2026年广东省广州市中考模拟数学临门一脚冲刺卷含答案1

这是一份2026年广东省广州市中考模拟数学临门一脚冲刺卷含答案1，共12页。试卷主要包含了则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数﹣2，−39，1010010001，8，227，25，﹣π中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据无理数就是无限不循环小数解答即可．
【解答】解：﹣2，1010010001，227，25=5，都是有理数，
无理数有：−39，8，﹣π共3个，
故选：B．
2．（3分）《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【解答】解：根据题意得：这个几何体的俯视图是
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3+2=5B．22−2=2
C．23×33=63D．32÷2=4
【答案】D
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：A、3与2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、22−2=2，原计算错误，不符合题意；
C、23×33=18，原计算错误，不符合题意；
D、32÷2=16=4，正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程解得定义进行判断．
【解答】解：把x＝﹣2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a﹣2b+c＝0，
所以方程必有一根为x＝﹣2．
故选：A．
5．（3分）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（ ）
A．20B．0.24C．0.18D．0.4
权【答案】D
【分析】根据总人数为50人，求出样本中70.5～80.5这一分数段的频数，根据频率＝频数除以总数即可求解．
【解答】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20，
则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：2050=0.4．
故选：D．
6．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，且k+b＜0，则函数y＝kx+b的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，再利用k+b＜0得到b＜0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵对于一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∵k+b＜0，
∴b＜0，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
7．（3分）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔棒上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（ ）
A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系
B．当OA的长l减小时，拉力F在增大
C．当OA的长从1.5m增加到3m时，所施加的拉力减小了100N
D．OA的长每增大1m，所施加的拉力就减小150N
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，拉力的大小F与L符合反比例函数关系，故A正确；
∵拉力的大小F与L符合反比例函数关系，
∴当OA的长l减小时，拉力F在增大，故B正确；
∵FL＝300，
∴当L＝1.5时，F=3001.5=200；当L＝3时，F=3003=100，
∴200﹣100＝100，
∴所施加的拉力减小了100N，故C正确；
当L＝1时，F=3001=300；当L＝2时，F=3002=150，当L＝3时，F=3003=100，
∴300﹣150＝150，150﹣100＝50≠150，
∴当OA的长每增大1m，所施加的拉力不是减小150N，故D错误．
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（ ）
A．2.5B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】首先根据菱形的性质知AB＝BC，再由∠BAD＝120°求出∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，即可求出AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝5．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的动点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．11
【答案】B
【分析】连接CP，由题意得PB＝PC，推出AP+BP＝AP+PC≥AC，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的动点，如图，连接CP，
∴PB＝PC，
∴AP+BP＝AP+PC≥AC，
∴AP+BP的最小值是6，
故选：B．
（3分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③14a+12b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得a+b+c=4a−b+c=−4，
∴b=4a+c=0，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴−b2a＞2，
∴−42a＞2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x=12时，y＝ax2+bx+c=14a+12b+c=14a+2﹣a＝2−34a，
∵﹣1＜a＜0，
∴−34a＞0，
∴14a+12b+c＝2−34a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l1∥l2，带直角三角板ABC中30°角的顶点A在l1上，直角顶点B在l2上，三角板与直尺边缘形成的∠1＝24°，则∠2的度数是 ．
【答案】36°．
【分析】由两直线平行，内错角相等可得∠3＝54°，再利用平角求解即可．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1＝24°，∠BAC＝30°，
∴∠3＝∠1+∠BAC＝54°（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠3＝36°，
故答案为：36°．
12．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
【答案】163
【分析】由△ABO∽△CDO，得出ABCD=OFOE，代入数据即可求解．
【解答】解：如图，由题意可知，OF＝10cm，OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ABCD=OFOE，
∴AB8=1015，
解得AB=163，
即蜡烛火焰的高度是163cm，
故答案为：163．
13．（3分）对于分式2x−a3x+b，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，则ab的值为 ．
【答案】83．
【分析】分式无意义时，分母3x+b＝0；分式的值等于零时，分子2x﹣a＝0，所以把x的值分别代入以上两个等式，即可求得a、b的值．
【解答】解：根据题意可知，﹣3+b＝0，
解得：b＝3；
又∵当x＝4时，分式的值为0，
∴2×4﹣a＝0，
解得：a＝8，
则ab=83．
故答案为：83．
14．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tan∠ABO=12，A（﹣4，3），则点G坐标为 ．
【答案】（10，﹣3）．
【分析】过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥AH，交HA的延长线于点K，过点G作GT⊥x轴于点T，在Rt△AHO中，由勾股定理求出OA＝5得sin∠HOA=AHOA=45，解Rt△AOB得AB＝10，证明∠BAK＝∠HOA得sin∠BAK＝sin∠HOA=45，解Rt△ABK得BK＝8，AK＝6，由平移的性质得△ABO先向下平移3个单位，再向右平移6个单位就得到△EFG，由此得OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，GT＝OH＝3，GE＝OA＝5，然后在Rt△GTE中，由勾股定理求出ET＝4得OT＝OE+ET＝10，据此可得点G的坐标．
【解答】解：过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥AH，交HA的延长线于点K，过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示：
∴∠AHO＝∠K＝∠GTE＝90°，
∴△AHO，△ABK和△GTE都是直角三角形，
∵点A（﹣4，3），
∴AH＝4，OH＝3，
在Rt△AHO中，由勾股定理得：OA=AH2+OH2=42+32=5，
∴sin∠HOA=AHOA=45，
在△AOB中，∠OAB＝90°，
∴tan∠ABO=OAAB=12，
∴AB＝2OA＝10，
在Rt△AHO中，∠HAO+∠HOA＝90°，
又∵∠HAO+∠BAK＝180°﹣∠OAB＝90°，
∴∠BAK＝∠HOA，
∴sin∠BAK＝sin∠HOA=45，
在Rt△ABK中，sin∠BAK=BKAB=45，
∴BK=45AB=45×10=8，
由勾股定理得：AK=AB2−BK2=102−82=6，
由平移的性质得：△ABO先向下平移3个单位，再向右平移6个单位就得到△EFG，
∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，GT＝OH＝3，GE＝OA＝5，
在Rt△GTE中，由勾股定理得：ET=GE2−GT2=52−32=4，
∴OT＝OE+ET＝10，
∴点G的坐标为（10，﹣3）．
故答案为：（10，﹣3）．
15．（3分）分式方程4x−1−k1−x=2的解为非负数，且二次函数y＝x2+3x﹣k的图象在x轴上方，则符合条件的所有整数k的和为 ．
【答案】﹣14．
【分析】根据题意，可以求得k的取值范围，从而可以得到所有整数k的和，本题得以解决．
【解答】解：由分式方程4x−1−k1−x=2，可得，x=6+k2，
∵分式方程4x−1−k1−x=2的解为非负数，
∴6+k2≥0且6+k2≠1，
解得，k≥﹣6且k≠﹣4，
∵二次函数y＝x2+3x﹣k的图象在x轴上方，
∴32﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得，k＜−94，
由上可得，﹣6≤k＜−94且k≠﹣4，
∴k的整数值是﹣6，﹣5，﹣3，
∴所有整数k的和为﹣6+（﹣5）+（﹣3）＝﹣14，
故答案为：﹣14．
16．（3分）如图，在圆O中，AB为直径，CD与圆O相切于点C，点D在AB的延长线上，点E为弧AB的中点，连接CE，交AB于点F，点G为EF中点，连接AG，CD＝4，则DF＝ ，若tan∠BEC=25，则AG＝ ．
【答案】4；39210．
【分析】连接OC，OE，BC，过点C作CH⊥AB于H，过点A作AK⊥EF于K，利用切线性质和垂径定理推出∠DFC＝∠DCF，根据等角对等边即可求得DF，再利用圆周角定理可得∠BCH＝∠BAC＝∠BEC，则tan∠BCH＝tan∠BAC＝tan∠BEC=25，设BH＝2x，则CH＝5x，再证得△EFO∽△CFH，利用相似三角形性质及三角函数定义即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OC，OE，BC，过点C作CH⊥AB于H，过点A作AK⊥EF于K，
∵CD与圆O相切于点C，
∴∠OCE+∠DCF＝90°，
∵点E为弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠OEC+∠OFE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠OFE＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝CD＝4，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC=BC，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴tan∠BAC＝tan∠BEC=25，
∵∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠BAC＝90°，
∴∠BCH＝∠BAC，
∴tan∠BCH=BHCH=25，
设BH＝2x，则CH＝5x，
∵CHAH=tan∠BAC=25，
∴AH=52CH=252x，
∴AB＝AH+BH=292x，
∴OA＝OB＝OC＝OE=294x，
∴OH＝OB﹣BH=214x，
∵OE⊥AB，CH⊥AB，
∴OE∥CH，
∴△EFO∽△CFH，
∴OFFH=EFCF=OECH=294x5x=2920，
∴OF=2949OH=8728x，FH＝OH﹣OF=157x，
∴OD＝OF+DF=8728x+4，
∵tan∠COD=CHOH=CDOC，
∴CH•OC＝CD•OH，
即5x×294x＝4×214x，
解得：x=84145，
∴OF=8728×84145=95，OA＝OE=215，
∴EF=OE2+OF2=(215)2+(95)2=3585，
∵点G为EF中点，
∴FG=12EF=35810，
∵sin∠AFE=AKAF=OEEF，
∴AK=OE⋅AFEF=215×63585=215829，
∵tan∠AFE=AKFK=OEOF，
∴FK=OFOE•AK=95215×215829=95829，
∴GK＝FK﹣FG=95829−35810=358290，
∴AG=AK2+GK2=(215829)2+(358290)2=39210，
故答案为：4；39210．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算及解不等式组
（1）计算：9−(−1)2025−327+|1−2|．
（2）解不等式组3x+1＜x+72x≤14−x3，并把不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．
【分析】（1）根据9=3，(−1)2025=−1，−327=−3，|1−2|=2−1求解；
（2）根据解不等式组的基本步骤求解即可．
【解答】解：（1）原式=3−(−1)−3+2−1
=3+1−3+2−1
=2．
（2）3x+1＜x+7①2x≤14−x3②
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≤2．
∴原不等式组的解集为x≤2，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
18．（4分）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．
（1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数；
（2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED．
【分析】（1）在△AOD和△BOE中，利用三角形内角和定理可得∠1＝∠AEB，从而得到答案；
（2）先证明ED＝EC，∠AEC＝∠BED，再利用AAS可证得△AEC≌△BED．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O，
∴∠AEB＝∠1，
又∵∠1＝∠2，∠2＝40°，
∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°；
（2）证明：∵∠EDC＝∠C，
∴EC＝ED，
由（1）知∠AEB＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
∠A=∠B∠AEC=∠BEDEC=ED，
∴△AEC≌△BED（AAS）．
19．（6分）先化简，再求值：x+1x2−2x+1÷（1+2x−1）其中x=2+1．
【答案】1x−1；22．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算．
【解答】解：x+1x2−2x+1÷（1+2x−1）
=x+1(x−1)2÷x+1x−1
=x+1(x−1)2•x−1x+1
=1x−1，
当x=2+1时，
原式=12+1−1
=22．
20．（6分）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求10元捐款所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有3600名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数．
【分析】（1）结合扇形统计图中30元的百分比与条形统计图中30元的人数求出总人数，再计算15元的人数以补全统计图；
（2）利用扇形圆心角公式，即该组人数占总人数的比例乘以360°计算；
（3）通过样本中20元捐款的比例乘以全校总人数来估计总体数量．
【解答】解：（1）由题意得，30元捐款的人数为8人，占总人数的16%，
∴总人数＝8÷16%＝50（人）．
∴15元捐款的人数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12（人），
补全条形统计图如下示：
（2）∵10元捐款的人数为16人，总人数为50人，
∴10元捐款的圆心角=1650×360°=115.2°；
（3）估计该校3600名学生中捐款20元的人数为3600×1050=720人，
答：估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数为720人．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b−mx＜0时x的取值范围．
【答案】（1）y=−12x+5，y=8x；
（2）0＜x＜2或x＞8．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）由条件可得m＝8，
所以反比例函数的表达式为y=8x．
将B（n，1）代入y=8x，得n＝8，
所以B（8，1）．
由条件可得2k+b=48k+b=1，
解得k=−12b=5，
所以一次函数的表达式为y=−12x+5；
（2）∵kx+b−mx＜0，
∴kx+b＜mx，
∴由函数图象可知，x的取值范围为0＜x＜2或x＞8．
22．（10分）列方程解下列应用题：
马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共1000件，总销售额为8000元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件10元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件6元．
（1）求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？
（2）马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了2元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的2倍少400元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多4200元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的80%．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？
【分析】（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件x件，则“马踏飞燕”挂件（1000﹣x）件，根据题意列一元一次方程，求出x的值即可得答案；
（2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价m元，则“马上有福”挂件每件涨价（m+2）元，根据题意列分式方程，求出m的值即可得答案．
【解答】解：（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件x件，则“马踏飞燕”挂件（1000﹣x）件，
∵两种挂件共1000件，总销售额为8000元，销售价分别为每件10元和每件6元，
∴根据题意列一元一次方程得，10x+6（1000﹣x）＝8000，
解得x＝500，
∴1000﹣x＝1000﹣500＝500．
答：马年春节前一周售出“马上有福”挂件500件，“马踏飞燕”挂件500件；
（2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价m元，则“马上有福”挂件每件涨价（m+2）元，
∵春节前一周“马上有福”挂件销售额为10×500＝5000元，“马踏飞燕”挂件销售额为6×500＝3000元，
∴根据题意列分式方程得，5000×2−40010+m+2=3000+42006+m×80%，
解得m＝3．
经检验，m＝3是原方程的解．且符合题意．
答：春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价3元．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，若∠ABC+∠ACB＝4∠BAC，D在AC上，BD＝AD，求∠BDC的度数；
（2）如图2，点F是△ABC外一点，连接AF、BF、CF，若∠AFB＝∠ACB＝60°，求证：BF＝AF+CF；
（3）如图3，H为BC上一点，点F是△ABC外一点，连接AH、AF、BF、CF，BF与AC、AH分别交于点G、I，若∠AFB＝∠ACB＝30°，点G为AC中点，AH∥CF，AI＝1，请直接写出BG的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠BAC＝36°，再根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）在FB上截取FE＝FA，连接AE，证明△ABC、△AEF都是等边三角形，通过角度转换得到∠BAE＝∠CAF，即可证明△ABE≌△ACF（SAS），即可解答；
（3）在BF上取一点E，连接AE，使得AE＝AF，则∠AEF＝∠AFB＝30°，证明△AGI≌△CGF，得CF＝AI＝1，同（2）原理可得△ABE≌△ACF，BE＝CF＝1，再通过角度计算得到∠EAI＝90°，∠AEF＝∠HAF＝30°，可得EI＝2AI＝2，再通过线段的和即可解答．
【解答】（1）解：∵∠ABC+∠ACB＝4∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴4∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，
∵BD＝AD，
∴∠BAC＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝72°；
（2）证明：如图，在FB上截取FE＝FA，连接AE，
∵∠AFB＝∠BCA＝60°，AB＝AC，
∴△ABC、△AEF都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，AE＝AF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∴BF＝BE+EF＝AF+CF；
（3）解：在BF上取一点E，连接AE，使得AE＝AF，
则∠AEF＝∠AFB＝30°，
∵点G为AC中点，
∴IG＝FG，
∵AH∥CF，
∴∠ACF＝∠CAH，
∵∠AGI＝∠CGF，
∴△AGI≌△CGF（AAS），
∴CF＝AI＝1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF＝1，∠ABE＝∠ACF＝∠CAH．
∴∠AEF＝∠BAE+∠ABE＝∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠CAH＝∠HAF＝30°，
∴∠EAI＝∠EAF﹣∠HAF＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△EAI中，∠AEI＝30°，
∴EI＝2AI＝2，
∵∠AFB＝∠HAF＝30°，
∴FI＝AI＝1．
∴IG=FG=12FI=12．
∴BG＝BE+EI+IG＝1+2+12=72．
24．（12分）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上．
问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；
（2）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时矩形EFGH的面积．
【答案】（1）则抛物线L1的表达式为y=−12x2+4x+6；抛物线L2的表达式为y=14x2﹣2x；
（2）矩形EFGH的面积＝4×15＝60．
【分析】（1）判断出抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4），分别设抛物线L1和L2的表达式为y＝a1（x﹣4）2+14，y＝a2（x﹣4）2﹣4，利用待定系数法求出a1，a2即可；
（2）设xE＝xH＝n，主要yH=−12n2+4n+6，yE=14n2﹣2n，可得EH＝yH﹣yE=−34n2+6n+6＝15，解方程求出n，可得结论．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC＝6cm，AB＝8cm，
∴CD∥AB，BC∥AD，CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，
∴D（0，6），B（8，0），C（8，6），
∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线L2于N，交抛物线L1于M，交矩形ABCD于N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，∠DNP＝∠APN＝90°，AP＝BP=12AB＝4，
∴四边形DAPN是矩形；
∴NP＝AD＝6，
∵直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，
∴QP＝4cm，MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），
∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）；
分别设抛物线L1和L2的表达式为y＝a1（x﹣4）2+14，y＝a2（x﹣4）2﹣4，
将D（0，6）代入y＝a1（x﹣4）2+14，
解得a1=−12，
则抛物线L1的表达式为y=−12（x﹣4）2+14=−12x2+4x+6；
将A（0，0）代入y＝a2（x﹣4）2﹣4
解得a2=14．
则抛物线L2的表达式为y=14（x﹣4）2﹣4=14x2﹣2x；
（2）∵装置整体图案为轴对称图形，
∴EF⊥MG，HG⊥MG，
∵MQ⊥x轴，
∴EF∥HG∥x轴，
∵EFGH是矩形，
∴HE⊥EF，
∴HE⊥x轴，
∴xE＝xH，
设xE＝xH＝n，
∵yH=−12n2+4n+6，yE=14n2﹣2n，
∴EH＝yH﹣yE=−34n2+6n+6＝15，
解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍），
∴xE＝2，
由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4，
∴矩形EFGH的面积＝4×15＝60．
25．（12分）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点．
（1）当∠ABC＝90°时．
①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD；
②如图2，AD＝AE，点F在边BC上，且CF＝CD，顺次联结DE、EF、FD．如果EF＝DF，tan∠EFB=12，求tanC的值．
（2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求S△BODS△COH的值．
【分析】（1）①易证△ABD∽△BCD，，即可得证；
②设EF＝1，则BF＝2，先证△DEF为等腰直角三角形，再构造三垂直全等：过D作DM⊥BC于点M，易证△BEF≌△MFD（AAS），FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，再设CM＝x，在Rt△CDM中，利用勾股定理求解即可；
（2）易证△ABD∽△ACB，可得BDBG=BDBC=ADAB=22，设S△BOD＝S，则S△BOG=2S＝S△BOC，则S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（2−1）S，S△CBG=2S△CBD＝（2−2）S，再求S△BCH=12S△CBG=2−22S，即可得解．
【解答】（1）①证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠BCD＝90°﹣∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
∴ADBD=BDCD，
∴BD2＝AD•CD；
②解：∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝90°−12∠A，
∵CF＝CD，
∴∠CDF＝∠CFD＝90°−12∠C，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠CDF=12（∠A+∠C）＝45°，
∵DE＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝45°，
∴∠EFD＝90°，
∵tan∠EFB=12，
∴EFBF=12，
设EF＝1，则BF＝2，
如图，过D作DM⊥BC于点M，
则∠B＝∠EFD＝∠DMF＝90°，
∴∠EFB＝∠FDM＝90°﹣∠DFM，
∵EF＝DF，
∴△BEF≌△MFD（AAS），
∴FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，
设CM＝x，则CD＝CF＝1+x，
在Rt△CDM中，CM2+DM2＝CD2，
即x2+4＝（x+1）2，
解得x=32，即CM=32，
∴tanC=DMCM=43；
（2）设AD＝a，则AC＝2a，
∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB=BDBC，
∴AB2＝AD•AC＝2a，
∴AB=2a，
∵BG＝BC，
∴BDBG=BDBC=ADAB=22，
如图，连接CG，
则S△BOGS△BOD=BGBD=2，
设S△BOD＝S，则S△BOG=2S，
∵BG＝BC，H为CG中点，
∴OH垂直平分CG，
∴S△BOC＝S△BOG=2S，
∴S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（2−1）S，
∵BGBD=2，
∴S△CBG=2S△CBD＝（2−2）S，
∵H为CG中点，
∴S△BCH=12S△CBG=2−22S，
∴S△COH＝S△BOC+S△BCH=2+22S，
∴S△BODS△COH=S2+22S=2−2．