第七章培优专题十　立体几何中的创新融合问题-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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考点1 翻折问题【例1】(2025·全国二卷)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90° ,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.
(1)求证:A'B∥平面CD'F;【解】证明:如图,过点C作CG∥EF交EB于点G,连接A'G.因为EF∥AD,AB∥CD,∠DAB=90°,所以四边形ADFE为矩形,四边形EFCG为矩形,所以EF AD,EF CG,所以CG AD,所以CG A'D',所以四边形A'D'CG为平行四边形,所以CD'∥A'G.又A'G⊂平面A'BE,CD'⊄平面A'BE,所以CD'∥平面A'BE.因为CF∥EB,EB⊂平面A'BE,CF⊄平面A'BE,所以CF∥平面A'BE.又CD',CF⊂平面CD'F,CD'∩CF=C,所以平面CD'F∥平面A'BE.因为A'B⊂平面A'BE,所以A'B∥平面CD'F.
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.【解】因为A'E⊥EF,BE⊥EF,所以由二面角的定义可知,∠A'EB即为面EFD'A'与面EFCB所成的二面角,所以∠A'EB=60°,同理∠D'FC=60°.又D'F=DF=FC,所以△D'FC为等边三角形.过点A'作A'H⊥EB于点H.因为EF⊥EB,EF⊥A'E,A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以EF⊥平面A'EB.又A'H⊂平面A'EB,所以EF⊥A'H.又A'H⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面EFCB,所以A'H⊥平面EFCB.因此以F为坐标原点,直线FE、直线FC、过点F且平行于A'H的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
三步解决平面图形的折叠问题
【对点训练1】　(2025·河北秦皇岛模拟)如图1,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=∠DCB=60°,BA=AD=DC,M为线段BC的中点,将△BAM沿直线AM折起至△B'AM,如图2.
(2)若二面角B'-AM-D的大小为120°,求平面DAB'与平面DCB'夹角的正弦值.解:由题意得△AB'M与△ADM均为正三角形,设边长为2,取AM的中点H,连接DH,B'H,如图2,则DH⊥AM,B'H⊥AM,即∠B'HD为二面角B'-AM-D的平面角,所以∠B'HD=120°,
考点2 探索性问题【例2】　(2025·山东威海三模)如图,在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱CC1上.
(1)若AC1∥平面BPD,求证:PC=PC1;【解】证明:如图,连接AC交BD于点Q,连接PQ,因为AC1∥平面BPD,AC1⊂平面ACC1,平面ACC1∩平面BPD=PQ ,所以AC1∥PQ.因为四边形ABCD为平行四边形,所以Q为AC的中点,所以P为CC1的中点,即PC=PC1.
与空间角有关的探索性问题的解题流程
(1)求证:DF∥平面ABE.解:证明:如图,取CD的中点M,连接FM.因为△CDF是正三角形,所以FM⊥CD.又因为平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,FM⊂平面CDF,所以FM⊥平面ABCD.因为AE⊥平面ABCD,所以AE∥FM.又因为FM⊂平面CDF,AE⊄平面CDF,所以AE∥平面CDF.因为四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD.又因为AB⊄平面CDF,CD⊂平面CDF,所以AB∥平面CDF.又因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,所以平面ABE∥平面CDF.因为DF⊂平面CDF,所以DF∥平面ABE.
考点3 最值与范围问题【例3】　如图,在多面体ABCDEF中,四边形CDEF为正方形,AB∥EF,AD=AE=BC=BF=3,EF=2AB=4.
(1)设平面ADE∩平面BCF=l,求证:l∥CF.【解】证明:因为四边形CDEF为正方形,所以CF∥DE.因为DE⊂平面ADE,CF⊄平面ADE,所以CF∥平面ADE.因为平面ADE∩平面BCF=l,CF⊂平面BCF,所以l∥CF.
(2)直线DE上是否存在点G,使得DE⊥平面 ABG?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.【解】存在.当G为DE的中点时,DE⊥平面ABG.理由如下:当G为DE的中点时,因为AD=AE,所以AG⊥DE.因为EF∥AB且EF⊥DE,所以AB⊥DE.因为AB∩AG=A且AB,AG⊂平面ABG,所以DE⊥平面ABG.
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题常用的解题思路(1)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.(2)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值.
1.(15分)(2025·陕西汉中模拟)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,P是BC的中点,连接AP,将△PAB沿直线AP翻折,使得平面PAB⊥平面APCD(如图2),连接BC,BD,Q是BD的中点.
(2)求证:CQ∥平面PAB;解:证明:如图1所示,取AD的中点E,连接QE,CE,则AE∥PC,AE=PC,所以四边形AECP为平行四边形,所以PA∥CE.又因为CE⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB.因为Q,E分别是DB,DA的中点,所以QE∥AB.又因为QE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB ,所以QE∥平面PAB.又因为QE∩CE=E,QE,CE⊂平面QEC,所以平面QEC∥平面PAB.又因为CQ⊂平面QEC,所以CQ∥平面PAB.
(3)求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值.解:如图2,取PA的中点O,因为AB=BP,所以OB⊥AP.又因为平面PAB⊥平面APCD,平面PAB∩平面APCD=PA,OB⊂平面PAB,所以OB⊥平面APCD.又因为OE,OA⊂平面APCD,所以OB⊥OE,OB⊥OA.因为O,E分别为AP,AD的中点,所以OE∥PD,又因为PA⊥PD,所以PA⊥OE,所以OE,OA,OB两两垂直.
3.(15分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,且AD∥BC,AB=ED=2BC=2AF=2,将四边形ADEF沿AD向上折起,连接BE,BF,CE,在折起的过程中,记二面角E-AD-C的平面角为α.
(1)请将几何体EFABCD的体积表达为关于α的函数,并求其最大值;解:在折叠之前的平面图形中, BC⊥CE,BC⊥BF,AD∥BC,∴AD⊥DE,AD⊥DC,AD⊥AF,AD⊥AB,折起四边形ADEF后,DE,DC 是平面EDC内的两条相交直线, AF,AB是平面FAB内的两条相交直线,∴折起的过程中始终有AD⊥平面EDC, AD⊥平面FAB,故α=∠EDC=∠FAB,故E到平面ABCD的距离为2sin α.∵ED∥AF,ED⊄平面FAB,AF⊂平面FAB,∴ED∥平面FAB,故E到平面FAB的距离等于D到平面FAB的距离,即为AD=BC=1.
4. (15分)(2025·贵州毕节二模)如图,在三棱锥A-BCD中,BD⊥CD,AB⊥AD,且AB=AD,BD=2,DC=1,M为BC的中点.
(1)当三棱锥A-BCD的体积最大时,①求证:AB⊥CD;②求其外接球的表面积.解:①证明:∵三角形ABD的面积为定值,且BD⊥CD,∴当三棱锥A-BCD的体积最大时,CD⊥平面ABD.∵AB⊂平面ABD,∴AB⊥CD.②由①知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,AB⊥CD.∵AB⊥AD,CD∩AD=D,CD,AD⊂平面ACD,∴AB⊥平面ACD.又AC⊂平面ACD,∴AB⊥AC.又M为BC的中点,∴M到A,B,C,D的距离相等,即M为三棱锥A-BCD 的外接球的球心.