3a,－7b)＝eq \f(3a,7b).(3)－eq \f(10m,－3n)＝eq \f(10m,3n).
2．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？
(1)eq \f(y,x)＝eq \f(x2y,x3)；(2)eq \f(2x,x2)＝eq \f(2,x)；(3)eq \f(4x,x＋y)＝eq \f(20x,5（x＋y）)；(4)eq \f(x－2,（x－2）2)＝eq \f(1,x－2).
解：(1)eq \f(y,x)＝eq \f(x2y,x3)，等号左边的式子的分子与分母同时乘x2，即可得到等号右边的式子．
(2)eq \f(2x,x2)＝eq \f(2,x)，等号左边的式子的分子与分母同时除以x，即可得到等号右边的式子．
(3)eq \f(4x,x＋y)＝eq \f(20x,5（x＋y）)，等号左边的式子的分子与分母同时乘5，即可得到等号右边的式子．
(4)eq \f(x－2,（x－2）2)＝eq \f(1,x－2)，等号左边的式子的分子与分母同时除以x－2，即可得到等号右边的式子．
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
通过经历对例题和变式的探究过程，加深学生对分式的基本性质的理解，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．不改变分式的值，将eq \f(x,2－x)变形，可得(C)

A．－eq \f(x,x＋2) B.eq \f(x,x－2)
C．－eq \f(x,x－2) D.eq \f(x,x＋2)
2．不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数．
(1)eq \f(a,0.3b)；
(2)eq \f(\f(1,2)a－2,a＋3).
解：(1)eq \f(a,0.3b)＝eq \f(10a,3b).
(2)eq \f(\f(1,2)a－2,a＋3)＝eq \f(a－4,2a＋6).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，及时巩固所学知识，让学生获得对分式深层次的理解，同时培养学生独立思考问题的能力.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第144～145页习题18.1第4，5题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
18.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
分式的基本性质
提纲挈领，重点突出.
教学反思
本节课通过类比分数的基本性质引导学生探究分式的基本性质，多数学生能复述 “分子、分母同乘(或除以)非零整式，分式的值不变”，但部分学生忽略“不为0”的限制，对 “非零” 条件的理解不深．后续将增加 “非零条件” 的变式训练，在约分和通分教学前插入因式分解速练，并设计 “错误辨析” 环节强化性质的严谨性理解.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.1.2 第2课时 分式的约分和通分
授课人
素养目标
1.能运用分式的基本性质约分．
2．理解最简公分母的含义，灵活运用分式的基本性质进行分式的通分．
3．通过类比分数的通分，探索分式的通分法则，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界.
教学重点
运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
教学难点
熟练地进行分式的约分和通分.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．把下面分数约分：
eq \f(24,30)，eq \f(20,45)，eq \f(12,8)，eq \f(50,20).
2．化简下列分式：
(1)eq \f(a2bc,ab)；(2)eq \f(x2－1,x2－2x＋1).
以学生为本的思想为指导，采用类比推理、合作学习等方法探究分式约分和通分的概念.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．怎样进行分式的约分？
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
2．在化简分式eq \f(5xy,20x2y)时，小颖和小明的做法出现分歧：
小颖：eq \f(5xy,20x2y)＝eq \f(5x,20x2)；小明：eq \f(5xy,20x2y)＝eq \f(5xy,4x·5xy)＝eq \f(1,4x).
你对他俩的解法有何看法？说说看！
3．最简分式：把一个分式约分后，分式中的分子与分母没有公因式，这样的分式叫作最简分式．
4．把分数eq \f(7,8)和eq \f(5,12)通分：eq \f(7,8)＝________，eq \f(5,12)＝________．
利用分式的基本性质把eq \f(1,2ab)和eq \f(2－b,3a2)化成分母都是6a2b的分式：
eq \f(1,2ab)＝eq \f(1·（）,2ab·（）)＝eq \f(（）,6a2b)，eq \f(2－b,3a2)＝eq \f(（2－b）·（）,3a2·（）)＝eq \f(（）,6a2b).
定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的________的分式，叫作分式的通分．
5．我们把分母6a2b叫作分式eq \f(1,2ab)和eq \f(2－b,3a2)的最简公分母．
思考：最简公分母6a2b与分母2ab，3a2之间有什么关系？
定义：一般取各分母的________因式的________的积作公分母，它叫作最简公分母．
思考：如何确定最简公分母？
1.培养学生的总结归纳能力．
2．在学完分数的约分后，学习分式的约分是十分自然的知识扩充．按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程教学．
3．通过寻找分式的最简公分母，掌握分式通分的关键.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第142页例4)约分：
(1)eq \f(－25a2bc3,15ab2c)；(2)eq \f(x2－9,x2＋6x＋9)；(3)eq \f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y).
解：(1)eq \f(－25a2bc3,15ab2c)＝－eq \f(5abc·5ac2,5abc·3b)＝－eq \f(5ac2,3b).
(2)eq \f(x2－9,x2＋6x＋9)＝eq \f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)＝eq \f(x－3,x＋3).
(3)eq \f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y)＝eq \f(6（x－y）2,3（x－y）)＝2(x－y)．
教师点拨：约分时，要先找出分子和分母的公因式．
思考：如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？
例2 (教材第143页例5)通分：
(1)eq \f(3,2a2b)与eq \f(a－b,3ab2c)；(2)eq \f(2x,x2－25)与eq \f(3x,2x＋10).
【点拨】 通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母．
解：(1)最简公分母是6a2b2c.
eq \f(3,2a2b)＝eq \f(3·3bc,2a2b·3bc)＝eq \f(9bc,6a2b2c)，
eq \f(a－b,3ab2c)＝eq \f(（a－b）·2a,3ab2c·2a)＝eq \f(2a2－2ab,6a2b2c).
(2)最简公分母是2(x＋5)(x－5)．
eq \f(2x,x2－25)＝eq \f(2x·2,（x－5）（x＋5）·2)＝eq \f(4x,2x2－50)，
eq \f(3x,2x＋10)＝eq \f(3x（x－5）,2（x＋5）（x－5）)＝eq \f(3x2－15x,2x2－50).
【变式训练】
1．约分：
(1)eq \f(－3a3,a4)；(2)eq \f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)；(3)eq \f(x2－1,x2－2x＋1).
解：(1)eq \f(－3a3,a4)＝－eq \f(3,a).
(2)eq \f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)＝eq \f(4a2（x－y）,9).
(3)eq \f(x2－1,x2－2x＋1)＝eq \f(（x＋1）（x－1）,（x－1）2)＝eq \f(x＋1,x－1).
2．通分：
(1)eq \f(x,3y)与eq \f(3x,2y2)；(2)eq \f(x－y,2x＋2y)与eq \f(xy,（x＋y）2)；(3)eq \f(2mn,4m2－9)与eq \f(2m－3,2m＋3).
解：(1)eq \f(x,3y)＝eq \f(2xy,6y2)，eq \f(3x,2y2)＝eq \f(9x,6y2).
(2)eq \f(x－y,2x＋2y)＝eq \f(x2－y2,2（x＋y）2)，eq \f(xy,（x＋y）2)＝eq \f(2xy,2（x＋y）2).
(3)eq \f(2mn,4m2－9)＝eq \f(2mn,4m2－9)，eq \f(2m－3,2m＋3)＝eq \f(（2m－3）2,4m2－9).
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
1.巩固通分的方法．
2．使学生注意当分母是多项式时，一般先把分母因式分解后，再确定最简公分母.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．约分：
(1)eq \f(－15（a＋b）2,－25（a＋b）)；(2)eq \f(x2y＋xy2,2xy)；(3)eq \f(m2－3m,9－m2).
解：(1)eq \f(－15（a＋b）2,－25（a＋b）)＝eq \f(3（a＋b）,5).
(2)eq \f(x2y＋xy2,2xy)＝eq \f(xy（x＋y）,2xy)＝eq \f(x＋y,2).
(3)eq \f(m2－3m,9－m2)＝eq \f(m（m－3）,（3＋m）（3－m）)＝－eq \f(m,m＋3).
2．通分：
(1)eq \f(1,6ab2)，eq \f(1,9a2bc)；(2)eq \f(a－1,a2＋2a＋1)，eq \f(6,a2－1).
解：(1)eq \f(1,6ab2)＝eq \f(3ac,18a2b2c)，eq \f(1,9a2bc)＝eq \f(2b,18a2b2c).
(2)eq \f(a－1,a2＋2a＋1)＝eq \f(（a－1）2,（a＋1）2（a－1）)，
eq \f(6,a2－1)＝eq \f(6a＋6,（a＋1）2（a－1）).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第144页练习第1，2题，第145页习题18.1第6题.
学生归纳、梳理，形成体系，养成良好的学习习惯．布置作业体现分层教学，加深认识、深化提高，形成体系.
板书设计
18.1.2 分式的基本性质
第2课时 分式的约分和通分
1．约分和最简分式．
2．最简公分母．
3．通分.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本课时教学中，部分学生能快速掌握简单分式的约分，但面对分子、分母为多项式的情况，由于因式分解不熟练导致约分错误，这说明课前需强化因式分解复习．通分教学时，学生对最简公分母的确定存在混淆，尤其分母是多项式时，找公因式的步骤容易遗漏，这体现出需用具体例题分步引导，让学生明确先分解因式再找公倍式的逻辑. 课堂上小组讨论环节，学生通过对比分数约分通分与分式的异同，加深了对知识的迁移理解，但也有学生过度依赖分数经验，忽略分式中字母取值范围的限制，后续需在例题中强调分母不为零的条件．总体而言，这节课让我意识到，分式的教学需紧密联系旧知，注重细节易错点的拆解，同时通过多样化练习强化应用能力，才能让学生真正掌握新知识.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.2 第1课时 分式的乘法与除法
授课人
素养目标
1.理解并掌握分式的乘除法法则．
2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
3．经历探索分式的乘除运算法则的过程，渗透类比转化的思想，会用数学思维思考现实世界．让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练.
教学重点
掌握分式的乘除运算.
教学难点
分子、分母为多项式的分式乘除运算.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
约分：
(1)eq \f(6xy2,－2y)；(2)eq \f(2a（a－1）,8ab2（1－a）).
解：(1)－3xy.(2)－eq \f(1,4b2).
温故知新，为本节课做知识的铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
问题1：一个水平放置的长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的eq \f(m,n)时，水面的高度为多少？
问题2：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
教师提出问题．
学生思考、交流，进入新课学习.
按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容，为学习新知识做好铺垫.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．教师请两位学生板书【课堂引入】中问题的答案．
问题1答案：长方体容器的高为eq \f(V,ab)，水面的高度为eq \f(V,ab)·eq \f(m,n).
问题2答案：大拖拉机的工作效率是eq \f(a,m)公顷/天，小拖拉机的工作效率是eq \f(b,n)公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的(eq \f(a,m)÷eq \f(b,n))倍．
由此引出分式的乘除法的实际存在的意义．
观察下列运算：
eq \f(2,3)×eq \f(4,5)＝eq \f(2×4,3×5)，
eq \f(5,7)÷eq \f(2,9)＝eq \f(5,7)×eq \f(9,2)＝eq \f(5×9,7×2).
猜一猜：
eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝？ eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝？
教师提出问题．
学生思考、议论后在小组内交流．
2．你能归纳总结出分式的乘除法法则吗？由学生自己归纳总结出分式乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用符号语言表达：eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用符号语言表达：eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(a·d,b·c).
1.这个答题活动激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程．
2．借助学生对于分数的乘除法的已有认识，学习分式的乘除法是十分自然的知识扩充，教学中按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，启发学生温故而知新．
3．让学生类比发现，自己总结结论，实现学生主动参与、探究新知的目的.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第146页例1)计算：
(1)eq \f(4x,3y)·eq \f(y,2x3)；(2)eq \f(ab3,2c2)÷eq \f(－5a2b2,4cd).
解：(1)原式＝eq \f(4x·y,3y·2x3)＝eq \f(4xy,6x3y)＝eq \f(2,3x2).
(2)原式＝eq \f(ab3,2c2)·eq \f(4cd,－5a2b2)＝－eq \f(ab3·4cd,2c2·5a2b2)＝－eq \f(2bd,5ac).
例2 (教材第147页例2)计算：
(1)eq \f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq \f(a－1,a2－4)；(2)eq \f(1,49－m2)÷eq \f(1,m2－7m).
解：(1)原式＝eq \f(a－2,（a－1）（a＋2）).
(2)原式＝－eq \f(m,7＋m).
例3 (教材第147页例3)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
(2)eq \f(500,（a－1）2)÷eq \f(500,a2－1)＝eq \f(a＋1,a－1).
高的单位面积产量是低的单位面积产量的eq \f(a＋1,a－1)倍．
【变式训练】
计算：eq \f(x2－4,x2－4x＋3)÷eq \f(x2＋3x＋2,x2－x).
解：原式＝eq \f(x（x－2）,（x－3）（x＋1）).
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
通过具体问题，让学生自主探索，教师引导学生比较、探究，并进行充分讨论，最后统一认识，总结归纳分式的乘除法计算的方法.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)eq \f(b,a)·eq \f(a,b)＝1；(2)eq \f(b,a)÷a＝b；
(3)eq \f(－x,2b)·eq \f(6b,x2)＝eq \f(3b,x)；(4)eq \f(4x,3a)÷eq \f(a,2x)＝eq \f(2,3).
解：(1)对．(2)错，正确的是eq \f(b,a2).(3)错，正确的是－eq \f(3,x).(4)错，正确的是eq \f(8x2,3a2).
2．计算：eq \f(2x＋6,4－4x＋x2)÷(x＋3)·eq \f(x2＋x－6,3－x).
解：原式＝eq \f(2x＋6,4－4x＋x2)·eq \f(1,x＋3)·eq \f(x2＋x－6,－（x－3）)
＝eq \f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq \f(1,x＋3)·eq \f(（x＋3）（x－2）,－（x－3）)
＝－eq \f(2（x＋3）,（x－2）（x－3）).
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
3.先化简，再求值：eq \f(x－2,x＋3)·eq \f(x2－9,x2－4x＋4)，其中x＝6.
解：原式＝eq \f(x－2,x＋3)·eq \f(（x＋3）（x－3）,（x－2）2)＝eq \f(x－3,x－2).
当x＝6时，原式＝eq \f(3,4).
教师点拨：分式的乘除要严格按照法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式．运算过程一定要注意符号.
当堂检测，及时反馈学习效果.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
师生归纳：
(1)分式的乘除法法则．
(2)若分式的分子、分母是几个因式的积，直接约去分子、分母的最大公因式．
(3)若分子、分母含有多项式，先分解因式，再进行约分．
(4)最后结果为最简分式或整式．
2．布置作业：
教材第150页习题18.2第1，2题.
学生归纳、梳理，形成体系，养成良好的学习习惯.
板书设计
18.2 分式的乘法与除法
第1课时 分式的乘法与除法
1．分式的乘法法则：eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).
2．分式的除法法则：eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(a·d,b·c).
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本课时教学中，发现部分学生对符号变换关注不足，分式含负号时错误率较高．课堂练习中，基础题与拓展题衔接不畅．后续需通过错解辨析强调符号规则，将拓展题拆解为递进式训练，帮助学生构建知识体系.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.2 第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
授课人
素养目标
1.进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式乘除法的混合运算．
2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的法则，并能运用乘方法则进行分式的乘方运算．
3．经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性，会用数学的语言表达现实世界.
教学重点
分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算.
教学难点
分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．数学课上需要一张边长为eq \f(b,a)cm的正方形卡纸，它的面积为________cm2.
2．一个正方体的容器，它的棱长为eq \f(b,a) cm，则它的容积为________cm3.
怎样计算出这两个结果呢？让我们来探究一下吧！(导入新课)
使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生的学习兴趣.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(2)＝________；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(3)＝________；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(10)＝________；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(n)＝eq \f(a,b)__·eq \f(a,b)·…·eq \f(a,b)
\s\d4(n个))＝________．
思考：分式的乘方法则：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(n)＝________(n是正整数)．
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
培养学生归纳探究能力.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第149页例4)计算：eq \f(2x,5x－3)÷eq \f(3,25x2－9)·eq \f(x,5x＋3).
解：原式＝eq \f(2x,5x－3)·eq \f(25x2－9,3)·eq \f(x,5x＋3)＝eq \f(2x2,3).
教师点拨：乘除混合运算可以统一为乘法运算．
例2 (教材第149页例5)计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2a2b,3c)))eq \s\up12(2)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2b,－cd3)))eq \s\up12(3)÷eq \f(2a,d3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2a)))eq \s\up12(2).
解：(1)原式＝eq \f(（－2a2b）2,（3c）2)＝eq \f(4a4b2,9c2).
(2)原式＝eq \f(（a2b）3,（－cd3）3)·eq \f(d3,2a)·eq \f(c2,（2a）2)＝eq \f(a6b3,－c3d9)·eq \f(d3,2a)·eq \f(c2,4a2)＝－eq \f(a3b3,8cd6).
【变式训练】
1．计算：
(1)eq \f(2m2n,3pq2)·eq \f(5p2q,4mn2)÷eq \f(5mnp,3q)；(2)eq \f(16－a2,a2＋8a＋16)÷eq \f(a－4,2a＋8)·eq \f(a－2,a＋2).
解：(1)原式＝eq \f(1,2n2).
(2)原式＝－eq \f(2（a－2）,a＋2).
2．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a＋3)))eq \s\up12(2)÷(a－1)·eq \f(9－a2,a－1).
解：原式＝eq \f(3－a,a＋3).
教师和学生共同总结复杂的分式混合运算，要注意：(1)能分解因式的就先分解因式；(2)化除法为乘法；(3)分式的乘方；(4)约分化简成最简分式.
进一步巩固新学知识.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2x4y2,3z)))eq \s\up12(3)；
(2)eq \f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,a＋b)))eq \s\up12(2)；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab3,－c2d)))eq \s\up12(2)÷eq \f(6a4,b3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3c,b2)))eq \s\up12(3).
解：(1)原式＝－eq \f(8x12y6,27z3).
(2)原式＝eq \f(（a＋b）（a－b）,（a＋b）2)÷eq \f(（a－b）2,（a＋b）2)
＝eq \f(（a＋b）（a－b）,（a＋b）2)·eq \f(（a＋b）2,（a－b）2)
＝eq \f(a＋b,a－b).
(3)原式＝eq \f(4a2b6,c4d2)·eq \f(b3,6a4)·(－eq \f(27c3,b6))
＝－eq \f(18b3,a2cd2).
2．化简求值：eq \f(b2,a2－ab)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a－b)))eq \s\up12(2)·eq \f(a2b,a－b)，其中a＝eq \f(1,2)，b＝－3.
解：原式＝ab.
当a＝eq \f(1,2)，b＝－3时，原式＝eq \f(1,2)×(－3)＝－eq \f(3,2).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
本节课学习了哪些知识？在知识运用过程中需要注意什么？你有什么收获？
在活动中教师要关注：学生对所学知识的归纳、整理是否准确、全面；学生能否对探究知识的过程进行评价．
2．布置作业：
教材第150页习题18.2第3题.
课堂总结，发展潜能.
板书设计
18.2 分式的乘法与除法
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
分式的乘方法则：(eq \f(a,b))n＝eq \f(an,bn)
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本课时教学中，需关注学生对分式运算法则的综合运用能力．部分学生对分式乘方法则“分子、分母分别乘方”掌握较好，但与乘除混合运算结合时，常因乘方时符号判断失误，或同底数幂相乘(除)时运算错误．后续教学应演示具体例题，设置专项训练，强化易错点，同时将综合题型分解为模块化步骤，帮助学生形成清晰的解题思路，提升运算的准确性与逻辑性.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.3 第1课时 分式的加法与减法
授课人
素养目标
1.熟练掌握同分母分式的加减运算．
2．掌握异分母分式的加减法法则及通分的过程与方法．
3．通过探究异分母分式加减法法则的过程，会用数学的眼光观察现实世界，提高思维的灵活性，培养学生整体思考和分析问题的能力.
教学重点
分式的加减法.
教学难点
异分母分式的加减运算.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.什么叫通分？
2．通分的关键是什么？
3．什么叫最简公分母？
4．通分的作用是什么？
回顾旧知，为新课做铺垫.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
问题1：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程．甲、乙共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2：前年、去年、今年某地的森林面积(单位：km2)分别是S1，S2，S3，今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
教师提出问题，引入新课.
感受学习分式加减法的必要性.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．在【课堂引入】中，
问题1，如果学生存在问题，教师可适时启发具体问题如下：
(1)甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
(2)乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
(3)两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2，如果学生存在问题，教师可适时启发让学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生理解其意义，然后再进行字母表示，具体问题如下：
(1)什么是增长率？
(2)去年、今年的森林面积增长率分别是多少？
(3)今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
2．观察下列分数加减运算的式子：
eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，eq \f(1,5)－eq \f(2,5)＝－eq \f(1,5)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,6)＋eq \f(2,6)＝eq \f(5,6)，eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(3,6)－eq \f(2,6)＝eq \f(1,6).
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则．学生讨论，组内交流，教师点拨．
同分母的分式加减法．
公式：eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).
文字叙述：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母的分式加减法．
公式：eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd)＝eq \f(ad±bc,bd).
文字叙述：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
1.通过这两个实际问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法作铺垫．
2．学生在学完了同分母分数加减法后，学习同分母分式加减法法则，训练学生正确使用数学语言的能力．
3．由学生小结异分母的分式加减法法则.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 (教材第152页例1)计算：
(1)eq \f(5x＋3y,x2－y2)－eq \f(2x,x2－y2)；(2)eq \f(m＋2n,n－m)＋eq \f(n,m－n)－eq \f(2m,n－m).
解：(1)原式＝eq \f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq \f(3x＋3y,（x＋y）（x－y）)＝eq \f(3（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq \f(3,x－y).
(2)原式＝eq \f(m＋2n,n－m)＋eq \f(－n,n－m)－eq \f(2m,n－m)＝eq \f(m＋2n－n－2m,n－m)＝eq \f(n－m,n－m)＝1.
小结：
(1)分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．
(2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．
【变式训练】
计算：(1)eq \f(a,b＋1)＋eq \f(2a,b＋1)－eq \f(3a,b＋1)；(2)eq \f(1,2c2d)＋eq \f(1,3cd2).
解：(1)原式＝eq \f(a＋2a－3a,b＋1)＝0.
(2)原式＝eq \f(3d＋2c,6c2d2).
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
进一步巩固分式的加减运算.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．计算：(1)eq \f(x＋1,x)－eq \f(1,x)；(2)eq \f(3,2m－n)－eq \f(2m－n,（2m－n）2).
解：(1)原式＝1.
(2)原式＝eq \f(2,2m－n).
2．阅读下面题目的运算过程：
eq \f(x－3,x2－1)－eq \f(2,1＋x)
＝eq \f(x－3,（x＋1）（x－1）)－eq \f(2（x－1）,（x＋1）（x－1）)……①
＝x－3－2(x＋1)……②
＝x－3－2x＋2……③
＝－x－1.……④
上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号：②．
(1)错误的原因是漏掉了分母；
(2)请写出正确的计算过程．
解：原式＝eq \f(x－3,（x＋1）（x－1）)－eq \f(2（x－1）,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(－（x＋1）,（x＋1）（x－1）)
＝－eq \f(1,x－1).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第155页习题18.3第1，2题.
学生归纳、梳理，形成体系，养成良好的学习习惯．布置作业体现分层教学，加深认识、深化提高，形成体系.
板书设计
18.3 分式的加法与减法
第1课时 分式的加法与减法
分式的加减eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同分母分式的加减——分母不变，把分子相加减,异分母分式的加减——先通分，变为同分母的分式，再加减))
提纲挈领，重点突出.
教学反思
加减混合”的递进式训练．→加减混合”的递进式训练.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.3 第2课时 分式的混合运算
授课人
素养目标
1.明确分式混合运算的顺序，能够熟练地进行分式的混合运算．
2．能灵活运用运算律进行简便运算．
3．类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则.
教学重点
熟练地进行分式的混合运算.
教学难点
熟练地进行分式的混合运算.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.分式的乘除法法则：
eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝________，eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝________＝________．
2．分式的加减法法则：
eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝________，eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝________＝________．
3．分式的乘方法则：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(n)＝________.
回顾旧知，为新课做铺垫.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
你能完成下面的问题吗？
求式子(eq \f(a,a－1)－1)÷eq \f(a2＋a,a2－1)的值，其中a＝eq \f(2,3).
从学生已有的知识出发，激发学生的求知欲.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
回顾分数混合运算的顺序
类比分数，得出分式混合运算的顺序．
掌握分式混合运算的顺序——先乘方，再乘除，最后算加减；若有括号，应先算括号内的．
对于条件求值题，一般先把分式化简，再把已知条件合理转化，最后代入求值．
和学生一起解决【课堂引入】中的问题．
解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,a－1)－\f(a－1,a－1)))·eq \f(（a＋1）（a－1）,a（a＋1）)＝eq \f(1,a－1)·eq \f(a－1,a)＝eq \f(1,a).
当a＝eq \f(2,3)时，原式＝eq \f(1,\f(2,3))＝eq \f(3,2).
经历思考、交流，归纳出分式混合运算的计算顺序.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第153页例3)计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)))eq \s\up12(2)·eq \f(1,a－b)－eq \f(a,b)÷eq \f(b,4)；
(2)(eq \f(x＋2,x2－2x)－eq \f(x－1,x2－4x＋4))÷eq \f(x－4,x).
解：(1)原式＝eq \f(4a2,b2)·eq \f(1,a－b)－eq \f(a,b)·eq \f(4,b)
＝eq \f(4a2,b2（a－b）)－eq \f(4a,b2)
＝eq \f(4a2,b2（a－b）)－eq \f(4a（a－b）,b2（a－b）)
＝eq \f(4a2－4a2＋4ab,b2（a－b）)
＝eq \f(4ab,b2（a－b）)
＝eq \f(4a,ab－b2).
(2)原式＝[eq \f(x＋2,x（x－2）)－eq \f(x－1,（x－2）2)]·eq \f(x,x－4)
＝eq \f(（x＋2）（x－2）－（x－1）x,x（x－2）2)·eq \f(x,x－4)
＝eq \f(x2－4－x2＋x,（x－2）2（x－4）)
＝eq \f(1,（x－2）2).
进一步巩固分式的混合运算.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料．两次肥料的价格有变化，第一次的价格为a元/千克，第二次的价格为b元/千克．两位采购员的购货方式也不同：甲每次购买800千克；乙每次用去600元，而不管购买多少肥料．
(1)甲、乙所购肥料的平均价格分别是多少元？
(2)谁的购货方式平均价格更低？
解：(1)∵第一次的价格为a元/千克，第二次的价格为b元/千克，甲每次购买800千克，
∴甲花去的总钱数是800a＋800b，购买的千克数是1 600.
∴甲的平均价格为eq \f(800a＋800b,1 600)＝eq \f(a＋b,2)元．
∵乙花去的总钱数是1 200元，购买的千克数是eq \f(600,a)＋eq \f(600,b)，
∴乙的平均价格为eq \f(1 200,\f(600,a)＋\f(600,b))＝eq \f(2ab,a＋b)元．
(2)∵甲的平均价格为eq \f(a＋b,2)元，乙的平均价格为eq \f(2ab,a＋b)元，
∴eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(a2＋b2＋2ab－4ab,2（a＋b）)＝eq \f(（a－b）2,2（a＋b）).
∵a≠b，
∴eq \f(（a－b）2,2（a＋b）)>0.
∴乙的平均价格更低．
【变式训练】
计算：
(1)(eq \f(x,2y))2·eq \f(y,2x)－eq \f(x,y2)÷eq \f(2y2,x)；
(2)eq \f(x＋1,x)·(eq \f(2x,x＋1))2－(eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x＋1))．
解：(1)原式＝eq \f(xy3－4x2,8y4).
(2)原式＝eq \f(4x2－4x－2,（x＋1）（x－1）).
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．计算：
(1)(1＋eq \f(1,m＋1))·eq \f(m2＋m,m2－4)；
(2)eq \f(x2,x2＋2x＋1)÷(1－eq \f(1,x＋1))；
(3)x＋y＋eq \f(x2＋y2,x－y).
解：(1)原式＝eq \f(m,m－2).
(2)原式＝eq \f(x,x＋1).
(3)原＝eq \f(2x2,x－y).
2．先化简，再求值：eq \f(x－y,x＋2y)÷eq \f(x2－y2,x2＋4xy＋4y2)－2，其中x＝2.25，y＝－2.
解：原式＝－eq \f(x,x＋y).
当x＝2.25，y＝－2时，原式＝－eq \f(2.25,2.25－2)＝－9.
在运算过程中，要注意：
(1)分式乘方不要漏乘；
(2)加减计算要注意符号；
(3)和整数或整式相加减时注意把整数或整式看成分母是1的整数或整式，通分后再计算；
(4)化简求值，一定要换成最简分式再求值.
检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第155页练习第1题(2)(4)，第2，3题，第155～156页习题18.3第3，6题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
18.3 分式的加法与减法
第2课时 分式的混合运算
1．分式的加减法法则．
2．分式的乘除法法则．
3．分式的运算顺序.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本课时教学中，部分学生虽能记忆“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，但面对括号嵌套或指数与乘除交织的题型时，常因步骤混乱导致计算断层，尤其当分式中夹杂多项式因式分解时，未先化简就盲目运算的问题尤为突出．
课后反思发现，应在例题讲解中增设“错误路径展示”环节，通过对比正确与错误解法，让学生自主归纳要点，帮助学生从零散记忆法则过渡到系统性构建运算逻辑，提升复杂问题的拆解能力与运算准确性.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
18.4 第1课时 负整数指数幂
授课人
素养目标
1.知道负整数指数幂a－n＝eq \f(1,an)(a≠0，n是正整数)．
2．掌握整数指数幂的运算性质．
3．通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，会用数学的思维思考现实世界.
教学重点
负整数指数幂的运算.
教学难点
运用负整数指数幂的运算性质进行计算.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
探究：负整数指数幂的运算性质：
(1)72÷75＝72－5＝7－3，72÷75＝eq \f(72,75)＝eq \f(1,73)，发现7－3＝________；
(2)当a≠0时，a5÷a7＝________＝________，a5÷a7＝________＝________，由此得到a－2＝________(a≠0)．
归纳猜想：当n是正整数时，a－n＝________(a≠0)．
你能利用上述猜想计算吗？
4－2＝________，(－eq \f(1,2))－2＝________，(－4)－1＝________，2 0250＋(－2)－3＋(－eq \f(1,2))3＋(－3)－2＝________.
设置问题的难度层层递进，底数由整数到负数再到分数，让学生逐步掌握和理解底数符号与指数符号的差别.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．通过【课堂引入】，师生共同总结：
负整数指数幂的运算性质：
当n是正整数时，a－n＝eq \f(1,an)(a≠0)．
2．幂的运算性质的推广
幂的运算性质可以推广到整数指数幂，如am·an＝________(m，n都是整数)．
计算：a3·a－5＝________；a－3·a－5＝________；a0·a－5＝________．
整数指数幂的运算性质归结为：
(1)am·an＝am＋n(m，n都是整数)；
(2)(am)n＝amn(m，n都是整数)；
(3)(ab)n＝anbn(n是整数).
1.通过可操作的数学活动培养学生从特殊到一般的转化思想．
2．运用类比学习的方法，让学生快速掌握负整数指数幂的运算性质.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 用小数或分数表示下列各数：
(1)10－3；(2)70×8－2；(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3＝eq \f(1,103)＝eq \f(1,1 000)＝0.001.
(2)70×8－2＝1×eq \f(1,82)＝eq \f(1,64).
(3)1.6×10－4＝1.6×eq \f(1,104)＝1.6×0.000 1＝0.000 16.
例2 (教材第160页例1)计算：
(1)a－2÷a5；(2)(eq \f(b3,a2))－2；
(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.
解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝eq \f(1,a7).
(2)(eq \f(b3,a2))－2＝eq \f(（b3）－2,（a2）－2)＝eq \f(b－6,a－4)＝eq \f(a4,b6).
(3)(a－1b2)3＝(a－1)3(b2)3＝a－3b6＝eq \f(b6,a3).
(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·(a2)－3(b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝eq \f(b8,a8).
【变式训练】
计算：(1)6x－2·(2x－2y－1)－3；
(2)(－2a－2)3b2÷(2a－8b－3)．
解：(1)原式＝6x－2·2－3x6y3＝eq \f(6,8)x4y3＝eq \f(3,4)x4y3.
(2)原式＝－23a－6b2÷(2a－8b－3)＝－4a2b5.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．计算(－eq \f(1,2))－1的结果是(D)

A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．2 D．－2
2．下列运算正确的是(A)
A.eq \r(4)＝2 B．(－2)2＝－4 C．10－3＝－30 D．20＝0
3．计算：(eq \f(1,3))－2＋(2－π)0＝10．
4．计算：
(1)x2y－3(x－1y)3；
(2)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3.
解：(1)eq \f(1,x).(2)eq \f(a4c6,4b7).
5．已知a＝－32，b＝2－3，c＝(－eq \f(1,3))－2，d＝(－5)0.先计算a，b，c，d的值，再比较它们的大小，并用“