初中2.3 一元二次方程根与系数的关系导学案

这是一份初中2.3 一元二次方程根与系数的关系导学案，共15页。学案主要包含了新教材浙教版，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16172" 【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc16172 \h 1
\l "_Tc32024" 【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc32024 \h 3
\l "_Tc13104" 【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc13104 \h 5
\l "_Tc15998" 【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】 PAGEREF _Tc15998 \h 8
\l "_Tc23614" 【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc23614 \h 10
\l "_Tc10930" 【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】 PAGEREF _Tc10930 \h 13
\l "_Tc21551" 【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 PAGEREF _Tc21551 \h 15
\l "_Tc13659" 【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 PAGEREF _Tc13659 \h 17
\l "_Tc25692" 【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】 PAGEREF _Tc25692 \h 20
\l "_Tc23934" 【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 PAGEREF _Tc23934 \h 24
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a,则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
例如：方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−p，x1x2=q．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若a,b是关于x的方程x2−x−3=0的两实数根，则ba+ab的值为 ．
【答案】−73
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握ax2+bx+c=0的两根x1、x2满足x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系得到a+b=1，ab=−3，然后将ba+ab变形后整体代入求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程x2−x−3=0的两个实数根，
∴a+b=1，ab=−3
∴ba+ab=a2+b2ab=a+b2−2abab=12−2×−3−3=−73．
故答案为：−73．
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，则ab−a−b= ．
【答案】−2024
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到a+b=−1,ab=−2025，整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
∴a+b=−1,ab=−2025，
∴ab−a−b=ab−a+b=−2025−−1=−2024；
故答案为：−2024．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x1，x2，则x12+x22的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，由题可得x1+x2=−1，x1⋅x2=−2，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+x2=−1，x1⋅x2=−2，
∴x12+x22=x1+x22−2x1⋅x2=−12−2×−2=5，
故答案为：5．
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的两根分别记为αm，βm，如：当m=1时，方程的两根记为α1，β1，则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2025+1β2025= ．
【答案】20251013
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出αm+βm=−2，αmβm=−m2+m，从而得出1αm+1βm=21m−1m+1，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的两根分别记为αm，βm，
∴αm+βm=−2，αmβm=−m2+m，
∴1αm+1βm=αm+βmαmβm=−2−m2+m=21m−1m+1，
∴1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2025+1β2025
=21−12+12−13+…+12025−12026
=2×1−12026
=20251013，
故答案为：20251013．
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 ．
【答案】4051
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
将x=α代入原方程，再结合根与系数的关系x1+x2=−ba即可解决问题．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
∴α2+2α−2025=0，α+β=−21=−2，
∴α2+2α=2025，
则2α2+6α+2β+5=2α2+4α+2α+2β+5
=2α2+2α+2α+β+5
=2×2025+2×−2+5
=4051，
故答案为：4051．
【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式a2−4a+b的值为 ．
【答案】29
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，可得：a+b=5，a2−5a=24，把a2−4a+b整理可得：a2−4a+b=a2−5a+a+b，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2−5a−24=0，
∴a2−5a=24，
∴a2−4a+b
=a2−5a+a+b
=a2−5a+a+b
=24+5
=29．
故答案为：29．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，则a2+5a−ba−1的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据根与系数的关系得出ab=−4，a+b=−4，根据方程的解得a2+4a−4=0，再将a2+5a−ba−1变形为a2+4a−ab+a+b，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，
∴a2+4a−4=0，ab=−4，a+b=−4，
∴a2+4a=4，
∴a2+5a−ba−1
=a2+5a−ab+b
=a2+4a−ab+a+b
=4−−4+−4
=4．
故答案为：4．
【变式2-3】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，那么2n2−mn+2m的值是 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键
先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=1,mn=−3以及方程的解可得n2=3+n，然后对2n2−mn+2m变形后代入计算即可解答．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，即x2−x−3=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=1,mn=−3,n2−n−3=0
∴n2=3+n
∴2n2−mn+2m
=23+n−−3+2m
=6+2n+3+2m
=9+2n+m
=9+2×1
=11．
故答案为：11．
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例3】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，则α3+5β+2的值是 ．
【答案】−10
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得α2+2α−1=0，α+β=−2，将原式变形，整体代入计算即可
【详解】解：∵α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，
∴α2+2α−1=0，α+β=−2，
∴α2=1−2α，α2+2α=1
∴α3+5β+2
=α⋅α2+5β+2
=α1−2α+5β+2
=α−2α2−4α+4α+5β+2
=α−2α2+4α+4α+5β+2
=5α−2α2+2α+5β+2
=5α+β
=5×−2
=−10，
故答案为：−10．
【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3+14β+5的值是 ．
【答案】−43
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知α+β=−4，α2+4α+2=0，进而整理出α3=14α+8，将其代入化简求值即可．
【详解】解：根据题意，α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，
∴α+β=−4，α2+4α+2=0，
∴α2=−4α−2，
∴α3=α⋅α2=−4α2−2α=−4−4α−2−2α=14α+8，
∴α3+14β+5=14α+8+14β+5=14α+β+13=14×−4+13=−43．
故答案为：−43．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多项式m3+3n−mn+3n+2032的值是 ．
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．先根据根与系数的关系得出m+n=−1，mn=−3，再利用一元二次方程解的定义得到m2=−m+3，1n=n+13，从而得到m3=4m−3，3n=n+1，则原式化简为4m+n−mn+2032，最后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根
∴m+n=−1，mn=−3，m2+m−3=0，n2+n−3=0
∴m2=−m+3，nn+1=3
∴m3=m−m+3=−m2+3m=−−m+3+3m=4m−3
1n=n+13，即3n=n+1
∴m3+3n−mn+3n+2032
=4m−3+3n−mn+n+1+2032
=4m+4n−mn−2+2032
=4m+n−mn+2030
=4×−1−−3+2030
=2029
故答案为：2029．
【变式3-3】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，求α6−40β+3的值为
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，由题意得出α2+α−3=0，α+β=−1，从而得出α2+α=3，求出α6=−40α+57，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵α、β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，
∴α2+α−3=0，α+β=−1，
∴α2=3−α，
∴α3=α⋅−α+3=−α2+3α=α−3+3α=4α−3，
∴α6=α32
=4α−32
=16α2−24α+9
=163−α−24α+9
=48−16α−24α+9
=−40α+57，
∴α6−40β+3
=−40α−40β+57+3
=−40α+β+60
=40+60
=100．
故答案为：100．
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根x1，x2．实数m满足x1−1x2−1=6m−1，则实数m的值为 ．
【答案】−2
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x1−1x2−1转换为x1x2−x1+x2+1，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=m，x1x2=2m−1，
∵x1−1x2−1=6m−1，
∴x1x2−x1+x2+1=6m−1，
∴2m−1−m+1=6m−1，
解得m1=−2，m2=3，
经检验m1=−2，m2=3是分式方程的解，
又∵方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=m2−42m−1≥0，
当m1=−2时，Δ=4−4×−5=24>0，
当m2=3时，Δ=9−4×5=−110；
当m=3时，原方程为x2−2x+4=0，Δx2，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到x1+x2=2m，x1x2=m2−4，进而根据已知条件式推出x2=2m−33，x1=4m+33，则可得方程4m+33⋅2m−33=m2−4，解方程后根据x1>x2验证结果即可．
【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2−2mx+m2=4的两个根，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2−4
∴x1=2m−x2，
∵x1=2x2+3，
∴2m−x2=2x2+3，
∴x2=2m−33，
∴x1=2m−2m−33=4m+33，
∴4m+33⋅2m−33=m2−4，
∴8m2+6m−12m−9=9m2−36，
∴m2+6m−27=0，
解得m=−9或m=3，
∵x1>x2，
∴4m+33>2m−33，
∴m>−3，
∴m=3，
故答案为：3．
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例5】若关于x的方程4x2−5x−m+5=0的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥−5
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得m的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到Δ=(−5)2−4×4×[−(m+5)]≥0−m+54≤0．
【详解】解：∵关于x的方程4x2−5x−(m+5)=0的解中，仅有一个正数解，
∴ Δ=(−5)2−4×4×[−(m+5)]≥0−m+54≤0，
解得m≥−5．
故答案为：m≥−5．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个不相等的实数根x1,x2，且x1,x2满足2x1x2>x1+x2，则m的取值范围是 ．
【答案】33
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得Δ=−42−4×1×m−1>0，根据根与系数的关系可得2m−1>4，即可求出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，Δ=−42−4×1×m−1>0，
解得mx1+x2，
∴2m−1>4
解得m>3，
∴实数m的取值范围是：3