专题13 【中考综合题专项训练】圆与锐角三角函数的综合（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

这是一份专题13 【中考综合题专项训练】圆与锐角三角函数的综合（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练，共7页。试卷主要包含了如图，在Rt△ABC中等内容，欢迎下载使用。
1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线．

图1 图2
2．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比．
第二部分 方法技巧+典例剖析
【模块一】 求与圆有关的角的三角函数值
方法技巧
1．将所求角转化到直角三角形中；2．利用相似比进行转化。
题型一 遇斜三角形作垂线构直角
【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）若C是TB上一点，BCCT=12，连接OC，AC，求tan∠ACO的值．
【例2】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC．
（1）如图1，求证：∠C＝90°−12∠APB；
（2）如图2，连接PC，若PB＝6，PC＝10，求sin∠PCB的值．
题型二 遇切线，连圆心切点构直角
【例3】如图，BE、BC、CG分别与⊙O相切于E、F、G三点，且BE∥CG．延长BO交CG的延长线于点D，连接FG、OC，若FGBD=45，求sin∠CFG的值．
题型三 遇直径，利用直径构直角
【例4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC的中点，DE的延长线交CA的延长线于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=13，PC＝8，求⊙O的直径；
（3）若PEPD=23，求cs∠BAC值．
题型四 遇弧的中点，利用垂径构直角
【例5】如图，在⊙O中，弦AB为4cm，弦AC为8cm，BC为⊙O的直径，D为BC的中点．连接AD和CD，AD与BC相交于点F．
（1）求证：△ABF∽△ADC；
（2）求tan∠AFB的值．
【模块二】已知三角函数值求其他值
方法技巧
利用已知三角函数值得线段比值，设参数，求其他值.
题型一 已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值
【例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交圆O于D点，过D作DF∥BC，交AB的延长线于F．
（1）求证：DF为圆O的切线；
（2）若AB为⊙O的直径，tan∠F=34，求sin∠CAD的值．
题型二 已知三角函数值，求线段长
【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝12，cs∠BAC=45，求AB和CD的长．
【例3】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，csB=45，求cs∠BAD的值．
题型三 已知三角函数值，求线段比
【例4】如图，AB是半圆的直径，点C是AB上一点，cs∠CAB=45，点D是AC的中点，连结DB、CA交于点E，则DEBE的值为 ．
题型四 已知三角函数，求三角形面积或周长
【例5】如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝8，tan∠ABC=43，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【例6】（2025•南岸区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，以AC为直径的⊙O与AB相交于点D，过点D作⊙O的切线，交CB于点M，连接OM．若四边形AOMD为平行四边形，则AD的长为 ；若P为BC上一点，连接AP，tan∠BAP=13，BC＝6，则△ABP的面积为 ．
第三部分 专题提优训练
1．如图，AB为⊙O直径，点C在圆上，I为△ABC内心，AI交⊙O于点D，OI⊥AD，则sin∠CAD的值是（ ）
A．12B．55C．255D．54
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，sin∠BOC=2425，点D是⊙O上一动点，以AO，AD为边作▱AOED，连接CE，若AB＝10，则CE的最大值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D．若CD＝6，PA＝4，则cs∠ADB的值为（ ）
A．43B．45C．34D．35
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作BE⊥CD，DF⊥BC，BE，DF交于点G，连结BD，若BG＝3，⊙O的半径为2，则tan∠CBD的值是（ ）
A．34B．23C．73D．74
5．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．32
6．如图，∠MON＝90°，OM＝ON＝6，以点O为圆心，OM为半径作弧MN，点A是OM中点，点P是弧MN上的动点，以AP为直角边作Rt△APQ，∠PAQ＝90°，且tan∠APQ=43，连接NQ，则NQ的最小值为 ．
7．如图，半圆O是一棱镜的横截面，AB为其直径，一束光线在半圆O上的点M处发生折射，且折射光线在AB上的点P处发生反射，反射光线又在半圆O上的点N处发生折射射出棱镜．已知∠AOM＝60°，MO⊥ON，图中箭头方向表示光的方向，虚线表示法线或入射平面（法线都经过点O），则tan∠OMP＝ ．
8．如图，在Rt△ABC中．∠A＝90°，sin∠ABC=12．⊙O是△ABC的内切圆．分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E．
（1）∠EPF＝ °．（2）若BC＝4，则AP＝ ．
9．圆O中，弦DE与直径AB平行，点C在OA上，当AD＝AC时，∠DCE＝90°，则cs∠DAB＝ ．
10．如图，BC是⊙O的直径，点A，E均在⊙O上，AE＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，连接CE交AD于点F，交AB于点G，延长CE与过点B的切线交于点H，若AD＝2，tan∠ABC=12，则BC＝ ，HG＝ ．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE为直径，CO⊥AE于O，记BC与AE的交点为F，BA的延长线与过点C的切线交于点D，若tan∠OAB=12，OE=2，则CD＝ ，BF＝ ．
12．如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为 ．
13．如图，▱ABCD的顶点A、D在⊙O上，BC与⊙O相切于点E，AB与⊙O相交于点F，连接DE、DF、AE、EF，若DF⊥AE，tan∠ADF=12，AF=25，则AE＝ ，BF＝ ．
14．如图，△ABC内接于⊙O，点D为BC的中点，连接AD、CD，CE平分∠ACB交AD于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
（3）若DE＝5，BF＝3，求AC的长．
15．如图，点O在△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AF=54，sinA=35时，求⊙O半径及BC的长．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接OC，点E是BC延长线上一点，CD是⊙O的切线，连接ED并延长交AB于点F，且CD＝DE．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若tanB=3，BE＝6，BF＝3AF，求AC的长．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BD交AF于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（2）的条件下，若EF＝4，DE＝6，求tan∠EBF的值．
18．如图1，在四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为点E，交BC于点F．
（1）求证：FA＝FB；
（2）如图2，分别延长AD，BC交于点G，点H为FG的中点，连接DH，若tan∠ACB=2，求证：DH为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若DA＝32，求AE的长．
19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．
（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，PECE=m，试用含m的式子表示cs∠BDF．