【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题06 一元二次方程的应用大全（5大类型）

这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题06 一元二次方程的应用大全（5大类型），文件包含期末满分攻略2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题06一元二次方程的应用大全5大类型解析版docx、期末满分攻略2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题06一元二次方程的应用大全5大类型原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。

 专题06 一元二次方程的应用大全（5大类型）
专题说明


列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给学生参考。
解题思路


类型一 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。
类型二 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：


类型三 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
类型四 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
类型五 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则


类型六 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
典例分析


【典例1】（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由









【变式1-1】（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．24.9（1+2x）＝30.3
B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
【变式1-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（　　）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【变式1-3】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．根据题意列方程正确的是（　　）
A．250(1+x)2=900 B．250(1+x%)2=900
C．250(1+x)+250(1+x)2=900 D．250+250(1+x)+250(1+x)2=900
【典例2】（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程（　　）
A．（1+x）2＝121 B．（1﹣x）2＝121
C．x+x（1+x）＝121 D．1+x+（1+x）2＝121
【变式2-1】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式2-2】（2022•和平区一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【变式2-3】（2022春•新昌县期末）请根据图片内容，回答下列问题：

（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？




【典例3】（2022春•广饶县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝66 B．＝66
C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66
【变式3-1】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-3】（2022•鸡冠区校级一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（　　）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【典例4】（2022春•金东区期末）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？







【变式4-1】（2022春•泰州期末）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？






【变式4-2】（2022春•新泰市期末）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？



【变式4-3】（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？








【典例5】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？




【变式5-1】用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（　　）
A．x(30-x)=200 B．x(30+x)=200
C．x(60+x)=200 D．x(60-x)=200
【变式5-2】（2022春•蚌埠期末）如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．







【变式5-3】（2022春•槐荫区期末）如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．


【典例6】（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝　 　cm；BQ＝　　cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？

【变式6-1】（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【变式6-2】（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　s后，P，Q两点之间相距25cm．

【变式6-3】（2022春•肥东县期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？











夯实基础


1．（2022春•平桂区 期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20
C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
2．（2022春•岑溪市期末）距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（　　）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
3．（2022春•南谯区期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间要赛一场，计划安排15场比赛，则比赛组织者邀请球队的数量是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
4．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
5．（2022春•两江新区期末）某中学连续三年开展植树活动，已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（　　）
A．500（1+x）2＝720
B．500（1+x%）2＝720
C．500（1+2x）＝720
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
6．（2022•侯马市模拟）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（　　）

A．
B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35
C．
D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35
7．（2022春•蜀山区期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035x2
C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035
8．（2022•永城市一模）某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行21场比赛．设参赛的人数为x，则x满足的关系式为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝21
C． D．x（x+1）＝21
9．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（　　）

A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50

10．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 　 　秒时，△BPQ的面积是6cm2．

11．（2022春•海门市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？







12．（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？









13．（2021秋•双流区期末）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？




14．（2022春•阳信县期末）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？




15．（2022春•通州区期末）用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x米．
（1）设窗框宽度AB为y米，则y＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）．




16．（2022春•庐阳区校级期中）如图，把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．

（1）用含x的代数式表示EF、FG；
（2）当长方体纸盒的底面EFGH的面积等于300cm2，求小正方形的边长．







17．（2022春•庐阳区校级期中）某种新商品的进价为每件120元在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，请解答以下问题：
（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售 　　件，每天可盈利 　 　元；
（2）若每天至少销售40件且每天可盈利1500元，则每件商品的售价应定为多少元？





18．（2022•灞桥区校级四模）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽AB．








19.（2022•山西模拟）“网上买年货，安心过大年”．2022年1月9日“全晋乐购”网上年货节启动．公众可通过多个电商平台参与减免、直降、秒杀等促销活动，享受无接触配送等服务．某网店专售一款中国结，其成本为每个40元，当销售单价为80元时，每天可销售100个．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查发现该款中国结销售单价每降1元，每天可多销售5个．设该款中国结的销售单价为x元（x为正整数），每天的销售量为y个．
（1）请直接写出y与x的函数关系式．
（2）当该网店每天销售利润为4500元时，求该款中国结的销售单价．






20．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？







21．（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．








22．（2021秋•喀什地区期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？




23．（2022•碑林区校级二模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？









能力提升


24.（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？