专题25 最值问题（4难点压轴题型，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份专题25 最值问题（4难点压轴题型，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测，文件包含专题23全等与相似几何模型7压轴题型难点题型清单原卷版docx、专题23全等与相似几何模型7压轴题型难点题型清单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共151页， 欢迎下载使用。

题型一：一条动直线的最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1-1】（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ）
A．6B．6C．3D．4
【典例1-2】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________．
【典例1-3】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________．
【典例1-4】（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______．
【典例1-5】（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，．
（1）面积的最大值为_______；
（2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______．
【典例1-6】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______．
3．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，，，，则线段长度最大值为_____
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________．
5．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点是线段上一点，，以为边在一侧作等边，以为边在另一侧作等边，点为中点，则的最小值为________．
6．（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形中，是直线上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点．
（1）当点为中点时，__________；
（2）线段的最小值是__________．
7．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值．
8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1)求，的值．
(2)当点在线段上时，求的最大值．
(3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个．
9．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
(1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
(2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
10．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；
(4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．
12．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）
如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
同理，在中，_____，
在中，_____，
∴___________，
即，
∴；
【结论应用】
（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．）
【深度探究】
（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为．
求证：．
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________．
13．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
14．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
15．（2025·山东·中考真题）【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，．
（1）求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长；
（3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
16．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
题型二：不含系数两条动直线的最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2-1】（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4B．C．6D．
【典例2-2】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____．
【典例2-3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹）______．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为______．
【典例2-4】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
【典例2-5】（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ；
【深入探究】
小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______．
3．（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为______．
4．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______．
5．（2026·广西柳州·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到）
（参考数据：）
6．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
7．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
8．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
9．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】
（）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________；
（）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：；
【问题解决】
（）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计）
10．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，，交于点．
(1)如图1，延长至点，使得，连接、．若，且，求的长度；
(2)如图2，过点作的角平分线交于点，过作交于点，点是上一点，点是上一点，满足，请你猜想、和之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作交于点，点在线段上，点在线段上，且满足．连接、．若，，当取得最小值时，请直接写出的值．
11．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
12．（2025·陕西·中考真题）问题探究
（1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____；
（2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值；
问题解决
（3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点．
按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计）
题型三：含系数两条最直线的最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3-1】（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______．
【典例3-2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．

(1)求证：；
(2)求的最小值．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值：
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程．
4．（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？
尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明．
拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．


题型四：三条动直线的最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4-1】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______．
【典例4-2】（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________．
【典例4-3】（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．
(1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；
(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；
(3)当时，求的最小值．
【典例4-4】（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线．
①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．
(1)求抛物线（）的表达式；
(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践
如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______；
(3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积；
(4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______．
4．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
5.（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
6.（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
(1)分别求抛物线和的表达式；
(2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
(3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型一：一条动直线的最值问题 题型二：不含系数两条动直线的最值问题
题型三：含系数两条动直线的最值问题 题型四：三条动直线的最值问题