专题14 【中考压轴题专项训练】二次函数含参问题（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

这是一份专题14 【中考压轴题专项训练】二次函数含参问题（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练，共7页。试卷主要包含了两线相交问题，最值问题等内容，欢迎下载使用。
近年来中考数学的命题越来越注重与高中数学的衔接。因此含参数的二次函数问题的中考试题也越来越多，含参数的二次函数问题形式多样，函数解析式、点的坐标、取值问题、二次方程及其根都可以含参。题目常常不会直接给出图像，有时也会结合图形变换，这类题对于数形结合和分类讨论等数学思想有较高的考查要求。
类型一 两线相交问题
（1）抛物线与x轴相交
1．（2023秋•江汉区期末）若函数y＝ax2﹣2x﹣2的图象在﹣1＜x＜1的范围内与x轴恰好有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜4B．0＜a≤4
C．0≤a≤4或a＝﹣0.5D．0＜a≤4或a＝﹣0.5
【分析】根据y＝ax2﹣2x﹣2的图象在﹣1＜x＜1的范围内与x轴恰好有一个公共点，分四种情况讨论即可得出结论．
【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣2x﹣2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴y＝ax2﹣2x﹣2的图象在﹣1＜x＜1的范围内与x轴没有公共点；
②当a＞0时，根据题意得：a+2−2＞0a−2−2＜0或a+2−2＜0a−2−2＞0，
解得0＜a＜4或无解，
∴0＜a＜4，
③当a＜0时，根据题意得a+2−2＞0a−2−2≤0或a+2−2＜0a−2−2＞0a+2−2＜0a−2−2≥0，
解得0＜a≤4或无解，
此不等式组无解；
④∵y＝ax2﹣2x﹣2的图象在﹣1＜x＜1的范围内与x轴恰好有一个公共点，
∴Δ＝（﹣2）2+8a＝0，
解得a＝﹣0.5，
此时y＝﹣0.5x2﹣2x﹣2，
令y＝0，则﹣0.5x2﹣2x﹣2＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，不符合题意，
⑤当a＝4时，y＝4x2﹣2x﹣2，
令y＝0，则4x2﹣2x﹣2＝0，
解得x＝1或x=−12，
∴y＝ax2﹣2x﹣2的图象在﹣1＜x＜1的范围内与x轴恰好有一个公共点，
综上所述，a的取值范围是0＜a≤4，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握分类讨论思想和抛物线与一元二次方程的关系．
2．（2025秋•西城区校级月考）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≤1 ．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得k≤1，
又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
故答案为：k≤1且k≠0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：正确记忆对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键．
4．（2024•荔城区校级一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（﹣1，﹣2），N（3，2），且抛物线y＝ax2﹣3x+1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 109≤a＜2 ．
【分析】用待定系数法求出MN的解析式，根据二次函数的性质得出x＝3时，y≥2，且−−32a≤3，进一步利用Δ＞0求解即可．
【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则−k+b=−23k+b=2，
∴k=1b=−1，
∴MN的解析式为y＝x﹣1，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，
∴a＞0，
∵抛物线y＝ax2﹣3x+1与线段MN有两个不相同的交点，
∴x＝3时，y≥2，且抛物线与直线MN有交点，
∴a≥109，
令x﹣1＝ax2﹣3x+1，整理得：ax2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝16﹣8a＞0，
∴a＜2，
∴109≤a＜2，
故答案为：109≤a＜2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
5．（2024春•姑苏区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有6个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是 −14≤a＜−19 ．
【分析】根据y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出顶点坐标和A、B的坐标，再根据题意结合图象列出关于a的不等式组，求解即可得出答案．
【解答】解：∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴顶点坐标为（﹣2，1），
令y＝0，得x＝﹣2±−aa，
设A（﹣2+−aa，0），B（﹣2−−aa，0），
∵此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有6个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣5＜﹣2+−aa≤−4，0≤﹣2−−aa＜1，
解得：−14≤a＜−19，
又∵a＜0，
∴−14≤a＜−19，
故答案为：−14≤a＜−19，
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a的不等式组．
6．（2025秋•蜀山区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3（m是常数）．
（1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值．
【分析】（1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据两点距离公式列方程求解m的值．
【解答】（1）证明：令x2﹣（m﹣2）x+（m﹣3）＝0，
则Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（m﹣3）＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+4﹣4m+12＝（m﹣4）2
＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有交点；
（2）解：由y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3，
令x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝m﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（m﹣3，0），
∴两个交点之间的距离为|1﹣（m﹣3）|＝|4﹣m|，
则|4﹣m|＝4，
∴4﹣m＝4或4﹣m＝﹣4，
解得：m＝0或m＝8．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式是解题的关键．
7．（2025•建邺区校级四模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）＝4m2﹣4m2﹣12＝﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：∵y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3，
把函数y＝（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x﹣m）2 的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．题目比较好．有一定的难度．
抛物线与直线y＝kx＋b相交
8．（2024秋•瑶海区校级期中）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图象的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）由x=−b2a求得对称轴；
（2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值；
（3）将函数的交点转化为对应的一元二次方程的两根均小于或等于4求解．
【解答】解：（1）对称轴为直线x=−b2a=−−42=2．
（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，
∵最小值是7，
∴3a﹣2＝7，
解得：a＝3．
（3）∵该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
化简得：x2﹣6x+3a+3＝0，
Δ＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得：a＜2，
∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0，
∴a≥53，
∴53≤a＜2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数图象的交点与一元二次方程的关系，解题的关键是理解函数图象的交点与对应得到的方程间的关系．
9．（2024秋•荔湾区期末）已知抛物线G：y＝ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，﹣3a+c）．直线l：y＝kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1＝S2+4．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求直线l：y＝kx+n的解析式；
（3）当x1＜x2，c＝3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）将C点坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）将D点坐标代入直线解析式，求k和n的关系，将y＝2代入直线解析式，求解E点坐标，根据D到直线AB的距离，可以求出AE和BE的数量关系，代入计算取出k值即可；
（3）根据c＝3a，求出C点坐标和抛物线解析式，根据F在直线l上，求出F的坐标，在根据抛物线G与线段DF有且只有一个交点判断F与抛物线的位置关系，代入求解a的取值范围即可．
【解答】解：（1）令x＝1，则y＝a+b+c＝﹣3a+c，
∴b＝﹣4a；
（2）∵直线l：y＝kx+n过点D（2，0），
∴0＝2k+n，
∴n＝﹣2k，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2，A，B的纵坐标相等，
∴x1+x2＝4，
对于直线l：y＝kx﹣2k，令y＝2，则x=2k+2k，
∴E（2k+2k，2），
∵D（2，0），AB所在直线为：y＝2，
∴D到AB的距离为2，
∴S1﹣S2＝|12×2×AE−12×2×BE|＝|AE﹣BE|＝4，
∴|2k+2k−x1﹣（x2−2k+2k）|＝4，
解得：k＝±1，
∴直线l的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；
（3）∵c＝3a，
∴C（1，0），y＝ax2﹣4ax+3a，
∵F在直线l上，
∴F（5，3），
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
∴当抛物线G与线段DF有且只有一个交点时，F在抛物线下方，
∴25a﹣20a+3a≥3，
∴a≥38．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征等，根据三角形面积公式得出AE和BE的数量关系是本题解题的关键．
10．（2025•定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥12．
【分析】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+12）2+12，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥12．
【解答】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2，
∵当x＝1时，y＝1，
∴1＝2+b+2，
∴b＝﹣3，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a+12）2+12，
∴a2+b2≥12．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质．
类型二 最值问题
名师点金：含参二次函数最值问题一定要根据自变量取值范围确定。
11．（2025秋•沈河区期末）已知二次函数y=12x2−x(−1≤x≤t−1)，当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2B．0＜t≤4C．2≤t≤4D．t≥2
【分析】根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为x＝1，那么当x＝1时，函数取得最小值，结合x＝﹣1时取得最大值，可判断t的取值范围．
【解答】解：∵y=12x2−x=12(x−1)2−12，
∴对称轴为x＝1，开口向上，顶点(1，−12)为最小值点，
当x＝﹣1时，y=32，
∵当x＝1时取得最小值，
∴﹣1≤1≤t﹣1，
∴t≥2，
∵当x＝﹣1时取得最大值，
∴32≥12(t−1)2−(t−1)，
令u＝t﹣1，则32≥12u2−u，
解得﹣1≤u≤3，
即﹣1≤t﹣1≤3，
∴0≤t≤4，
∵t≥2，
∴2≤t≤4．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•南昌县校级模拟）已知二次函数y＝x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点，且图象过（1，m）和（2t，m）两点，设s＝t+3m，则（ ）
A．s的最小值为512B．s的最小值为712
C．s的最大值为512D．s的最大值为712
【分析】由题意可得要想求s＝t+3m的最值，就要找到t与m的关系，由二次函数的图象与x轴只有一个交点可得b=a24，由抛物线的对称性可得1+2t2=−a2，进而可用含t的代数式表示a、b，再代入（1，m），即可找到t与m的关系，最后利用二次函数的性质可求出s的最值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝a2﹣4b＝0，即b=a24，
由题意可得：
∴1+2t2=−a2，
∴a＝﹣2t﹣1，b=(−2t−1)24=(2t+1)24，
∴y=x2+(−2t−1)x+(2t+1)24，
代入（1，m）得：m=12+(−2t−1)+(2t+1)24=t2−t+14，
∴s=t+3m=t+3(t2−t+14)=3t2−2t+34=3(t−13)2+512≥512，
∴当t=13时，s有最小值512．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与x轴交点，二次函数的最值，正确进行计算是解题关键．
13．（2025秋•萧县校级月考）已知一次函数y＝3x+6﹣2m．
（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是m＜3 ．
（2）当﹣2≤x≤3时，函数y有最大值﹣4，则m的值为 192 ．
【分析】（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论；
（2）根据题意得方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）由条件可知6﹣2m＞0，
解得：m＜3；
故答案为：m＜3；
（2）在一次函数y＝3x+6﹣2m中，
∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当﹣2≤x≤3时，函数y有最大值﹣4，
∴当x＝3时，y＝﹣4，
代入y＝3x+6﹣2m得：﹣4＝9+6﹣2m，
解得：m=192．
故答案为：192．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数，解题关键是熟练掌握如何根据一次函数增减性求参数．
类型三 有自变量的范围及函数值的大小关系求参数的范围
14．（2025•西湖区校级开学）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＜0），且当﹣1≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 −18 ．
【分析】由a＜0可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式y＝a（x﹣3）2﹣4a，得出顶点坐标为（3，﹣4a），对称轴为x＝3，再根据二次函数的性质得出当x＝﹣1时，函数有最小值12a，结合题意列出方程，即可求出a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）中，a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y＝a（x﹣1）（x﹣5）
＝ax2﹣6ax+5a
＝a（x﹣3）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4a），对称轴为直线x＝3，
∴函数最大值为﹣4a，
∵|﹣1﹣3|＝4，|4﹣3|＝1，且4＞1，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为16a﹣4a＝12a，
由题意得，﹣4a﹣12a＝2，
解得：a=−18．
故答案为：−18．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2026•高新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，求a的值；
（3）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）依据题意，将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）抛物线顶点在直线y＝﹣x上，则有﹣a3＝﹣a，解方程即可；
（3）求得抛物线的对称轴，然后分类讨论，列出关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，则y＝x2﹣2x，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵y＝ax2﹣2a2x＝a（x﹣a）2﹣a3，
∴顶点坐标为（a，﹣a3），
∵若抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，
∴﹣a3＝﹣a，
∵a≠0，
∴a＝1或a＝﹣1；
（3）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x＝a（x﹣a）2﹣a3，
∴抛物线的对称轴是直线x＝a，
∵M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，x1＝3a，3≤x2≤4，
∴y1＝a（3a）2﹣2a2•3a＝3a3，
①当a＞0时，
∵对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，
∴x＝3时，y2有最小值y＝9a﹣6a2，
9a﹣6a2＞3a3，
∵a≠0，
∴a2+2a﹣3＜0，即（a+3）（a﹣1）＜0，
解得﹣3＜a＜1，
∴0＜a＜1；
②当a＜0时，
∵对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，
∴x＝4时，y2有最小值y＝16a﹣8a2，
16a﹣8a2＞3a3，
∵a≠0，
∴3a2+8a﹣16＞0，即（3a﹣4）（a+4）＞0，
解得a＜﹣4或a＞43，
∴a＜﹣4，
综上，0＜a＜1或a＜﹣4．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若对于x1＝3，x2＝4，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于2＜x1＜3，3＜x2＜4，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据二次函数的性质求得对称轴即可得解；
（2）依据题意，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
【解答】解：（1）由题意，∵对于x1＝3，x2＝4，有y1＝y2，
∴9a+3b+c＝16a+4b+c，
∴7a+b＝0，
∴ba=−7．
∵对称轴为直线x=−b2a=72，
∴t=72．
（2）∵2＜x1＜3，3＜x2＜4，
∴52＜x1+x22＜72，x1＜x2，
又y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴x1+x22＞t，
∴t≤52．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题时要能熟练掌握并理解二次函数的对称性是关键．
17．（2024秋•丰台区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当m＝n时，直接写出抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）若m＜n＜4，求t的取值范围．
【分析】（1）当x＝0时，求得y＝4，即可求得抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），二次函数的对称性即可求得t；
（2）再根据m＜n＜4，可确定出对称轴的取值范围．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝4，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），
∵点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，m＝n，
∴点（1，m），（3，n）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=1+32=2；
∴t＝2；
（2）∵m＜n＜4，
∴a+b+4＜9a+3b+4＜4，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴3a2a＜−b2a＜4a2a
即32＜t＜2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．
18．（2025•平谷区二模）已知抛物线y＝﹣x2+2tx，若点P（﹣1，y1），Q(t2，y2)，M（m，y3）在抛物线上．
（1）该抛物线的对称轴为 直线x＝t （用含t的式子表示）；
（2）若当m＝2时，y3＝0，则t的值为 1 ；
（3）若对于2≤m≤3时，都有y1＜y3＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）根据抛物线的对称性求得对称轴为直线x＝t＝1；
（3）根据题意点P（﹣1，y1），Q(t2，y2)在对称轴的左侧，M（m，y3）在对称轴的右侧或都在对称轴的左侧，求得点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（2t+1，y1），Q(t2，y2)于对称轴的对称点为（3t2，y2），由y1＜y3＜y2，即可得出3t2＜m＜2t+1或t2＞m，从而得出3t2＜22t+1＞3或t2＞3，解得1＜t＜43或t＞6．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2tx，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2t2×(−1)=t；
故答案为：直线x＝t；
（2）当m＝2时，y3＝0，则M（2，0），
∵抛物线y＝﹣x2+2tx经过原点，
∴对称轴为直线x＝t=0+22=1，
∴t＝1．
故答案为：1；
（3）点P（﹣1，y1），Q(t2，y2)，M（m，y3）在抛物线上，对称轴为直线x＝t，
∴点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（2t+1，y1），Q(t2，y2)于对称轴的对称点为（3t2，y2），
∵抛物线开口向下，对于2≤m≤3时，都有y1＜y3＜y2，
∴点P（﹣1，y1），Q(t2，y2)在对称轴的左侧，M（m，y3）在对称轴的右侧或都在对称轴的左侧，
∴3t2＜m＜2t+1或t2＞m，
∴3t2＜22t+1＞3或t2＞3，
∴1＜t＜43或t＞6．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
19．（2024秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，则t＝ 2 ；
（2）若t＞2，比较m，n的大小，并说明理由；
（3）已知点P（x0，p）也在该抛物线上，若﹣1＜x0＜0，都有m＜p＜n，求t的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称性即可得解；
（2）比较大小，主要看离对称轴的远近或者利用增减性比较，当2＜t≤3时，点M和点N一个轴左一个轴右，找其中一点对称点作比较即可，当t＞3时，点M和点N都在对称轴左侧，直接利用增减性即可得解；
（3）利用作差法，由对称轴可得b＝﹣2at，从而得出y＝ax2﹣2atx+c，所以m＝a﹣2at+c，n＝9a﹣6at+c，p=ax02−2atx0+c，然后利用作差法建立不等式求解即可．
【解答】解：（1）当m＝n时，点M和点N关于对称轴对称，
∴t﹣1＝3﹣t，
解得t＝2，
故答案为：2；
（2）①当2＜t≤3时，
∵N（3，n），
∴点N关于对称轴对称的点N'为（2t﹣3，n），
此时M和N'均在对称轴左侧，
∵2＜t≤3，
∴1＜2t﹣3≤3，
∵a＞0，
∴当x＜t时，y随x增大而减小，
∴m＞n；
②当t＞3时，点M和点N都在对称轴左侧，
∵a＞0，
∴当x＜t时，y随x增大而减小，
∵1＜3，
∴m＞n；
综上，m＞n；
（3）∵−b2a=t，
∴b＝﹣2at，
∴y＝ax2﹣2atx+c，
∴m＝a﹣2at+c，n＝9a﹣6at+c，p=ax02−2atx0+c，
∵m＜p＜n，
∴p−n＜0p−m＞0，
∵p﹣n＝a（x02−9）﹣2at（x0﹣3）＝a（x0﹣3）（x0+3﹣2t）＜0，
p﹣m＝a（x02−1）﹣2at（x0﹣1）＝a（x0﹣1）（x0+1﹣2t）＞0，
∵﹣1＜x0＜0，
∴x0﹣3＜0，x0﹣1＜0，
∵a＞0，
∴x0+3−2t＞0x0+1−2t＜0，
∴x0+1＜2t＜x0+3，
∵﹣1＜x0＜0，
∴0＜x0+1＜1，2＜x0+3＜3，
∴1≤2t≤2，
解得12≤t≤1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、解一元一次不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（2026•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）若点A（1，﹣1）在抛物线上，
①求a的值；
②过点P（0，t）且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值；
（2）点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点M（x1，m），N（x2，n）（点M，N不重合），使得m＝n，求a的取值范围．
【分析】（1）①把点A（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax（a≠0）计算即可；
②分t＞0、t＝0、t＜0三种情况讨论求解即可；
（2）求得对称轴为直线x＝1，再分当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）①∵点A（1，﹣1）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上，将点A的坐标代入得：
﹣1＝a﹣2a，
解得：a＝1；
②由①可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x，
分三种情况讨论：
当t＞0时，如图1，点E不在线段PF上，故不成立；
当t＝0时，点E与点P重合，也不成立；
当t＜0时，如图2，
∵点E为线段PF的中点，且P（0，t），
∴设E（x0，t），则F（2x0，t），
∴x02−2x0=(2x0)2−2×2x0，
解得：x0=23或x0＝0（不合题意，舍去），
∴t=(23)2−2×23=−89；
（2）∵y＝ax2﹣2ax（a≠0），
∴对称轴为直线x＝1，
（ⅰ）当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
此时，1﹣2a＜1，
∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴左侧，
∵﹣1＜1，
∴点C（﹣1，y2）在对称轴左侧，如图3，
∵y1＞y2，
∴1﹣2a＜﹣1，
∴a＞1；
∵在对称轴同侧的两点之间的部分不可能存在纵坐标相等的情况，
∴抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上不存在两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n；
（ⅱ）当a＜0时，抛物线开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；
此时，1﹣2a＞1，
∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴右侧，
∵﹣1＜1，
∴点C（﹣1，y2）在对称轴左侧，
如图4，
点C关于对称轴的对称点C′（3，y2）在对称轴右侧（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等），
∵y1＞y2，点C′和点B在对称轴同侧，
∴1﹣2a＜3，
∴a＞﹣1，
此时，抛物线在点B、C之间的部分（含点B、C）上存在两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n（当点B、C分别位于对称轴异侧时，在抛物线上点B、C之间的部分关于对称轴对称的对应点均满足m＝n），
综上所述，a的取值范围为﹣1＜a＜0．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键．