第七章7.1　基本立体图形-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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2.圆柱、圆锥、圆台、球
简单组合体:由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.其构成形式主要有:由简单几何体____而成,或由简单几何体__________一部分而成.
3.立体图形的直观图(1)画法:常用__________.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴与y'轴的夹角为45°或135°,z'轴与x'轴的夹角为______.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍________________,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____,平行于y轴的线段,长度在直观图中变为原来的____.
4.简单几何体的表面积与体积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积其中r,r'为底面半径,l为母线长.
(2)柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
5.常见四棱柱及其关系
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)水平放置的菱形的直观图仍是菱形. (　 　)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　 　)(3)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　 　)(4)锥体的体积等于底面积与高的积. (　 　)
2.如图,三角形A'B'C'是水平放置的三角形ABC的直观图,则三角形ABC的面积是____.
考点1 基本立体图形【例1】　(1)(多选)下列说法错误的是(　 　)A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点C.有两个面互相平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
【解析】　对于A,“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图1所示的几何体就不是棱柱,故A错误;对于B,由圆台的定义知B正确;对于C,两个面互相平行且相似,其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点才是棱台,如图2所示的几何体就不是棱台,故C错误;对于D,圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故D错误.故选ACD.
1.辨别空间几何体的两种方法(1)定义法:紧扣定义进行判定.(2)反例法:要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可.2.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段:平行于x轴的线段在直观图中平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段在直观图中平行性不变,长度减半.3.在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑借助展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.
【对点训练1】　(1)下列命题中为真命题的是(　 　)A.以直角三角形的一边所在直线为轴,旋转一周所得的旋转体是圆锥B.用任意一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱D.正四棱锥的侧面均为等边三角形
解析:对于A,当以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转时,得到的是圆锥,当以斜边所在直线为轴旋转时,得到的是两个圆锥的组合体,故A错误;对于B,用平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台,故B错误;对于C,由棱柱的定义知C正确;对于D,正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形,故D错误.故选C.
解析:将正三棱锥A-BCD的侧面沿AC剪开,可得如图所示的侧面展开图,∵∠BAD=20°,∴∠CAC'=60°.根据正三棱锥和侧面展开图可知,△CB1D1的周长为CD1+D1B1+B1C',∴要使△CB1D1的周长最小,则C,D1,B1,C'四点共线,连接CC',则△CAC'是边长为2的等边三角形,∴(CD1+D1B1+B1C')min=CC'=2.故选D.
求几何体表(侧)面积的方法(1)求多面体的表(侧)面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表(侧)面积.(2)求旋转体的表(侧)面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其侧面展开后求表(侧)面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的关系.(3)求不规则几何体的表(侧)面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表(侧)面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表(侧)面积.
【对点训练2】　(1)如图,将一个圆柱4等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20,则原圆柱的侧面积是 (　 　)A.10π　　 B.20πC.100π　　 D.200π解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则原圆柱的表面积为2πr2 +2πrh,新几何体的表面积为2πr2+2πrh +2rh,故 2rh =20,则原圆柱的侧面积为2πrh =20π.故选B.
【解析】　在长方体A1B2C2D1-ABC3D2中,A1B2=AB=B1C1=4,BC=A1B1=AA1=2.根据题意可知,六面体ABCD-A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1-ABC3D2的一部分,如图.
求空间几何体的体积的常用方法
祖暅原理链接教材:(人教A版必修第二册P121探究与发现)“幂势既同,则积不容异”.这就是“祖暅原理”.“势”即是高,“幂”是面积,祖暅原理用现代语言可以描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
1.(5分)已知圆柱的母线长为4,底面半径为2,则该圆柱的体积为 (　 　)A.8πB.12πC.16πD.20π解析:因为圆柱的母线长为4,底面半径为2,所以圆柱的体积V=πr2h=π×22×4=16π.故选C.
3.(5分)有这样一道古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠本两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”则这个问题中,葛藤长的最小值为(1丈等于10尺)(　 　)A.2丈4尺B.2丈5尺C.2丈6尺D.2丈8尺
6.(5分)(2025·山东聊城模拟)图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托,我们不妨将该花口盏及盏托看作两个圆台与一个圆柱的组合体,三个部分的高相同,均为6 cm,上面的花口盏是底面直径分别为8 cm和10 cm的圆台,下面的盏托由底面直径8 cm的圆柱和底面直径分别为12 cm和8 cm的圆台组合构成,示意图如图2(图中数据的单位为cm),则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为(　 　)A.248π cm3B.274π cm3C.354π cm3D.370π cm3
9.(6分,多选)下列命题中为假命题的有(　 　)A.圆台的侧面展开图是一个扇形B.有一个面为平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.五棱柱共有10个顶点,5条侧棱
解析:对于A,圆台的侧面展开图是一个扇环,故A为假命题;对于B,棱锥的侧面都是三角形,若棱锥有一个面是平行四边形,则这个面一定是底面,该棱锥一定是四棱锥,故B为真命题;对于C,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故C为假命题;对于D,五棱柱共有10个顶点,5条侧棱,故D为真命题.故选AC.
12.(5分)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3 m,圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆约需要涂料______ kg.(π≈3.14,结果保留整数)解析:一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152≈0.847 8(m2),所以给1 000个这样的浮标涂防水漆需涂料0.847 8×0.5×1 000≈424(kg).
13. (5分)如图,一个三棱柱容器中盛有水,当底面ABC水平放置时,水面高为3,当侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好经过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则AA1=__.
14.(5分)(2025·河南焦作三模)我们把几何体的表面积与体积的数值之比称为“相对积”.已知三棱锥O-ABC中,AB=3,D,E,F分别在棱OA,OB,OC上,且平面DEF与底面ABC平行,DE=2,则三棱锥O-ABC与三棱锥O-DEF的“相对积”之比为 .
15. (5分)(2026·江西南昌一模)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6,点P为线段A1B上的动点(不与点A1,B重合),则下列三棱锥中,其体积不为定值的是 (　 　)A.三棱锥P-C1CDB.三棱锥P-B1D1DC.三棱锥P-D1B1CD.三棱锥P-D1AC