河南省信阳市平桥区八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

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1. 若分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. 1C. 1或0D. 0或
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【详解】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算等知识．根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
3. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的数也可以表示成科学记数法的性质，一般形式为，表达出结果即可；
【详解】解：，
故选：C
4. 如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选： B ．
5. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场距离相等，该地铁站应建在（ ）

A. 三角形三条中线的交点B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
6. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
B、，原变形正确，符合题意；
C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
D、，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）.
A. B. ∠OCB＝90°C. ∠MON＝30°D. OC＝2BC
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可得OA=AC=AB=BC，根据等底同高面积相等可对A进行判断，根据三角形一条边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B进行判断；根据△ABC是等边三角形，△AOC是等腰三角形可对C进行判断；根据OB=2BC可对D进行判断.
【详解】过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示，
∵S△OAC=，S△ABC=，OA=AB，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵OA=AC=AB=BC，
∴BC=OB，
∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意；
在Rt△OCB中，∠OCB=90°，BC=OB，
∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意；
∵OB=2BC，OB＞OC，
∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意.
故选：D.
【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OA=AC=AB=BC．
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的关键．把a、b、c的底数全部换成3即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
故选：A．
9. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A. 0B. 4或6C. 6D. 0或4
【答案】D
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中所对的边等于斜边的一半等知识点，将的最大值转化成最小是解此题的关键．过点作于，连接，设，则，结合含角的直角三角形的性质可得关于的不等式，计算可求解的最小值，进而可求得的最大值．
【详解】解：过点作于，连接，如图，
∵，
∴；
设，则，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
解得，
∴最小值为的最大值为．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______．

【答案】＃＃40度
【解析】
【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
【详解】解：正九边形的一个外角的度数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．
12. 计算：_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查负指数幂，零指数幂，有理数的混合运算等知识点，根据相关计算一步一步得到结果即可；
【详解】解：
，
，
；
故答案为：
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，根据公式法把一个式子化成几个因式相乘的形式即可解决；
【详解】解：
，
，
14. 在中，点分别是边上的三点，将沿向下翻折，使点落在边上的点处．再将沿翻折，点恰好和点重合，若，则的度数为______．

【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质，得到，再根据三角形内角和定理得到，推出即可得出答案．
【详解】解：沿向下翻折，点落在边上的点处，沿翻折，点恰好和点重合，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为_________．
【答案】或##5或3
【解析】
【分析】如图所示（见详解），点为上一点，若满足，则有点或点，根据直角三角形全等的判定，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作，
∵点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，且，，
∴，且，为公共边，
∴在，中，，
∴，
若，，
∴，
∴，
∴；
若，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，理解和掌握角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）
（2）什么情况下与的值相等？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，分式方程的解法，负指数幂等知识点，在解题过程中要注意分式方程要检验，解决此题的关键是要熟练运用整体思想．
（1）根据整式的乘法和整体思想，先运用一次完全平方公式得到结果，再运用一次即可得到答案；
（2）先根据负指数的概念化成分式方程，按照解分式方程的步骤计算即可；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：当，
，
两边同时乘以，
，
，
，
经检验：是原方程的解．
17. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
18. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）48
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论；
（2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论．
【小问1详解】
证明：等边三角形，是中线；
∴，平分
∴
∵
∵，
∴
即
∴
∴
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解∵，
∴
∴，
∴周长：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．
19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
（1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______．
（2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______．
【答案】（1）图见详解，
（2）或或．
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案．
本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，结合网格特征以及全等三角形性质，
即点，，均满足题意，
∴点的坐标是或或．
故答案为：或或．
20. （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角，三角形全等的判定与性质，
（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可；
（2）根据中线得到，然后证明出，得到，，然后证明出，求出．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）∵是边上的中线，
∴，，
由（1）作图知
在与中
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
在与中
∴
∴．
21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．

【知识生成】
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：__________________；
方法二：__________________；
【得出结论】
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为____________；
知识迁移】
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：，，求的值．
（4）若a满足求的值
【答案】（1）方法一：；方法二：；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．
（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为；
（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；
（3）①由（2）中的等量关系即可求解；②先变形为，可得，再计算即可．
【详解】（1）方法一：；
方法二：，
故答案为：，
（2）代数式之间的等量关系为：
；
故答案为：
（3）由（2）可得．
∴或．
（4）
22. 许昌胖东来以极致的服务理念被人们熟知，从而掀起了打卡天使城的热潮，周末，小亮和小明相约去逛天使城，以下是他们的聊天内容：
小亮：我查了查地图，从地图上看，我家到天使城的距离为5000米，是你家到天使城距离的倍．因此，我准备骑自行车去．
小明：你说的没错，我家距离天使城比较近，所以我准备步行去．根据我的经验，你骑自行车的速度一般是我步行速度的5倍，因此我准备从家出发，你可以过15分钟之后再出发，如果顺利的话，咱俩可以同时到达．
（1）小明步行及小亮骑自行车的速度分别是多少？
（2）结束后，两人同时出发，小亮的速度保持不变，小明的速度提高了，小明和小亮谁先到家？早到家多少分钟？
【答案】（1）小明步行速度为，小亮骑自行车的速度为；
（2）小亮先到家，先到家9分钟．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设小明步行的速度为，则小亮骑自行车的速度为，根据它们到达目的地所用时间相差15分钟，列出方程，解方程即可；
（2）分别求出两个人到家所用的时间，然后再求出结果即可．
【小问1详解】
解：设小明步行的速度为，则小亮骑自行车的速度为，
小明家到天使城的距离为，
由题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
当时，．
答：小明步行速度为，小亮骑自行车的速度为．
【小问2详解】
解：小明到家用时为，
小亮到家用时为，
，
（分钟）
答：小亮先到家，先到家9分钟．
23. 【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
（1）第一种情况：当是直角时，．
如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道．
（2）第二种情况：当是钝角时，．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程；
（3）第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；
②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①见解析；②或
【解析】
【分析】（1）直接利用定理得出 ；
（2）首先得出，则，进而得出，再求出；
（3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
②利用①中方法可得出当或
【小问1详解】
解：∵，
∴和是直角三角形，
在和中，

故答案为：；
【小问2详解】
证明：在和，且都是钝角，如图，过点作交延长线于，过点作交的延长线于，
且都是钝角，
在和
在和

在和中
；
【小问3详解】
解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等；
②由①图可知，，
∴当时，就唯一确定了，
则．
当时，
即，
在和中，

故答案为：或．