第六章培优专题八　数列的创新融合问题-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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1.数列与导数的创新融合问题一般与不等式的证明有关,解题思路一般是利用导数证明函数不等式,根据该不等式对自变量赋值,利用累加法证明数列不等式.2.数列与导数的创新融合问题中不等式的证明有时需要先放缩,再证明不等式.
两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数,一个等差数列与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定.
考点3 数列的新定义问题【例3】　(2025·江西南昌二模)对于共k项的等差数列{an}(公差不为0),将其各项重新排列得到新数列{bn},若{bn}中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间,则称数列{bn}是等差数列{an}的“无均数列”.(1)若k=4,写出等差数列{an}(公差不为0)的4个不同的“无均数列”;【解】　当k=4时,存在以下“无均数列”:a1,a3,a2,a4;a1,a3,a4,a2;a3,a1,a2,a4;a3,a1,a4,a2;a2,a4,a1,a3;a2,a4,a3,a1;a4,a2,a1,a3;a4,a2,a3,a1;a2,a1,a4,a3;a3,a4,a1,a2.共10个.(写出其中的4个即可)
(2)若k=8,写出等差数列{an}(公差不为0)的一个“无均数列”;【解】当k=8时,等差数列{an}(公差不为0)的一个“无均数列”为a1,a5,a3,a7,a2,a6,a4,a8.(答案不唯一,满足要求即可)
现证只有3项的数列可以重组为“无均数列”.将a1,a2,a3的奇数项和偶数项分别排在一起得a1,a3,a2,为“无均数列”.根据以上信息,我们可以得出,对于公差不为0的等差数列{an},一直进行上面那样的分段,最后只要那些段内能够重组成“无均数列”,则这个等差数列就可以重组成“无均数列”,显然,无论等差数列{an}有多少项,最后都能够分成多段只含一项或者两项的数列,则公差不为0的等差数列{an}存在“无均数列”.所以若k=2 025,则等差数列{an}(公差不为0)的“无均数列”存在.
解决新定义数列问题,核心是先精准解读新定义,明确其对数列的运算、关系或性质的规定,再转化为常规数列问题,借助作差求通项、递推公式推导、等差(等比)求和、假设验证(如存在性分析)等方法,将新定义下的复杂关系拆解为熟悉的数列运算与推理,逐步突破通项求解、集合运算、性质判断等子问题.
解:由函数f(n)的定义可得f(7)=f(6)+(-1)f(6),因为f(6)=f(3)=f(2)+(-1)f(2)=f(1)+(-1)f(1)=0,所以f(7)=1.由函数f(n)的定义可得f(10)=f(5),因为f(5)=f(4)+(-1)f(4)=f(2)+(-1)f(2)=0,所以f(10)=0.
4.(15分)(2026·安徽合肥一模)正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k,n为正整数.若正整数序列(λ1,λ2,…,λk)满足λ1+λ2+…+λk=n,且λ1≥λ2≥…≥λk≥1,1≤k≤n,则称(λ1,λ2,…,λk)为n的一个k部划分.记pk(n)为n的所有k部划分的个数.(1)计算:p3(6),p2(5);解:6的所有3部划分为(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2);5的所有2部划分为(4,1),(3,2).所以p3(6)=3,p2(5)=2.
(2)求证:pk(n)=pk-1(n-1)+pk(n-k)(k≥2);解:证明:设(λ1,λ2,…,λk)是n的一个k部划分.分两种情形讨论.①若λk=1,则(λ1,λ2,…,λk-1)为n-1的一个k-1部划分.故满足λk=1的n的所有k部划分有pk-1(n-1)个.②若λk>1,则(λ1-1,λ2-1,…,λk-1)为n-k的一个k部划分.故满足λk>1的n的所有k部划分有pk(n-k)个.综上可知,pk(n)=pk-1(n-1)+pk(n-k)(k≥2).