2025高考数学一轮复习第6章数列04第28讲常见的递推关系求通项（课件+解析试卷）

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4．(人A选必二P41T8改编)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是an＝_________．
　　　　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1．
由Sn与an关系求an
已知Sn与an的关系求an的步骤第1步：当n＝1时，代入Sn求出a1；第2步：当n≥2时，由Sn写出Sn－1；第3步：an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
由an与an＋1关系求an
　　　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a1＋a2＋…＋a9＝_______．
　　　(2)设数列{an}满足a1＝1，且an＝3an－1＋4(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
　　　(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn＋1＝2Sn＋n，则an＝__________, Sn＝_____________．
递推关系的本质是项与项的关系或规律，在求通项问题时，一般根据递推模型下的求通项算法，通过换元等方法转化为先求等差或等比数列问题，最终达到求通项的目的，即“求通项，找递推”．
2．已知在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_________________．
an＝(2n－1)·3n　
3．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n－1，则a10＝________．
由an－1，an，an＋1关系求an
　　　(2023·南通三模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an．(1)求证：{an＋1－2an}是等比数列；
　　　(2023·南通三模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an．(2)求证：存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立．
数列中连续三项的递推关系下，常构造成以连续两项为整体的等比数列，或探究其周期性进而转化为熟悉的数列问题．
变式　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若对任意正整数n，Sn＋1＝－3an＋1＋an＋3，则{an}的通项公式为_____________．
1．在数列{an}中，a1＝－50，an＋1＝an＋n，则a46＝(　　)A．985B．1 035C．2 020D．2 070
3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________．
　　　　由题意得Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，而S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，故an＝2n－1．
5．已知各项均不相等的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，对任意的n∈N*且n≥2，有3an＝an＋1＋2an－1，则an＝_______．
　　　　由Sn＋2＝2an①，可得S1＋2＝2a1，即a1＋2＝2a1，解得a1＝2，n≥2时，则有Sn－1＋2＝2an－1②，①－②可得(Sn－Sn－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，变形可得an＝2an－1．
3．已知数列{an}的前n项和组成的数列{Sn}满足S1＝1，S2＝5，Sn＋2－3Sn＋1＋2Sn＝0，则数列{an}的通项公式为(　　)
　　　　因为S1＝1，S2＝5，所以a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝5－1＝4．因为Sn＋2－3Sn＋1＋2Sn＝0，所以Sn＋2－Sn＋1＝2(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝2an＋1．
4．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1＞an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　)A．2nB．n2C．n＋2D．3n－2
　　　　因为an＋1＝4an－3an－1，所以an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，所以数列{an＋1－an}是公比为3的等比数列，数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故A正确，B正确；
9．已知数列{an}满足2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n(n∈N*)，则{an}的通项公式为___________．
10．已知数列{an}满足an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，若p＝1，a1＝4，则a4＝______；若p＝2，a1＝5，则an＝___________．
　　　　因为an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，当p＝1，a1＝4时，an＋1＝an＋2×3n＋1，所以a2＝a1＋2×3＋1＝11，a3＝a2＋2×32＋1＝30，a4＝a3＋2×33＋1＝85．当p＝2，a1＝5时，an＋1＝2an＋2×3n＋1，则an＋1－(2×3n＋1－1)＝2[an－(2×3n－1)]．又a1－(2×3－1)＝0，所以an－(2×3n－1)＝0，即an＝2×3n－1．
11．(2023·武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，Sn＝n(an＋n－1)．(1) 求证：{an}是等差数列；
　　　　因为Sn＝n(an＋n－1)①，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)(an－1＋n－2)②，由①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2n－2，即(1－n)an－(1－n)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}是公差为－2的等差数列．
11．(2023·武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，Sn＝n(an＋n－1)．(2) 若当且仅当n＝7时，Sn取得最大值，求a1的取值范围．
(1) 若p＝1，求数列{an}的通项公式；
(2) 记bn＝nan，若在数列{bn}中，bn≤b4(n∈N*)，求实数p的取值范围．
当n＜4时，p≥2n，即p≥(2n)max＝2×3＝6；当n＞4时，p≤2n，即p≤(2n)min＝2×5＝10．所以实数p的取值范围为[6,10]．
14．(2023·深圳二模)已知数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝9×22n－1，n∈N*．(1) 求数列{an}的通项公式；
综上，数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1．
14．(2023·深圳二模)已知数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝9×22n－1，n∈N*．(2) 求证：数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
　　　　假设数列{an}中存在三项am，ak，ap(m＜k＜p)能构成等差数列，则2ak＝am＋ap．由(1)得2×3×2k－1＝3×2m－1＋3×2p－1，即2k＝2m－1＋2p－1，两边同时除以2m－1，得2k－m＋1＝1＋2p－m(*)．因为(*)式左边为偶数，右边为奇数，所以(*)式不成立，即假设不成立，所以数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．