浙教版（2024）八年级下册（2024）2.1 一元二次方程和它的解导学案及答案

这是一份浙教版（2024）八年级下册（2024）2.1 一元二次方程和它的解导学案及答案，文件包含专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册解析版docx、专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册试题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc10327" 【题型1 识别一元二次方程】 PAGEREF _Tc10327 \h 2
\l "_Tc30265" 【题型2 根据一元二次方程的定义求值】 PAGEREF _Tc30265 \h 2
\l "_Tc22835" 【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 PAGEREF _Tc22835 \h 3
\l "_Tc19031" 【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 PAGEREF _Tc19031 \h 3
\l "_Tc26851" 【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】 PAGEREF _Tc26851 \h 3
\l "_Tc14021" 【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】 PAGEREF _Tc14021 \h 4
\l "_Tc4672" 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc4672 \h 4
\l "_Tc11099" 【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc11099 \h 5
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：1x2+x=2，x2+1，x2+y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0).
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④x2−2x+1=1中，不是一元二次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式1-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x2=0B．ax2+bx+c=0
C．x2+x−2=0D．3x−2xy+5y2=0
【变式1-2】（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+1=0B．x−2y−3=0 C．2x2=0D．y2−3y+4=0
【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ）
①3x2−x=0；②ax2+bx+c=0；③3x+1x=0；④2x2−1=(x−1)(x−2)；⑤(5x−2)(3x−7)=15x2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程m+1x4m−2+27mx+5=0是一元二次方程，则m= ．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a≠0B．a>3C．a=0D．a≥0
【变式2-2】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）若方程a+1x3a2−1=0是关于x的一元二次方程，则a= ．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程m−1x2−2x+m2−1=0有一个解是0，则m=
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【例3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程3x+1x−1=5整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3,−5,−2B．3,−5x,2C．3,5x,−2D．3,−5,2
【变式3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程x2+4x−1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1和3B．1和−6C．3和−6D．3和4
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项为−4的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
【例4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为 ．
【变式4-1】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程m−1x2+5x+m2−1=0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．±1
【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于x的一元二次方程3x2+x−2=ax(x−2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·四川广元·期中）若关于的一元二次方程2x2−m+1x=xx+1化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
【例5】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，则2025−8a+2b的值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则a+4a−1的值为（ ）
A．1B．3C．−3D．−5
【变式5-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2−3x−1=0的一个根，则−2m2+6m+19的值为 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知m是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式(m+1)2+(m+1)(m−1)的值为 ．
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
【例6】（2025·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为 ．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果a是一元二次方程x2=3x−2的根，则代数式a2−3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程x2+x−4=0的一个根，则a3+2a2−3a+7的值为
【变式6-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，则a2−112a3−3a2+11的值等于 ．
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营业额要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2001+1+x+1+x2=950B．2001＋x2=950
C．2001+x+1+x2=950D．9501+x2=200
【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ．
【变式7-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的38，则此时通道的宽为 ．
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（ ）
A．50−x80+x2×10=4000B．50−x−3080+x2×10=4000
C．50−x−3080+10x=4000D．50−2x−3080+10x=4000
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例8】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0ac≠0有一根为x=2024，则关于y的一元二次方程cy2+by+a=0ac≠0必有一根为（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【变式8-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程x+ℎ2+k=0（h，k均为常数）的解是x1=−3，x2=2，则关于x的方程x+ℎ−32+k=0的解是 ．
【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2022，则一元二次方程ax+12+bx+b=−2必有根为（ ）．
A．2023B．2020C．2021D．2022
【变式8-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025，则一元二次方程ax−12+bx+2=b必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027