2026届高三数学一轮复习课件第32讲常见的递推关系求通项

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第32讲常见的递推关系求通项，共57页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，n－1，研题型·能力养成，an＝n·2n，答案C，答案ABD，配套精练，答案B，答案AB，×3n－1等内容，欢迎下载使用。
A．9B．21C．45D．93
A．a2　　　　　　B．a3　　　　　　C．a4　　　　　　D．a5
4．(人A选必二P41习题T8改)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是an＝__________．
　　　　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1．
构造等差数列求通项公式
　　　(2024·淄博期中)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为______________．
(2) 若递推关系可化简变形为an＋1＝an＋q，则数列{an}符合等差数列的定义．
变式1　若数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n＋1，a1＝6，则数列{an}的通项公式为_________________．
构造等比数列求通项公式
视角1　an＋1＝pan＋q型　　　　　(2024·苏中苏北八市三调)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝(　　)A．65B．127C．129D．255
　　　　当n＝1时，a1＋1＝2a1，则a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a7＋1＝2×26＝27＝128，所以a7＝127．
变式2－1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝2an＋1，n∈N*．若Sk≥2 026，则正整数k的最小值为(　　)A．11B．12C．13D．14
视角2　an＋1＝pan＋qn型　　　　　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4·3n－1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为__________________________．
　　　　方法一：设an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，整理得an＋1＝2an－λ·3n－1，可得λ＝－4，即an＋1－4×3n＝2(an－4×3n－1)，且a1－4×31－1＝－5≠0，则数列{an－4·3n－1}是首项为－5，公比为2的等比数列，所以an－4×3n－1＝－5×2n－1，即an＝4×3n－1－5×2n－1．
【答案】 an＝4×3n－1－5×2n－1
视角3　an＋1＝pan＋qn＋m型　　　　　在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________________．
an＝3n－2(n－1)
满足an＋1＝pan＋qn＋m(p≠1)的数列{an}的通项公式的求法：设an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)，通过待定系数法确定A，B的值，转化成以a1＋A＋B为首项，p为公比的等比数列{an＋An＋B}，再利用等比数列的通项公式求出{an＋An＋B}的通项，整理可得an．
变式2－3　(2024·泰安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是______________________．
视角4　an＋1＝pan＋qan－1型　　　　　已知数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝2an＋1＋3an，求数列{an}的通项公式．
满足an＋1＝pan＋qan－1(p≠0)的数列{an}的通项公式的求法：可以将递推式化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
变式2－4　已知数列{an}满足a1＝a，a2＝b,3an＋2－5an＋1＋2an＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
1．已知数列{an}满足a1＝t，an＋1－2an＝－n＋1，若{an}是递减数列，则实数t的取值范围为(　　)A．(－1,1) 　　　B．(－∞，0) 　　　C．(－1,1] 　　　D．(1，＋∞)
4．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋5×2n＋4，a1＝1，则数列{an}的通项公式为___________________________．
an＝13×3n－1－5×2n－2
A组　夯基精练一、单项选择题
2．(2024·龙岩期末)已知数列{an}满足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n项和为Sn．若S13＝am，则正整数m＝(　　)A．99B．103C．107D．198
　　　　由an＋1＋an＝2n＋3得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)，所以{an－n－1}是公比为－1的等比数列，所以an－n－1＝(－1)n－1(a1－2)，所以an＝(－1)n－1(a1－2)＋n＋1，am＝(－1)m－1(a1－2)＋m＋1，所以S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13)＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102．①当m为奇数时，a1－2＋m＋1＝a1＋102，解得m＝103；②当m为偶数时，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，则m＝2a1＋99．因为a1∈Z，所以m＝2a1＋99只能为奇数，则m不可能是负偶数．综上所述，m＝103．
二、多项选择题5．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有(　 　)A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a3＝7B．若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a4＝53
6．(2024·九江二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋2＝an＋1＋2an，若a1＝a2≠0，则(　　　)A．{an＋1－2an}是等比数列B．{an＋2－an}是等比数列C．{Sn＋1－2Sn}是等差数列D．{a2n＋1－S2n}是等差数列
　　　　对于A，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋2－2an＋1＝an＋1＋2an－2an＋1＝－(an＋1－2an)，且a2－2a1＝－a1，所以{an＋1－2an}是以－a1为首项，－1为公比的等比数列，所以A正确；
对于B，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1＝2(an＋2－an)，且a3－a1＝a2＋a1＝2a1，所以数列{an＋2－an}是首项为2a1，公比为2的等比数列，所以B正确；对于C，由an＋2＝an＋1＋2an，可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，即n≥2时，Sn＋2－2Sn＋1＝Sn－2Sn－1，又S2－2S1＝0，S3－2S2＝a1，所以{Sn＋1－2Sn}的奇数项均为0，偶数项均为a1，又S3－2S2≠(S2－2S1)＋(S4－2S3)，所以{Sn＋1－2Sn}不是等差数列，所以C错误；对于D，由an＋2＝an＋1＋2an，可得an＋2－an＝an＋1＋an，即a1＋a2＝a3－a1，a3＋a4＝a5－a3，a5＋a6＝a7－a5，…，a2n－1＋a2n＝a2n＋1－a2n－1，累加得S2n＝a2n＋1－a1，即a2n＋1－S2n＝a1为常数，则{a2n＋1－S2n}是等差数列，所以D正确．
三、填空题7．已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．
9．已知数列{an}满足an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，若p＝1，a1＝4，则a4＝______；若p＝2，a1＝5，则an＝_____________．
　　　　因为an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，当p＝1，a1＝4时，an＋1＝an＋2×3n＋1，所以a2＝a1＋2×3＋1＝11，a3＝a2＋2×32＋1＝30，a4＝a3＋2×33＋1＝85．当p＝2，a1＝5时，an＋1＝2an＋2×3n＋1，则an＋1－(2×3n＋1－1)＝2[an－(2×3n－1)]，又a1－(2×3－1)＝0，所以an－(2×3n－1)＝0，即an＝2×3n－1．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n＋1．(1) 求数列{an}的通项公式；
11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n＋1．(2) 若对一切正整数n，不等式2n2－n－3≤λan恒成立，求λ的最小值．