河南省南阳市邓州市八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

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2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1. 4的算术平方根是( )
A. 2B. －2C. ±2D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是算术平方根．
【详解】4的平方根是±2，
所以4的算术平方根是2．
故答案为：A
【点睛】考点：算术平方根的意义．
2. 如图，数轴上两点分别对应实数、，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴、立方根、有理数加法、乘法运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据图示可得，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：∵，，
∵A．，即，故该选项错误，符合题意；
B．，故该选项正确，不符合题意；
C，，故该选项正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
3. 下列计算结果是x6的是（ ）
A. x3+x3B. x4÷x2C. x2•x3D. （x3）2
【答案】D
【解析】
【分析】依次分析各选项，利用合并同类项，同底数幂的除法运算，利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算即可求得
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法运算，利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算，解决本题的关键是牢记公式与定义．
4. 某汽车公司销售A，B，C，D，E五种品牌新能源汽车，其续航里程（单位：千米）如表，根据表中的数据制作统计图，为了更清楚地表示出每种新能源汽车的续航里程，应选择（ ）
A. 条形统计图B. 折线统计图
C. 扇形统计图D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【详解】解：根据题意，为了更清楚地表示出每种新能源汽车的续航里程，应选择条形统计图．
故选：A．
5. 如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明．
故选：D．
6. 若为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A. 被9整除B. 被6整除C. 被3整除D. 被2整除
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键．
先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可．
【详解】解：因为
，
所以该代数式的值一定可以被3整除．
故选：C．
7. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ）
A. 等腰三角形的三线合一B. 等角对等边C. 三角形具有稳定性D. 等边对等角
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵中，，为的中点，
∴，
故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一，
故选：A．
8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，作角平分线等知识．熟练掌握三角形内角和定理，作角平分线是解题的关键．
由题意知，，由作图可知，为的平分线，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
由作图可知，为的平分线，
∴，
故选：B．
9. 如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）
A. 48B. 30C. 24D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，在根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积．
【详解】解：连接，
，，，
，
，，
，即为直角三角形，
这块地的面积为．
故选：C．
10. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
、是等边三角形，
∴，
∴，，
，，
，
，
，
以此类推：的边长为，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请你写出一个无理数，使得，则为_______．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解．
【详解】解：∵为无理数，且，
∴可以为，，，
故答案为：（不唯一）．
12. 已知，，则______．
【答案】100
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键．
先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可．
详解】解：
，
当，时，原式．
故答案为：100．
13. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案．
【详解】解：在中，与的平分线交于点，
，，
，
，，
，，
，，
的周长为，
故答案为：．
14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有______尺高的竹子．
【答案】
【解析】
【分析】设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，根据勾股定理得，即，计算即可．
详解】解：根据题意画图如下：
由题意得BC=3尺，AB+AC=10尺，
设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，
∴，
解得x=，
∴原处还有尺高的竹子．
故答案为：．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解图形中各线段的长度构建等式是解题的关键．
15. 如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，如图：

，
长方形沿折叠，使点落在点处，
，
，
∴，
当时，如图：

在中，，，
，
长方形沿折叠，使点落在点处，
，，，
点、、共线，即点上，，
设，则，，
在中，，
即：，
解得，
∴，
∴，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16. 计算与化简：
（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算算术平方根，立方根，同底数幂相除，再运算除法，最后运算加减，即可作答．
（2）运用乘法公式进行展开，再合并同类项，最后运算除法，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 去年3至8月份期间，A，，三种品牌空调的销售情况如下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题：
3-8月份三种品牌空调销售量
3-8月份三种品牌空调销售情况
8月份各种品牌空调市场占有率
（1）3至8月份期间， 品牌空调销售量最多（填“A”“”或“”）；8月份品牌空调销售量有 台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是 度；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？
【答案】（1）B，275，
（2）8月份其他品牌的空调销售总量为221台
【解析】
【分析】本题主要考查了条形图、折线统计图、扇形统计图等知识点，熟练掌握和理解统计图中各个数量及数量之间的关系是解题的关键．
（1）从条形统计图、折线统计图、扇形统计图解答即可；
（2）根据A品牌电脑销售量及A品牌电脑所占百分比即可求出月份电脑的总的销售量，再减去A，B，C品牌的销售量即可解答．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知：3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是B品牌；
由条形统计图可知：8月份，C品牌的销售量为275台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是．
故答案为：B，275，．
【小问2详解】
解：由折线统计图和扇形统计图可知：8月A品牌电脑销售量为台，A品牌电脑占，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
由折线统计图可知：8月份A、B、C的销售量分别为：270台，234台，275台，
其它品牌的电脑有：（台）．
答：其他品牌的空调销售总量是台．
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法作AC的垂直平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，当∠A＝40°时，求∠BCD的度数．
【答案】（1）见详解；（2）30°
【解析】
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质，得到∠ACB＝∠B＝（180°−40°）＝70°，再根据垂直平分线的性质可得AD＝DC，然后根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示：直线DE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°−40°）＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝80°，
∴∠BCD＝180°−∠B−∠CDB＝30°．
【点睛】此题主要考查了作图−基本作图，以及线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
19. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若爸爸到的水平距离为，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）求点到地面的距离的长．
【答案】（1）见解析 （2）点到地面的距离为
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
（1）由题意可知，，由同角的余角相等得到 ，根据即可证明；
（2）由得到，进而根据即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
又
在和中
【小问2详解】
由（1）可知
又
又
（）
答：点到地面的距离为
20. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
（1）当 秒时，点运动到的中点．
（2）①当点在上时，的长为 ；（用含的代数式表示）
②若点在的角平分线上，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②的值为
【解析】
【分析】（1）运用勾股定理算出，结合点P的运动方向以及速度，即可作答．
（2）①结合点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，且，则当点在上时，的长为，即可作答．②过点作于点，证明，最后运算勾股定理列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．且点运动到的中点，
∴（秒）；
故答案为：．
【小问2详解】
解：①∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，且，
∴当点在上时，的长为，
故答案为：；
②点在的角平分线上时，
过点作于点，如图所示：
平分，
，
又，
∴，
，，
由①可知，
，
，
在中，，
即：，
解得：，
点在的角平分线上时，的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21. 综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】（1）9.6米；
（2）小明同学应该再放出8米线．
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求出，进而求出；
（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案．
【小问1详解】
解：如图，过点作．
中，．
由勾股定理，得，
则米．
【小问2详解】
解：风筝沿方向再上升12米后，
此时风筝线的长为米，
∴米．
答：小明同学应该再放出8米线．
22. 【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式．
【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：
①；
②．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可；
（2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可．
【详解】解：（1）
．
（2）①
；
②
．
23. 综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．已知等腰中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得线段．连接，连接．
（1）操作判断：如图，的形状是 ，线段与的数量关系是 ；
（2）性质探究：点运动时，的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；
（3）拓展应用：若，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，相等
（2）点运动时，的度数不变化，
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）根据旋转可得的形状，根据证明，即可得证；
（2）根据等腰三角形的可得，再证明，可得，即可得解；
（3）分两种情况讨论，当点D在线段上时， 当点D在线段的延长线上时，再由全等三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：将线段绕点逆时针旋转90°得线段，，
，
，是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：等腰直角三角形，相等；
小问2详解】
解：点运动时，的度数不发生变化，理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：当点D在线段上时，
，
，
，
，
，
，
当点D在线段的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
品牌
A
B
C
D
E
续航里程
650
500
350
750
450
课题
在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测绘数据
①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米．
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．
说明
点A，B，E，D在同一平面内