第六章6.4　由递推公式求通项-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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an=2·3n-n-1
1.形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的递推公式,一般配凑成an+1+x=p(an+x)的形式(利用待定系数法求x的值),构造等比数列.2.形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)的递推公式,一般配凑成an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式(利用待定系数法求x,y的值),构造等比数列.3.形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)的递推公式,一般两边同时除以pn+1或qn+1,再利用累加法或构造法求通项.
【对点训练1】　(1)已知数列{an}满足a1=4,且an+1=2an-3,则a211=(　 　)A.2210-3B.2211+3C.2210+3D.2211+1解析:因为an+1=2an-3,所以an+1-3=2(an-3).因为a1-3=1,所以数列{an-3}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an-3=2n-1,所以an=2n-1+3,故a211=2210+3.故选C.
(3)(一题多解)已知数列{an}满足an+2-4an=-3n+2,且a1=3,a2=6,则数列{an}的通项公式为an=______.解析:方法一　因为an+2-4an=-3n+2,所以an+2-2an+1+2(an+1-2an)=-3n+2.设bn=an+1-2an,则bn+1+2bn=-3n+2,所以(bn+1+n)+2(bn+n-1)=0.设tn=bn+n-1,则tn+1+2tn=0.因为a1=3,a2=6,所以b1=a2-2a1=0,t1=b1+1-1=0,所以tn=0,即bn+n-1=0,即an+1-2an+n-1=0,所以an+1-(n+1)=2(an-n).因为a1-1=3-1=2,所以数列{an-n}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an-n=2n,即an=2n+n.
1.(5分)已知数列{an}的首项a1=0,且满足an+1=2an+2,则a5=(　 　)A.63B.32C.30D.15解析:由an+1=2an+2可得an+1+2=2(an+2),且a1+2=2,所以{an+2}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an+2=2n,则a5=25-2=30.故选C.
7.(5分)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=(　 　)A.3 059B.2 056C.1 033D.520解析:由题意得Sn+1+3=2an+1+n+1,则Sn+1+3=2(Sn+1-Sn)+n+1,所以Sn+1=2Sn-n+2,则Sn+1-(n+1-1)=2[Sn-(n-1)],因为S1+3=2a1+1,所以S1=2,则S1-(1-1)=2,所以{Sn-(n-1)}是首项、公比均为2的等比数列,则Sn-(n-1)=2n,所以Sn=2n+n-1,则S10=210+10-1=1 024+10-1=1 033.故选C.
9.(8分,多选)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且an+1=4an+3n,则(　 　)A.a2=7B.{Sn}是递增数列C.{an+3n}是等差数列D.a10=220-310
解析:因为an+1=4an+3n,所以an+1+3n+1=4(an+3n),又a1+3=4≠0,所以数列{an+3n}是首项为4,公比为4的等比数列,则an+3n=4×4n-1=4n,即an=4n-3n.对于A,a2=42-32=7,故A正确;对于B,因为an=4n-3n>0,所以{Sn}是递增数列,故B正确;对于C,因为数列{an+3n}是首项为4,公比为4的等比数列,所以{an+3n}不是等差数列,故C错误;对于D,a10=410-310=220-310,故D正确.故选ABD.
13.(5分)已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1+an=3×2n,则an=________.解析:由an+1+an=3×2n,得an+1=-an+3×2n,则an+1-2n+1=-an+3×2n-2n+1=-(an-2n),又a1-2=1-2=-1≠0,所以数列{an-2n}是以-1为首项,-1为公比的等比数列,所以an-2n=(-1)n,所以an=2n+(-1)n.
方法二　由题知an+2-2an+1=an+1-2an,所以数列{an+1-2an}为常数列,即an+1-2an=a2-2a1=1,从而an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1.