河南省三门峡市灵宝市八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
根据最简分式的定义判断即可．
【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意；
B、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.据此进行解答即可.
【详解】解：A.不是轴对称图形，故选项符合题意；
B.是轴对称图形，故选项不符合题意；
C.是轴对称图形，故选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：A
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a4+a5＝a9B. a3•a4＝a12
C. a8÷a4＝a2D. （﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a3•a4=a7，故不符合题意；
C、a8÷a4=a4，故不符合题意；
D、（-2a2）3=-8a6，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
5. 在图中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
7. 下列从左到右的变形中，正确的是 （ ）
①②③④
A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ②和④
【答案】B
【解析】
【详解】，因为 ，分式的分子、分母同时除以b，等式仍成立，故①正确；
，当c=0时，该等式不成立，故②错误；
，因为 ，分式的分子、分母同时除以 ，等式仍成立，故③正确；
，不成立，故④错误；
综上所述，正确的①和③．
故选B．
8. 若2x+5y﹣3=0，则4x•32y的值为（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数的乘法和幂的乘方的性质，先都化为以2为底数的幂相乘的形式，再代入已知条件计算即可.
【详解】，
，
.
故选.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便.
9. 如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键．
过点作于，根据等腰三角形三线合一性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么．
【详解】解：如图，过点作于，
又，，
，
在直角中，，，
，
，
．
故选：B．
10. 如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )

A. ③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等；
根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误；
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若分式的值为0，则的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
12. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关轴对称的点的坐标特征，理解关于轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键．
根据关于的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同来求解．
【详解】解：两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，
点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
．
故答案为：．
13. 计算________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，先化简零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解．
【详解】由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
15. 在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键．
作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，，
，，
，，
是关于的对称点，
根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
为的中点，
，
，且，
，
是的垂直平分线，
，
，
垂线段最短，
，
即：，
的最小值是，
故答案为：．
三、解答下列各题（本大题共8道题，75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，平方差公式，完全平方公式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答．
（2）先运用平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：

．
18. （1）解方程：；
（2）先化简,再从中选一个适合的整数代入求值．
【答案】（1）原方程无解；（2），．
【解析】
【分析】(1)先去分母,再解整式方程,再验根;(2)根据分式运算法则先化简,再代入已知条件中的值计算.
【详解】解：
方程两边同时乘以,得
.
解得
检验:当时, ,
所以,不是原方程的解,原方程无解.
解：
当时原式
【点睛】考核知识点:分式化简求值.掌握分式运算法则是关键.
19. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
（1）
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
20. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积，
【答案】（1）见解析 （2）40
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴．
21. 列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得：，解得：．
经检验，是原分式方程解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：，我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式是分式的“差分式”．
（含的代数式表示）；
若的值为正整数，为正整数，求值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；
根据为正整数，即可解答．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
解得，；
为正整数，
当时，，则；
当时，，则；
的值为或．
23. 如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F．
（1）如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______；
（2）如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由；
（3）如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值．
【答案】（1），
（2）结论依然成立．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，，，证明为等腰三角形，即可得出结论；
（2）过点D作，证明是等边三角形，推出，进而得到，根据三线合一，得到即可；
（3）根据对称，得到，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可．
【小问1详解】
解：，．
理由：如图①中
∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为，．
【小问2详解】
结论依然成立．理由如下：
如图②中，过点D作，交AB于点H，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图③中，
∵B，G关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
甲：
（分成两组）
（直接运用公式）
乙：
（分成两组）
（提公因式）
．