初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）小结表格教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）小结表格教学设计，共69页。教案主要包含了情境导入，类比导入，悬念激趣，归纳导入，质疑导入，复习导入，课堂引入，探究新知等内容，欢迎下载使用。
轴对称是一种重要的对称，本章我们将类比研究平移的方法，从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其性质，并利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用．在这一过程中，你将通过观察、操作、探究、证明等活动，提升数学素养，培养几何直观、空间观念、逻辑推理和应用实践等多种能力．
15．1 图形的轴对称
15．1.1 轴对称及其性质
【情境导入】
我们生活在充满图形的世界中，利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物，其中利用对称是非常重要的一种方法．对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活中，都可以找到对称的例子．对称给我们带来了美的感受，而轴对称是对称中重要的一种．今天让我们一起走进轴对称的世界，探索它的秘密吧！
探究一：如图，我们先来看这几幅图片，观察它们有什么共同特征．
探究二：观察下图，把每组图形沿虚线对折，观察它们有什么共同特征．
对称的起源
自古以来，人们就已经讨论“对称原理”之一——左和右之间的对称(还有上、下、前、后等之间的对称)了．对称的概念源于数学(更确切地讲是欧氏几何)，对于“对称”在生物现象中的研究，始于1848年的巴斯德 (Pasteur) ，“对称”在天文学(甚至自然界)中的研究，则始于两千多年前的古希腊人.20世纪的物理学家从研究中发现，对称的重要性与日俱增，这从某个方面也说明了古希腊人想法的合理性．
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15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【类比导入】
1．前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？
2．上节课我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间很可能存在相似的地方，你能找出哪些相似之处呢？
3．你能证明你发现的结论是正确的吗？
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第2课时 作轴对称图形的对称轴
【悬念激趣】
巴依老爷和穷人都想在自己家前的路边修一口水井，贪婪的巴依老爷要求穷人和他对半出钱．如图，巴依老爷想把水井修在家门口的路边的A′处，穷人要求把水井修在路边的B′处，双方争执不下，于是找聪明的阿凡提来解决他们的分歧．如果你是聪明的阿凡提，能使水井在路边而且双方都满意吗？
尺规作图法的由来
初等平面几何的研究对象，不外乎是直线、圆以及由它们(或其中一部分)所组成的图形．因此作图的工具，习惯上限用直尺和圆规两种．直尺假定其直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿够长，并能开闭自如．限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫作尺规作图法，也叫作初等几何作图法或欧几里得作图法．
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15.2 画轴对称的图形
第1课时 画轴对称的图形
【归纳导入】
准备两张半透明的纸．
1．在纸的左半边画出左手印，把这张纸左右对折后描图，打开对折的纸进行观察．请问这两个手印成轴对称吗？如果成轴对称，你能画出对称轴吗？
2．在纸上画△ABC，在旁边任意画一条直线l，分别作出顶点A，B，C到直线l的垂线段，然后将纸沿直线l对折，描出△ABC及顶点到直线l的垂线段，打开对折的纸进行观察．你能从中悟出怎样画一个图形关于某条直线对称的图形吗？(引入新课)
镜子中的轴对称——如何读从镜子中看到的时钟的时间
从镜子中观察到的时钟的像与实际的时钟上下位置不变，左右位置相反，于是，我们可以采用以下两种方法确定时间．
方法一：“反看正读法”，从题目纸的背面看镜中的时间，采用常规的读数方法即可得出实际时间．
方法二：“12扣除法”，将镜中时钟上的时间按常规读出后，再用12减去这个时间即可得出实际时间．
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第2课时 用坐标表示轴对称
【质疑导入】
1．如图1：
(1)图中两个圆脸有什么关系？
(2)已知右边圆脸上右眼的坐标为B(4，3)，左眼的坐标为A(2，3)，嘴角两个端点的坐标分别为C(4，1)，D(2，1)．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两个端点的坐标吗？
图1
图2
2．在平面直角坐标系中，将坐标分别为(2，2)，(4，2)，(4，4)，(2，4)的点A，B，C，D用线段依次连接起来，得到一个图案(如图2)．
(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
如图2，师生共同归纳：
(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A1(－2，2)，B1(－4，2)，C1(－4，4)，D1(－2，4)．顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，不难发现：它们是关于y轴对称的．
(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A2(2，－2)，B2(4，－2)，C2(4，－4)，D2(2，－4)．顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，不难发现：它们是关于x轴对称的．
古代的轴对称建筑
我国古代建筑首先讲究对称布局，特别是北方，房子都是三间、五间、七间、九间，以中间一间为轴，两边对称．城市及庭院以南北为中轴线，东西对称．现存古代对称建筑有：北京故宫；沈阳故宫；孔府；西安明朝古城墙．
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15.3 等腰三角形
15．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【悬念激趣】
(1)如图，这是一组含有等腰三角形的生活图片，让学生感知图片主要部分形状的共同点．
(2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按如图所示的方式放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
要想解决这个问题，我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质．
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第2课时 等腰三角形的判定
【复习导入】
1．在前一节课中我们学习了等腰三角形的性质，谁能总结一下等腰三角形的性质是什么呢？
2．应用这些性质的前提是什么？
3．我们如何判定一个三角形是等腰三角形呢？
4．同学们现在有方法吗？
【悬念激趣】
如图，某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上的一棵树(点A)为目标，然后在这棵树的正南方南岸点B处插一小旗作标志，再沿南偏东60°方向走一段距离到C处，测得∠ACB＝30°，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知道河流的宽度是50米．
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗？他是怎么知道BC的长度就等于河流的宽度呢？那就要好好学习今天老师讲的等腰三角形的判定吧！
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15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
【情境导入】
在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”
小明假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小亮假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等．
老师告诉他们：“这种三条边都相等的三角形叫作等边三角形．”小明、小亮也发表了自己的看法，小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小亮认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．谁的看法更有道理呢？
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第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【情境导入】
如图，一艘轮船从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北方向航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．已知这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上．
(1)画出礁石C的大致位置；
(2)轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？
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课题
15.1.1 轴对称及其性质
授课人
素养目标
1.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．
2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对称轴、对称点．
3．掌握线段的垂直平分线的概念．
4．理解和掌握轴对称的性质．
5．通过对轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的学习，让学生体会数学在实际生活中的应用，激发学生学习的热情.
教学重点
轴对称图形的识别及轴对称图形与轴对称的联系.
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC，则能直接证明△ABD≌△ACD的依据是(C)
A．ASA B．SAS
C．AAS D．SSS
请思考：沿着AD折叠△ABD后能否与△ACD重合？你能用全等的知识解释吗？
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．作品展示：
让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)．
2．小组活动：
(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样做？
(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？
师生活动：学生进行小组交流，教师点拨并引出轴对称的概念.
通过收集材料、剪纸操作，提升学生对轴对称图形的感性认识，为轴对称概念的引出作准备.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
一、轴对称图形
学生在观察、交流的基础上描述窗花的特征．
归纳概念：
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
教师在学生描述的基础上归纳轴对称图形及其相关概念，并板书概念．
二、两个图形关于某条直线对称
1．观察教材第63页图15.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
3．举例：你能举出一些两个图形成轴对称的例子吗？
4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．
区别：
名称
轴对称图形
轴对称
区
别
图形个数
一个图形
两个图形
图形的特殊性
一个具有特殊形状的图形
两个具有特殊位置关系的图形
联系
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称
师生活动：学生认真观察展示的图片，合作交流，描述轴对称图形与轴对称的区别，教师指导学生从不同方面区别轴对称图形与轴对称.
三、轴对称的性质
观察教材第64页图15.1－4，线段 AA′与直线 MN 有什么关系？你能说明理由吗？
引导学生说出如下关系：AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°.
类似地，点B与点B′，点C与点C′是否也有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
结合学生发表的观点，教师总结并板书：
1.轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
3.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
1.学生通过观察、思考、合作交流，认识两个图形成轴对称的本质特征，鼓励学生善于思考、勇于发现，培养合作意识.
2.学生在自己掌握图形特征的基础上准确掌握轴对称图形及轴对称的概念.
3.教师用多媒体展示△ABC与△A′B′C′沿直线MN折叠的过程，引导学生观察线段AA′，BB′，CC′与直线MN的关系．学生在观察、交流的基础上描述以上三条线段与直线MN的关系.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是(D)
大
A) 美
B) 中
C) 国
D)
例2 下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)
A)
B)
C)
D)
例3 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝110°，∠A′＝25°，则∠C的度数为(B)
A．25° B．45° C．70° D．110°
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．下列说法正确的是(A)
A．关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形一定关于某条直线对称
C．两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于对称轴的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
2．如图，△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若AC＝3，BD＝2，则△ABC的周长为10．
教师指导： (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定成轴对称．
(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等.
1.通过练习，进一步培养学生的观察、辨别能力，巩固所学知识．
2．考查轴对称图形的性质，同时强化对于轴对称是全等变化的认识，培养利用转化思想和整体思想解决具体问题的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列图形中，是轴对称图形的是(B)

A)
B)
C)
D)
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP，则下列判断不一定正确的是(D)
A．AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM
C．∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
3.如图，如果直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠D＝110°．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
及时反馈学习效果．考查学生对轴对称图形和轴对称概念的理解，知道轴对称图形的对称轴的不唯一性，体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)学完本节课后，你有哪些收获，有哪些进步，还存在哪些困惑？
(2)本节课我们共同欣赏了生活中的轴对称图形，通过图形理解了轴对称图形和两个图形关于某条直线对称这两个概念．请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？
(3)轴对称和全等有什么关系？轴对称还有什么性质？
教师引导学生回顾本节课的知识，并总结、归纳本节课的重点．
2．布置作业：
教材第69～70页习题15.1第1，2，3题.
巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励，并进行思想教育.
板书设计
15.1.1 轴对称及其性质
一、轴对称图形
二、两个图形关于某条直线对称
三、轴对称的性质
提纲挈领，重点突出.
教学反思
这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生提出质疑，促使学生思考与发现，独立获取知识和掌握技能．另外，借助多媒体教学，给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.
教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动，也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策的过程.
课题
15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
授课人
素养目标
1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质与判定解题．
2．通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法．
3．理解互逆命题、逆命题、互逆定理、逆定理等概念.
教学重点
线段的垂直平分线的性质与判定.
教学难点
线段的垂直平分线的性质与判定的运用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它.
通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．线段的垂直平分线的性质与判定
教师出示教材第 65页探究，让学生测量，思考有什么发现．
如图，直线l垂直平分线段 AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
性质的证明：
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：
上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线 MN 是线段AB的垂直平分线，C是垂足，P是直线MN上的任意一点，连接 PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.
教师分析证明思路：图中有Rt△APC和Rt△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PA＝PB.
师生活动：教师要求学生自己写已知、求证，并独立证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
归纳：
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来，如果 PA＝PB，那么点P是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
归纳：
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2．逆命题、逆定理
思考：
1．分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？
归纳：
这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
3．想一想：
原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
归纳：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
1.学生通过证明、比较，准确掌握线段的垂直平分线的性质与判定．
2．通过线段垂直平分线的性质与判定，引出互逆命题、逆命题、互逆定理、逆定理等概念.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)
A．6 B．5 C．4 D．3
例2 在△ABC中有一点P，且PA＝PB，则点P一定(A)
A．在边AB的垂直平分线上
B．在∠ACB的平分线上
C．在边AB的高上
D．在边AB的中线上
例3 下列命题的逆命题是真命题的是(D)
A．如果a>b，那么ac>bc
B．如果a＝b＝0，那么ab＝0
C．如果a>b，那么a2>b2
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．下列命题有逆定理的是(C)
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．若x＝y，则|x|＝|y|
2．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB和边AC交于点D和点E，边BC的垂直平分线FG分别与边BC和边AC交于点F和点G.已知△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为(C)
A．16 B．15 C．14 D．13
师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.
1.巩固对线段的垂直平分线的性质与判定的理解，进一步体会转化思想与整体思想对解题的指导意义．
2．进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题、解决问题的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1．下列说法中正确的是(C)
A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题
2．在三角形中，到三个顶点距离相等的点是(A)
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE.若△ABC的周长为26 cm，AF＝5 cm，则DC的长为(B)
A．7 cm
B．8 cm
C．9 cm
D．10 cm
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
学以致用，利用课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)线段的垂直平分线的性质与判定分别是什么？
(2)线段的垂直平分线的性质为推导两条线段相等提供了一种新思路，你还知道哪些方法能证明两条线段相等吗？
(3)什么是互逆命题、逆命题、互逆定理、逆定理？
2．布置作业：
教材第70～71页习题15.1第4，5，6，8，13题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段的垂直平分线的性质．
2．线段的垂直平分线的判定．
3．逆命题、逆定理.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
本节课组织学生开展探究活动，让他们自主探索线段的垂直平分线的性质与判定．这一过程培养了学生的动手实践、观察分析和归纳总结能力，也让他们深刻理解了知识的形成过程．另外借助多媒体课件，动态演示线段的垂直平分线的性质与判定的过程，将抽象的知识直观化，帮助学生更好地理解和掌握知识，突破教学重难点，增强了教学效果.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
15.1.2 第2课时 作轴对称图形的对称轴
授课人
素养目标
1.会用尺规作线段的垂直平分线．
2．掌握寻找轴对称图形对称轴的方法，能够作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴．
3．利用线段垂直平分线的作法解决现实生活中的一些问题.
教学重点
利用尺规作图的方法作出对称轴或确定符合条件的点.
教学难点
尺规作图的规范性与合理性.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
利用多媒体展示一系列生活中常见的轴对称图形，在展示的图形中，让学生尝试指出它们的对称轴可能在哪里．然后提出问题：对于一些简单的轴对称图形，我们可以通过观察大致确定对称轴的位置，但对于一些复杂的图形，如何准确地作出它们的对称轴呢？这就是我们今天要学习的内容——作轴对称图形的对称轴.
通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．线段的垂直平分线的作法
(1)教师出示教材第67页的思考，让学生自己思考并尝试完成．
如图，已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．
教师根据学生画的情况准确板书线段的垂直平分线的作法．
作法：如图．
①分别以点A和点B为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点；
②作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线．
归纳：由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
(2)如图所示的五角星是一个轴对称图形，请作出它的一条对称轴．
分析：连接五角星的一对对称点，作所连线段的垂直平分线，即得它的一条对称轴．
师生共同得到以下作法：
如图a，点A和点A′是五角星的一对对称点，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则直线l就是这个五角星的一条对称轴．
进一步思考以下问题：
①在图a中，如果把A，B两点看作对称点，你能作出这个五角星的一条对称轴吗？
提示：如图b，连接AB，作线段AB的垂直平分线m，直线m就是这个五角星的一条对称轴．
②图a中的五角星一共有几条对称轴？你能把它们都作出来吗？
答：一共有5条对称轴，如图c所示．
2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB外一点C，如图所示．
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：如图．
(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
(2)分别以点D和点E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
(3)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．
教师活动：引导学生写出已知、求作，并思考作法，指导学生完成作图．
学生活动：完成作图，说出这样作图的理由．
【变式】 尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
学生仿照上述作图过程进行解答，可以小组合作，然后展示作图过程或痕迹，师生共同订正.
通过观察、思考、画图，鼓励学生善于思考、勇于发现、敢于动手，帮助学生熟练掌握线段的垂直平分线的作法.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，点E，F，G，Q，H在同一条直线上，且EF＝GH，作直线l垂直平分FG，则下列说法正确的是(A)
A．直线l是线段EH的垂直平分线
B．直线l是线段EQ的垂直平分线
C．直线l是线段FH的垂直平分线
D．直线EH是线段l的垂直平分线
例2 如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请作出这条直线．
解：如图，直线MN即为所求．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于eq \f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为(D)
A．50° B．52° C．54° D．56°
2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它们的对称轴．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示.
考查学生的动手能力及培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1．指出下列图形各有多少条对称轴，并画出来．
解：如图，(1)有6条对称轴；(2)有4条对称轴；(3)有2条对称轴；(4)有1条对称轴．
2．用直尺和圆规在AC上找点P，使点P到点A，B的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)
解：如图，点P即为所求．
3．如图，公路m，n边有两个村庄A和B，现要建一个活动点，要求到公路m，n的距离相等，到村庄A和B的距离也相等，请你找出这样的点．(保留作图痕迹，不写作法和证明)
解：连接AB，作AB的垂直平分线l，作m，n两夹角的平分线a，b，它们分别与l相交于点P1，P2，则点P1，P2即为所求．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
及时反馈学习效果，考查学生对轴对称图形与轴对称图形对称轴条数的相关内容的掌握情况，以及熟练掌握线段垂直平分线的作法.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)这节课我们一直在进行尺规作图，主要探索了两类作图问题，分别是什么？
提示：①作出轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴；
②利用线段垂直平分线的作法解决现实生活中的确定位置问题．
(2)结合自己在这节课中的表现，总结一下在尺规作图中要注意哪些问题．
2．布置作业：
教材第70～71页习题15.1第7，9，10，12题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.1.2 线段的垂直平分线
第2课时 作轴对称图形的对称轴
1．线段垂直平分线的作法．
2．轴对称图形的对称轴的作法.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在教学过程中，由丰富的生活实例引入教学内容，激发了学生的学习兴趣．在探究活动中，学生积极参与，动手操作和思考，但部分学生在使用圆规作垂直平分线时不够熟练，导致作图速度慢且准确性不高．在今后的教学中，要加强对作图工具使用的专项指导，增加针对性练习．对于组合图形对称轴的确定，部分学生存在困难，后续教学中应多提供复杂图形的案例，引导学生分析图形结构，提升学生解决问题的能力.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
15.2 第1课时 画轴对称的图形
授课人
素养目标
1.通过实际操作，掌握画轴对称的图形的方法．
2．通过探索画一般的轴对称的图形的过程，学生能够按要求画出简单平面图形经过一次对称后的图形．培养学生的审美能力和数学思维.
教学重点
掌握画轴对称的图形的方法.
教学难点
利用对称变换设计图案.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习画轴对称的图形的方法.
巩固旧知，引出新知.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就可以得到与左脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形，看看能否得到同样的结论．
认真观察：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？
答：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动：学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．
从学生最感兴趣的实际问题入手，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
思考1：如图，画出点A关于直线l的对称点A′.
画法：如图，(1)过点A作直线l的垂线，垂足为 B；
(2)在垂线上截取A′B＝AB，点A′就是点A关于直线l的对称点.
思考2：如图1，已知△ABC和直线l，你能画出△ABC关于直线l对称的图形吗？
学生活动：
学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立画图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要画出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可.
教师活动：
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图2.
(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点；
(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′；
(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
归纳：
几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
1.学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和思维能力．
2．学生体会画轴对称图形的本质是画出图形的关键点的对称点.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，点D在直线l上，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形．
解：如图所示，四边形A′B′C′D即为所求．
例2 如图，这是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成的图形为轴对称图形．
解：如图所示．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．如图，请把△ABC和△A′B′C′补充完整，使得它们关于直线l对称．(保留作图痕迹)
解：如图所示．
2．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角分别表示四个入球孔，如果对一个球按如图所示的方向击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入1号球袋．
师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.
教师指导学生画图．考查学生画轴对称图形的方法，知道在对称轴上的点其对称点是它本身，为后面的练习做铺垫.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使其经过一次反弹后击中N球，则下列4个点中，可以瞄准的是(D)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
2.如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形是(A)

A)
B)
C)
D)
3．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是21：05．
4．如图，已知△ABC和直线MN，且△ABC的顶点都在网格线的交点上．(以下作图不要求写作法)
(1)画出将△ABC向上平移4小格后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于直线MN对称的△A2B2C2.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题进行检测，了解学生课堂学习的效果.
课堂小结
1.课堂小结：
画轴对称的图形的方法：通过画出图形中特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就能得到轴对称的图形．
2．布置作业：
教材第75～76页习题15.2第1，2，6，7题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.2 画轴对称的图形
第1课时 画轴对称的图形
画一个平面图形关于某条直线对称的图形
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过丰富的实例和实际操作，学生对画轴对称的图形的方法有了较好的理解和掌握．但在教学中也发现部分学生在寻找复杂图形的对称轴和作图的规范性上还存在不足，需要在后续的教学中加强练习和指导．同时，在小组讨论环节，个别学生参与度不够高，今后应进一步优化教学组织形式，鼓励全体学生积极参与课堂讨论和互动.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
15.2 第2课时 用坐标表示轴对称
授课人
素养目标
1.能够理解在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律．
2．掌握用坐标表示轴对称的方法，能根据已知点的坐标求出其关于坐标轴的对称点的坐标，以及根据已知图形的顶点坐标画出其关于坐标轴对称的图形．
3．学会运用用坐标表示轴对称的知识解决简单的几何问题，如根据坐标判断图形的对称性、利用对称点的坐标计算线段的长度等.
教学重点
1.在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律．
2．用坐标表示轴对称的方法，以及根据坐标画出轴对称的图形.
教学难点
1.理解坐标变化与图形轴对称之间的内在联系，即为什么关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数．
2．在复杂的坐标情境中，准确运用用坐标表示轴对称的知识进行分析和求解，如在平面直角坐标系中，根据图形的部分坐标信息和轴对称关系，求出整个图形的坐标并绘制图形.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
请利用前面所学的知识回答下面的问题：
如图，已知△ABC和直线MN，试画出△ABC关于直线MN对称的图形．
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．展示图片：展示生活中常见的轴对称图形，如蝴蝶、建筑、剪纸等，引导学生观察这些图形的特点，回顾轴对称图形的概念．
2．提出问题：在平面直角坐标系中，我们如何用坐标来表示轴对称呢？引出本节课的课题——用坐标表示轴对称.
通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1 在平面直角坐标系中描出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？
已知点
A(2，－3)
B(－1，2)
C(－6，－5)
D(0.5，1)
E(4，0)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
学生活动：学生动手画图，观察各个对称点与已知点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y).
教师活动：组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.
问题2 请你说出点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标，再说出点P1关于y轴对称的点P2的坐标，观察点P经过两次轴对称所得的点P2的坐标有什么规律.
学生运用规律求出点P1，P2的坐标，然后观察、归纳坐标规律.
归纳：
一个点关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
1.观察操作，主动探索，研究平面直角坐标系中的轴对称.
2.加深学生对用坐标表示轴对称的理解，要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程.
3.问题2的设置是为了加深学生对前面规律的理解.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 025的值．
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＝2b－1，,5＋a－a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－8，,b＝－5.))
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＋2b－1＝0，,5＋a＝－a＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3.))
∴(4a＋b)2 025＝(－4＋3)2 025＝－1.
例2 (教材第74页例2)如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形．
解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
【变式训练】

1．在平面直角坐标系中，点A(11，12)与点B(－11，12)关于y轴对称．
2．如图，已知点A(4，－1)，B(2，－4)，C(5，－5)．
(1)作出△ABC关于直线m(直线m上各点的纵坐标都为1)对称的△A1B1C1；
(2)求出点A，C关于直线n(直线n上各点的横坐标都为－2)对称的点A2，C2的坐标及四边形ACC2A2的面积．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)A2(－8，－1)，C2(－9，－5)，S四边形ACC2A2＝eq \f(（12＋14）×4,2)＝52.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
考查学生的动手能力及分析问题、解决问题的能力．
知识的综合与拓展能提升学生的应考能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．已知点P(a，3)和点Q(4，b)关于x轴对称，则(a＋b)2 025的值为(A)

A．1 B．－1 C．72 025 D．－72 025
2．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－1，5)，B(－5，3)，C(－3，－1)，分别画出△ABC关于x轴、y轴对称的图形．
解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．
3．如图，点P，M关于直线l(直线l上各点的横坐标都为1)的对称点分别为点P′，M′.
(1)点P′的坐标为(4，4)，点M′的坐标为(3，1)；
(2)点P(－2，4)关于直线m(直线m上各点的横坐标都为－1)对称的点的坐标为(0，4)；点N′(5，－2)关于直线n(直线n上各点的横坐标都为2)对称的点的坐标为(－1，－2)．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
加深学生对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
(2)用坐标表示轴对称的方法，以及根据坐标画出轴对称的图形的步骤．
2．布置作业：
教材第76～77页习题15.2第3，4，5，8题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.2 画轴对称的图形
第2课时 用坐标表示轴对称
关于x轴、y轴对称的点的坐标规律
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过多种教学方法的运用，学生对用坐标表示轴对称的知识有了较好的理解和掌握．在探究点关于坐标轴的对称点的坐标变化规律时，学生积极参与，通过自己的观察和思考，总结出了规律，培养了学生的自主探究能力．在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够运用所学知识解决问题，但仍有少数学生在理解坐标变化规律和根据坐标画轴对称的图形时存在困难．在今后的教学中，要加强对这部分学生的辅导，设计更多有针对性的练习，帮助他们巩固知识，提升应用能力．同时，在教学中要进一步引导学生体会数形结合思想的重要性，提升学生的数学思维能力.
进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
授课人
素养目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
3．观察等腰三角形的对称性，发展形象思维．
4．通过实践、观察、证明等腰三角形的性质的过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心.
教学重点
等腰三角形的性质及应用.
教学难点
等腰三角形性质的证明.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角．
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
通过动手操作引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
把【课堂引入】中重合的线段和角填入下表：
重合的线段
重合的角
等腰三角形是不是轴对称图形？对称轴是什么？
等腰三角形除两腰相等外，它的角有什么性质？用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.
教师活动：引导学生归纳.
性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法．若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.
于是可以作辅助线构造两个三角形，作边BC上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明.
教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识，利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.
通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第79页例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数.
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
1.巩固等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，
∴BP＝PC.
∵AD＝AE，
∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE，
即BD＝CE.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数．
解：设∠B＝x°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°.
∵DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝x°.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°.
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2x°.
在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，
∴x°＋2x°＋2x°＝180°，
解得x°＝36°.
∴∠B＝36°.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的度数．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，
∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝52°.
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝eq \f(1,2)(180°－∠B)＝64°.
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝26°.
师生活动：由学生独立完成变式题，然后师生共同订正，对典型错误进行展示，让学生汲取教训.
2.培养学生运用方程的思想解决问题，把几何知识转化为代数知识的能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1．如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AC，则∠B＝(D)
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且BD＝DE.若∠BAE＝30°，求∠C的度数．
解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC.
∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AED.
∵∠BAE＝30°，
∴∠AED＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.
∴∠C＝eq \f(1,2)∠AED＝37.5°.
3．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，求∠PCQ的度数．
解：设∠A＝α.
∵AP＝PQ，
∴∠AQP＝∠A＝α.
∴∠CPQ＝∠A＋∠AQP＝2α.
∵PQ＝CQ，
∴∠PCQ＝∠CPQ＝2α.
∴∠BQC＝∠A＋∠PCQ＝3α.
∵CQ＝BC，
∴∠BQC＝∠B＝3α.
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝3α.
∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，
∴α＋3α＋3α＝180°.
∴α＝eq \f(180°,7).
∴∠PCQ＝2α＝eq \f(360°,7).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
巩固等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质．学以致用，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.
教学步骤
师生活动
设计意图
课堂小结
1.课堂小结：
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：
学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：
(1)等边对等角；
(2)等腰三角形的三线合一；
(3)等腰三角形常用辅助线的作法(作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线)．
2．布置作业：
教材第84～85页习题15.3第1，3，6，8题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过多种教学方法的运用，学生对等腰三角形的性质有了较好的理解和掌握．在探究等腰三角形性质的过程中，学生积极参与，通过自己的观察、猜想、证明，得出了等腰三角形的性质，培养了学生的自主探究能力和逻辑推理能力．在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够运用所学知识解决问题，但仍有少数学生在理解 “三线合一” 性质和应用等腰三角形性质进行综合计算时存在困难．在今后的教学中，要加强对这部分学生的辅导，设计更多有针对性的练习，帮助他们巩固知识，提升应用能力．同时，在教学中要进一步引导学生体会数学知识之间的联系，如等腰三角形与全等三角形、直角三角形等知识的联系，提升学生的综合运用能力.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
授课人
素养目标
1.理解并掌握等腰三角形的判定方法．
2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算.
3．通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，培养学生的推理能力以及分析、归纳问题的能力.
教学重点
等腰三角形判定方法的应用.
教学难点
等腰三角形判定方法的证明.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课我们学习了等腰三角形的两条重要性质，它们分别是什么？
2．解决与等腰三角形有关的证明题或者计算题时，常添加什么辅助线？
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
提出问题：出示教材第80页“思考”．
学生思考，回答后教师提问：
在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．
即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如何证明？
抛出问题，展开教学，类比等腰三角形的性质，拓宽思考面，寻求验证方法.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线．
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，你能证明AB＝AC吗？
①作高AD可以吗？
②作角平分线AD呢？
③作中线AD呢？
学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程．
师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
1.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养自身的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴．
2．教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第80页例2)求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
师生活动：教师引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并证明．
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∴∠B＝∠C(等量代换)．
∴AB＝AC(等角对等边)．
例2 (教材第81页例3)尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h(如图)，求作这个等腰三角形．
解：作法：如图．
(1)作线段AB＝a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
(3)在MN上取一点C，使DC＝h；
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
师生活动：教师引导学生分析题目，写出已知与求作，并指导学生作图．
学生发表自己的想法，教师总结学生的设想，给出正确的作法.
1.巩固所学知识，体会运用等腰三角形的判定方法进行证明的方法．
2．学生通过例2的学习，自主探究作图的方法.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【变式训练】
1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
解：∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∵∠ADE＝∠B，∠ADE＋∠BAD＋∠AED＝180°，∠B＋∠BDA＋∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD.
∴△ADE为等腰三角形．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，角平分线BE交AD于点F，交AC于点E.试说明：△AFE是等腰三角形．
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，∠EBD＋∠BFD＝90°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBD.
∴∠AEB＝∠BFD.
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE.
∴△AFE是等腰三角形．
师生活动：由学生独立完成变式题，然后师生共同订正.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(B)

A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a∶b∶c＝2∶3∶4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，AB＝7 cm，BD＝3 cm，则△BDE的周长为(B)
A．13 cm
B．10 cm
C．4 cm
D．7 cm
3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AB＝8，AC＝6，则△AEF的周长为14．
第3题图)
第4题图)
4．上午9时，一条船从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，12时到达海岛B处，如图，海岛A在灯塔C的南偏西32°方向，灯塔C在海岛B的北偏东64°方向，则灯塔C到海岛B的距离是36海里.
学以致用，课堂检测能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提升.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，E是AB的中点，连接DE.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°.
∴∠ABD＝∠A.
∴BD＝AD.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
即∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝180°－90°－36°＝54°.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)会运用“等角对等边”判定一个三角形是等腰三角形．
(2)掌握证明两条线段相等的常用方法．
2．布置作业：
教材第81页练习第1，2，3题，第84～85页习题15.3第2，9题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习等腰三角形的性质引入判定方法的探究，让学生经历了观察、实验、猜想、证明的过程，较好地培养了学生的思维能力．在例题讲解和课堂练习环节，学生对判定方法的应用有了一定的掌握，但仍有部分学生在证明过程中逻辑不够清晰，辅助线的添加不够灵活．在今后的教学中，应加强对学生证明思路和书写规范的训练，多提供一些针对性的练习，帮助学生更好地掌握等腰三角形的判定方法及应用.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
授课人
素养目标
1.能够准确理解等边三角形的定义，明晰等边三角形与等腰三角形的关系．
2．全面掌握等边三角形的性质，包括边、角及重要线段的特征；熟练运用等边三角形的判定方法，准确判定一个三角形是否为等边三角形．
3．能够灵活运用等边三角形的性质与判定，高效解决相关的几何计算和证明问题.
教学重点
探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.
教学难点
等边三角形的性质与判定的应用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
前面我们学习了等腰三角形的性质与判定，请回答下面的问题：
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？
2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？
学生回忆并回答，为学习本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，我们把这样的三角形叫作等边三角形．
观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
学生回答：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形．
怎样判定一个三角形是等边三角形呢？
今天我们来研究等边三角形的性质与判定.
明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
一、等边三角形具有什么性质呢？
1．用量角器量出等边三角形各个内角的度数，并提出猜想．
2．你能否用已知的知识通过推理得到你的猜想是正确的？
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形“等边对等角”的性质得到三个角内都相等，又由三角形的内角和等于180°，从而推出每个内角都等于60°.
3．上面的条件和结论如何叙述？
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
二、如何判定一个三角形是等边三角形？
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
2．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等方法，归纳等边三角形的判定方法：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1.学生通过观察、思考、证明、归纳，培养自身的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．
2．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察—实践—猜想—证明的创新思维过程.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第82页例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
想一想：本题还有其他证法吗？
例2 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)求证：CD＝CF.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDC＝180°－90°－60°＝30°.
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.∴CE＝CF.
∴CD＝CF.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
初步运用等边三角形的性质与判定，让学生经历运用知识解决问题的过程，从而给学生一种通过自己思考获得成功的成就感，激发学生学习的积极性.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【变式训练】
如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点．
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形．
解：(1)证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝ BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE.
(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋∠BED＋60°＝∠BEC＋∠BED＋60°＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.
∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.
(3)证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE.
∵M，N分别是线段AD，BE的中点，
∴AM＝eq \f(1,2)AD，BN＝eq \f(1,2)BE.∴AM＝BN.
在△ACM和△BCN中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝BC，,∠CAM＝∠CBN，,AM＝BN，))
∴△ACM≌△BCN(SAS)．∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN.
又∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝60°.
∴∠BCN＋∠MCB＝60°.
∴∠MCN＝60°.∴△MNC是等边三角形.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列三角形，不一定是等边三角形的是(C)

A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．一边上的高也是这边上的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
2．在△ABC中，已知AB＝AC＝4 cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为12cm.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
3.如图，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90°．
4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝9 cm，点P从点C出发，沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿边BA向点A以5 cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s.
(1)请用含t的代数式表示BP和BQ的长度；
(2)请问移动几秒后，△PBQ为等边三角形？
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9 cm.
∵点P的速度为2 cm/s，时间为t s，
∴CP＝2t cm.
∴BP＝BC－CP＝(9－2t)cm.
∵点Q的速度为5 cm/s，时间为t s，
∴BQ＝5t cm.
(2)若△PBQ为等边三角形，则BP＝BQ，
即9－2t＝5t，解得t＝eq \f(9,7).
∴当t＝eq \f(9,7)时，△PBQ为等边三角形．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂检测是为了加深学生对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主，分层次进行检测，使学生思维得到拓展，能力得以提升.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)等边三角形的性质与判定方法分别有哪些？
(2)等边三角形及其性质与判定和等腰三角形有什么关系？
2．布置作业：
教材第82页练习第1，2题，第84～85页习题15.3第5，10，11题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质．
2．等边三角形的判定方法.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过引导学生回顾等腰三角形的知识，类比探究等边三角形的性质与判定，大部分学生能够积极参与课堂活动，掌握基础知识和基本方法．但在例题讲解和课堂练习环节，发现部分学生在将等边三角形的性质与判定和其他几何知识综合运用时，存在一定困难，需要在今后的教学中加强练习和指导．同时，在小组合作学习中，个别小组的讨论效率不高，需要进一步培养学生的合作学习能力和团队协作精神.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
授课人
素养目标
1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质．
2．通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．能够熟练运用该性质进行相关的计算和证明，解决一些简单的几何问题.
教学重点
含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
教学难点
含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.等边三角形的性质与判定方法有哪些？
2．在△ABC中，∠A＝60°，请补充一个条件，使△ABC是等边三角形．
学生回忆并作答.
复习巩固，为本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角尺，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
2．探究：在这些图形中，轴对称图形有________个，其中三角形有________个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由．
3．你能借助如下拼出的△ABD，找到含30°角的Rt△ABC的直角边 BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？
1.提出问题，创设情境．
2．学生经历拼摆三角尺和度量三角尺的活动，发现结论，同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．将两个含30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，观察并回答下面的问题：
(1)判断△ABD的形状，依据是什么？
(2)线段BC与CD有什么数量关系？为什么？
(3)线段BC与AB有什么数量关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？
师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论．
教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质．
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其题设和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？
师生活动：学生分析题设和结论，并转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发．延长BC 至点D，使CD＝BC，连接AD.学生分组讨论证明过程，板书演示．教师指导、纠错．
3．总结：
该性质的适用范围是什么？(直角三角形)
运用该性质可求什么？(计算和证明线段的倍分，揭示了含30°角的直角三角形中边的数量关系的特殊性)
1.通过实践操作，培养学生从一般到特殊转化的思想．
2．学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养自身的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第83页例5)如图，这是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝eq \f(1,2)AB，DE＝eq \f(1,2)AD.
∴BC＝eq \f(1,2)×7.4＝3.7(m)．
又∵AD＝eq \f(1,2)AB，
∴DE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系，同样通过边的关系也可以转化为角的关系．
考查学生对含30°角的直角三角形的性质的掌握.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若该船从海岛B继续向正北方向航行，求航行过程中船与灯塔C的最小距离．
解：过点C作CD⊥AN.
根据题意，得AB＝15×2＝30(海里)，
当船行驶到点D时，与灯塔的距离最小，即为CD的长度．
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝15°.
∴∠NAC＝∠ACB.
∴BC＝AB＝30海里．
∵CD⊥AN，∠NBC＝30°，
∴CD＝eq \f(1,2)BC＝15海里．
∴航行过程中船与灯塔C的最小距离为15海里．
【变式训练】
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E.求证：AE＝eq \f(1,4)AB.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝120°，∴∠B＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°.
在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝eq \f(1,2)AB.
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,4)AB.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，DE⊥AC于点E.若EC＝3，则DC的长为(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
第1题图)
第2题图)
2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD与BD的比为(B)
A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1
3．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作EF⊥AB于点E，交边BC的延长线于点F.若AE＝2，求BF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝eq \f(1,2)AC.
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°－∠A＝30°.
∴CD＝AD＝2AE＝4.∴AC＝BC＝8.
∵∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB－∠CDF＝30°.
∴∠CDF＝∠F.∴CD＝CF＝4.
∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
学以致用，课堂检测能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提升.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)掌握含30°角的直角三角形的边角性质．
(2)会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题．
2．布置作业：
教材第84页练习第1，2题，第85～86页习题15.3第7，12，15题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
15.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
提纲挈领，重点突出.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过学生动手操作、自主探究、小组讨论等方式，充分调动了学生的学习积极性，学生较好地理解和掌握了含 30° 角的直角三角形的性质．在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够运用性质解决相关问题，但仍有部分学生在辅助线的添加以及性质的灵活应用方面存在困难．在今后的教学中，应加强对这部分学生的辅导，增加一些针对性的练习，同时注重引导学生总结解题方法和规律，提高学生分析问题和解决问题的能力.
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.