专题12 构造辅助圆解决隐圆问题的几种模型（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

这是一份专题12 构造辅助圆解决隐圆问题的几种模型（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练，共7页。
【典例1】阅读理解：
（1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为
（2）【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ．
（3）【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．

【典例2】[阅读理解]（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角．∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °．
[学以致用]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝20°，则∠BAC＝ ；
[问题迁移]（3）如图3，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝m，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，求m的取值范围．
[迁移提升]（4）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝4，求AD的长．

第二部分 经典习题分类训练
类型一 “定点+定长”模型
（一）一中同长
1．如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（ ）
A．10B．2C．13D．4
2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（ ）
A．14B．15C．18D．12
3．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 ．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC＝CD＝AC＝23，AB=6，则BD的长为 ．
（二）折叠产生“定点定长”
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B'D的最小值是（ ）
A．210−2B．6C．4D．213−2
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（ ）
A．132B．3C．13−1D．10−1
7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，F是BC边上任意一点，连接EF．把∠B沿着EF折叠，使点B落在B'处，当△CFB'为直角三角形时，CF的长为 ．
8．如图，点A是y轴正半轴上一点，点B是x轴负半轴上一点，AB＝3，点C（在B的右边）在x轴上，且BC＝5，点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）
类型二 “定角+定弦”模型
（一）直角对定边
9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止．过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．22cmB．（10−2）cm
C．2cmD．（22−2）cm
10．如图，已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线l：y=−12x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是 ．

12．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．
A．6B．7C．8D．9
13．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值．
（二）定角（非直角）对定边
14．如图，已知等边△ABC的边长为215，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值为（ ）
A．15B．210C．25D．5
15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 ．
16．已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为 ．
17．问题探究
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积．

类型三 四点共圆模型
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=33x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
19．如图，矩形ABCD中，点E是CD的中点，点P是AD上的任意一点（不与A，D重合）连接PE，以PE为斜边，构造等腰Rt△PFE，点F在矩形ABCD内部，连接AF，若AB＝8，BC＝12，则AF的取值范围为 ．
20．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．不变，等于12∠ABCD．不变，等于13∠BCD
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．