专题10 反比例函数图象双曲线与几何综合（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

这是一份专题10 反比例函数图象双曲线与几何综合（解析版+原卷版）-2026中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练，共7页。试卷主要包含了双曲线与三角形综合，双曲线与平行四边形综合，双曲线与矩形综合，双曲线与菱形综合，双曲线与正方形综合等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•丽江二模）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 12 ．
【答案】12．
【分析】过A点作AH⊥OB于H，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOH＝6，然后根据等边三角形的性质得到S△AOB＝2S△AOH．
【解答】解：过A点作AH⊥OB于H，如图，
∵点A在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上，
∴S△AOH=12×|12|＝6，
∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，
∴OH＝BH，
∴S△AOB＝2S△AOH＝2×6＝12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积12|k|，且保持不变．也考查了等边三角形的性质．
2．（2026•邯郸 开学）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上．若OB＝6，AC＝4，则k的值为 ﹣12 ．
【答案】﹣12．
【分析】根据等腰三角形的性质，求出A点坐标，即可求出k的值．
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC=12OB，
∵OB＝6，AC＝4，
∴A（﹣3，4），
∴k＝﹣3×4＝﹣12．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
3．（2025•嘉峪关三模）如图，已知双曲线y=kx（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点B的坐标为（4，6），则△AOC的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】作DH⊥OA于H．首先确定点D坐标，再根据S△AOC＝S△ODH=k2，即可解决问题；
【解答】解：作DH⊥OA于H．
∵B（4，6），OD＝DB，
∴D（2，3），
∴S△ODH=12×2×3＝3，
∵S△AOC＝S△ODH=k2，
∴S△AOC＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、直角三角形斜边中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2025•如皋市 自主招生）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1Ap＝1，过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=2x(x＞0)交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）
A．2nB．n−1nC．2n+1D．n+22n
【答案】B
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1Ap＝1可设P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（1，y2），P3点的坐标为（1，y3）…Pn点的坐标为（1，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1，y2，y3的值，再由三角形的面积公式可以得出S1，S2，S3…Sn﹣1的值，即可得出答案．
【解答】解：设P1（1，y1），P2（1，y2），P3（1，y3）…Pn（1，yn），
∵P1、P2、P3、…、Pn在反比例函数y=2x(x＞0)的图象上，
∴y1=2，y2=1，y3=23⋯yn=2n，
∴S1=12×1×(y1−y2)=12×1×1=12，
∴S1=12，
∵S1=12×1×(y1−y2)=12×1×1=12=1−12，
∴S2=12×1×(y2−y3)=12×1×(1−23)=12−13，
S3=12×1×(y3−y4)=12×1×(23−24)=13−14，
…，
Sn−1=1n−1−1n，
∴S1+S2+S3+⋯+Sn−1=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=n−1n，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（2025•武汉模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），⋯Pn（xn，yn）均在反比例函数y=9x(x＞0)的图象上，点Q1，Q2，Q3，⋯，Qn均在x轴的正半轴上，且△OP1Q1，△O1P2Q2，△O2P3Q3，⋯，△On﹣1PnQn均为等腰直角三角形，OQ1，Q1Q2，Q2Q3，⋯，Qn﹣1Qn分别为以上等腰直角三角形的底边，则y1+y2+y3+⋯+y2024的值为（ ）
A．6506B．4506C．2506D．2024
【答案】A
【分析】如图，过点Pn分别向x轴作垂线，交x轴于点Hn，由条件依次建立方程求解y1，y2，y3，再进一步求解总结规律即可．
【解答】解：如图，过点Pn分别向x轴作垂线，交x轴于点Hn，
∵点Pn在反比例函数的图象上，且△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，⋯，△Qn﹣1PnQn均为等腰直角三角形，
∴S△OP1H1=92，
∴OH1＝3，P1H1＝y1＝3，
∴OQ1＝6，
由条件可知y2（6+y2）＝9，
解得y2=−32−3（舍去）或32−3，
则y1+y2=3+32−3=32=2×9，
同理y3（2y1+2y2+y3）＝9，
解得y3=33−32或−33−32（舍去），
∴y1+y2+y3=32+33−32=33=3×9，
∴y1+y2+y3+⋯+yn=n×9，
∴y1+y2+y3+⋯+y2024=2024×9=6506．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2026•辽阳一模）如图，点A、B在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，连接AB并延长交x轴于点C，若B是AC的中点，△OAC的面积为3，则k的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，设A（a，ka），根据中点得到B、C、F坐标，通过点的坐标列出方程，解答即可．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴，BF⊥x轴，
设A（a，ka），
∵B是AC的中点，
∴B（2a，k2a），C（3a，0），
∵S△AOC=12×OC×AE=3，
12×3a×ka=3，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
7．（2024春•单元）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（x1，y1）是反比例函数y=1x（x＞0）的图象上的一点，B（x2，y2）是反比例函数y=−4x（x＜0）的图象上的一点，则△AOB的面积的最小值为 2 ．
【答案】2．
【分析】利用分割补形法求出△AOB面积的解析式结合基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A（x1，y1）是反比例函数y=1x（x＞0）的图象上的一点，B（x2，y2）是反比例函数y=−4x（x＜0）的图象x上的一点，
∴S△BOD＝2，S△AOC=12，y1=1x1，y2=−4x2，
∴S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△BOD﹣S△AOC
=12（y1+y2）（x1﹣x2）﹣2−12
=12（x1y1﹣x2y2+x1y2﹣x2y1）﹣2−12
=12+2+12（x1y2﹣x2y1）﹣2−12
=12（−4x1x2−x2x1）
≥12×2×(−4x1x2)×(−x2x1)
＝2，
即△AOB的面积的最小值为2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用分割补形法表示出△AOB面积是解题的关键．
8．（2025秋•让胡路区 月考）如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y=k2x(k2≠0)交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，点D的坐标为（0，﹣2），cs∠AOC=31010．
（1）求双曲线和直线AB的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式k1x+b≥k2x的解集为x≤﹣3或0＜x≤1 ；
（3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数表达式为y=−3x，直线AB的表达式为y＝﹣x﹣2；
（2）x≤﹣3或0＜x≤1；
（3）存在，点E的坐标为（﹣4，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）设A（﹣3，y），根据cs∠AOC=31010和勾股定理先求出点A坐标，再求出双曲线和直线AB的解析式；
（2）联立双曲线和直线AB的解析式，求出点B的坐标，再结合图象求解不等式解集即可；
（3）先求出OC＝OD，根据等边对等角得到∠OCD＝∠ODC，再由等角的补角相等得到∠ECD＝∠ODB，故以点E，C，D为顶点构成的三角形与△ODB相似有两种情况，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，设A（﹣3，y），
∵cs∠AOC=31010=xAOA，
∴OA=10，
∴yA=OA2−xA2=1，
∴A（﹣3，1），
将A（﹣3，1）代入y=k2x，
得k2＝﹣3，
∴双曲线为y=−3x，
将D（0，﹣2）和A（﹣3，1）代入到y＝k1x+b，
得−3k1+b=1b=−2，
解得k1=−1b=−2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）联立双曲线和直线AB的解析式，
得−3x=−x−2，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（1，﹣3），
由题意得，k1x+b≥k2x表示直线在双曲线的上方，
∴不等式k1x+b≥k2x的解集为x≤﹣3或0＜x≤1，
故答案为：x≤﹣3或0＜x≤1；
（3）将y＝0代入到y＝﹣x﹣2中，
得0＝﹣x﹣2
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ECD＝∠ODB，
∵B（1，﹣3），C（﹣2，0），D（0，﹣2），
∴CD=22+22=22，BD=12+(−3+2)2=2，
∴△ECD与△ODB相似有两种情况讨论如下：
①△ODB∽△ECD，如下图，
∴ODCE=BDCD，
即2CE=222，
∴CE＝4，
∴E（﹣6，0），
②△ODB∽△DCE，
∴ODCD=BDCE，
即222=2CE，
∴CE＝2，
∴E（﹣4，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣6，0）或（﹣4，0）．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2026•庐江县二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为：y＝x+1．反比例函数解析式为：y=2x；（2）32；（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）求出点C坐标得到线段OC长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，
∴m＝1×2＝n×（﹣1），
∴n＝﹣2，m＝2，
∴反比例函数解析式为：y=2x，
∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴k+b=2−2k+b=−1，解得k=1b=1，
∴一次函数解析式为：y＝x+1．
（2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴OC＝1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×1×2+12×1×1=32；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞mx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
类型二 双曲线与平行四边形综合
10．（2025•开化县自主招生）如图，在▱OABC中，点D为AB的中点，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过C和D．若▱OABC的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】连接CD并延长交x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥x轴于G，证明△DCB和△DEA全等得BC＝AE＝OA，CD＝ED，则OE＝OA+AE＝2OA，证明DF是△CEG的中位线得CG＝2DF，EF＝FG，根据EF＝OE﹣OF＝2OA﹣OF，FG＝OF﹣OG得2OA＝2OF﹣OG，设DF＝a，则CG＝2DF＝2a，进而得点D(ka，a)，点C(k2a，2a)，则OG=k2a，OF=k2a，由此得2OA＝2OF﹣OG=3k2a，则OA=3k4a，然后根据▱OABC的面积为6得OA•CG＝6，则3k4a×2a=6，由此即可得出k的值．
【解答】解：连接CD并延长交x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CG⊥x轴于G，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∴∠DCB＝∠DEA，∠B＝∠DAE，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AD，
在△DCB和△DEA中，
∠DCB=∠DEA∠B=∠DAEBD=AD，
∴△DCB≌△DEA（AAS），
∴BC＝AE，CD＝ED，
∴OA＝BC＝AE，
∴OE＝OA+AE＝2OA，
∵DF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G，
∴DF∥CG，
又∵CD＝ED，
∴DF是△CEG的中位线，
∴CG＝2DF，EF＝FG，
∵EF＝OE﹣OF＝2OA﹣OF，FG＝OF﹣OG，
∴2OA﹣OF＝OF﹣OG，
∴2OA＝2OF﹣OG，
设DF＝a，则CG＝2DF＝2a，
∵点D，C都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为(ka，a)，点C的坐标为(k2a，2a)，
∴OG=k2a，OF=k2a，
∴2OA＝2OF﹣OG=2×ka−k2a=3k2a，
∴OA=3k4a，
∵▱OABC的面积为6，
∴OA•CG＝6，
∴3k4a×2a=6，
解得：k＝4．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
11．（2024秋•沙坪坝区 期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C在反比例函数y=kx的图象上，点D在反比例函数y=10x的图象上，AB经过原点O，连接BD，若BD⊥x轴，则k的值为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【答案】B
【分析】点D的横坐标为m，D（m，10m），所以B（m，km），A（﹣m，−km），点A向右平移2m个单位长度，向上平移（km+10m）个单位长度，所以点B通过同样的平移得到点C，则C（3m，2km+10m），又点C在反比例函数y=kx的图象上，得出等式就可以得出k的值．
【解答】解：如图，设点D的横坐标为m，
∵点D在反比例函数y=10x的图象上，
∴D（m，10m），
∵BD⊥x轴，
∴BD∥y轴，
∴B（m，km），
∵OA＝OB，
∴点A和点B关于点O对称，
∴A（﹣m，−km），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵点A向右平移2m个单位长度，向上平移（km+10m）个单位长度，
∴C（3m，2km+10m），
∵点C在反比例函数y=kx上，
∴3m（2km+10m）＝k，解得k＝﹣6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，结合反比例函数上点的特征及几何图形的性质，设出点D的坐标，表达出点C的坐标是解题关键．
12．（2025•越秀区 开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx(x＞0)的图象交BC于点D，若点D为线段BC的中点，则平行四边形OABC的面积为（ ）
A．28B．652C．541D．30
【答案】D
【分析】设C（0，n），由题意可知B（5，n+4），进一步求得D（52，n+2），由点A、D在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，得到k＝5×4=52（n+2），解得n＝6，利用平行四边形的面积公式求得即可．
【解答】解：设C（0，n），
∵平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，
∴B（5，n+4），
∵点D为线段BC的中点，
∴D（52，n+2），
∵点A、D在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴k＝5×4=52（n+2），
解得n＝6，
∴OC＝6，
∴平行四边形OABC的面积为：6×5＝30．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，正确表示点的坐标是解题的关键．
13．（2026•沛县 模拟）如图，已知▱ABCD的顶点A在函数y=kx(x＞0)的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为（ ）
A．5B．8C．10D．14
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得S△AOB=12S▱ABCD，则设S△ABE＝a，得到方程a+3=12(a+8)，解得a＝2，再根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB=3+2=5=12k，即可求解．
【解答】解：∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴S△AOB=12AB⋅OB=12S▱ABCD，
设S△ABE＝a，
∵若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，
∴a+3=12(a+8)，
解得a＝2，
∴S△AOB=3+2=5=12k，
∴k＝10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
14．（2025秋•游仙区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b≥kx的解集；
（3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=−8x；一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）不等式ax+b≥kx的解集为x≤﹣2或0＜x≤4；
（3）在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）由函数图象即可得解；
（3）先求出点P的坐标，设点Q（c，n），再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）将A（4，﹣2）代入y=kx(k≠0)得：
−2=k4，
解得：k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
将B（﹣2，m）代入反比例函数解析式可得：
m=−8−2=4，
∴B（﹣2，4），
将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入反比例函数解析式得：
4a+b=−2−2a+b=4，
解得：a=−1b=2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）由图象可得：不等式ax+b≥kx的解集为x≤﹣2或0＜x≤4；
（3）在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4，
∴点P的纵坐标为y=−8−4=2，
∴P（﹣4，2），
设点Q（c，n），以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分以下几种情况讨论：
当AB为对角线时，AB与PQ互相平分，
∴4−2=−4+c−2+4=2+n，
∴c=6n=0，
∴Q（6，0）；
当AP为对角线时，AP与BQ互相平分，
∴4−4=−2+n−2+2=4+n，
解得：c=2n=−4，
∴Q（2，﹣4）；
当AQ为对角线时，AQ与BP互相平分，
∴4+c=−2−4−2+n=4+2，
解得：c=−10n=8，
∴Q（﹣10，8）；
综上所述，在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论思想解决问题是解答本题的关键．
类型三 双曲线与矩形综合
15．（2024•天山区一模）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点A都经过反比例函数y=kx的图象．且S矩形ABCD＝4，则k＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】设A（m，km），根据矩形的性质表示出点B和D的坐标，再根据中点坐标公式，表示出E点坐标，代入反比例函数解析式即可．
【解答】解：设A（m，km），
在矩形ABCD中，则AD＝m，D（0，km），
∵S矩形ABCD＝4，
∴AB=4m，
∴B（m，4m+km），
∵E是BD的中点，
∴E（m2，km+42m），
∵点E在反比例函数图象上，
∴m2（km+42m）＝k，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，灵活运用矩形的性质和中点坐标公式是解决本题的关键．
16．（2025•溧阳市模拟）如图所示，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx上的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点D，连接PD并延长交x轴于点E，连接AC，若S四边形ACEP=72，则k的值是（ ）
A．7B．14C．74D．72
【答案】D
【分析】设点B的坐标为（b，a），得到P（ka，a），D（b，kb），利用待定系数法求出直线PD解析式为y=−abx+kb+a，得出点E的坐标，进而可证出AP＝CE，所以四边形OABC是矩形，证得四边形ACEP是平行四边形，所以S四边形ACEP＝CE•OA=ka•a＝k，由此可得出结论，
【解答】解：设点B的坐标为（b，a），
∵四边形ABCD为矩形，
∴A（0，a），C（b，0），
∵点P，D在反比例函数图形上，
∴P（ka，a），D（b，kb），
∴直线PD解析式为y=−abx+kb+a，
令y＝0，代入得，x=ka+b，
∴E（ka+b，0），
∴CE=ka+b﹣b=ka，
∵P（ka，a），
∴AP=ka，
∴AP＝CE，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，AB∥OC，
∴四边形ACEP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CE•OA=ka•a＝k=72，
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形ACEP是平行四边形是解本题的关键．
17．（2026•定海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．245B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】设D(m，km)，根据已知条件表示出点E，点F坐标，易得CF=2k3m，AB＝2m，由△AEF的面积为2，得△ACF的面积为4，所以S△ACF=2k3m⋅2m2=4，即可求出k的值．
【解答】解：设D(m，km)，则E点纵坐标为k2m，
代入反比例函数解析式得x＝2m，
∴E(2m，k2m)，
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，
得y=k3m，
∴F(3m，k3m)，
∴CF=km−k3m=2k3m，
∵△AEF的面积为2，
∴△ACF的面积为4，
∵AB＝3m﹣m＝2m，
∴S△ACF=2k3m⋅2m2=4，
解得k＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2025•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4）B．（2，2）C．（2，4）D．（4，2）
【答案】D
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，8a），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y=kx图象上，
∴4=k2．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a，8a）．
∴AD＝a﹣2＝ED=8a．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
19．（2026•广东 一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为 6 ．
【答案】6
【分析】设D（m，km），根据已知条件表示出点E，点F坐标，易得CF=2k3m，AB＝2m，由△AEF的面积为2，得△ACF的面积为4，所以S△ACF=2k3m⋅2m2=4，即可求出k的值．
【解答】解：设D（m，km），
∵ABCD是矩形，且点E为AC的中点，
∴E点纵坐标为k2m，
代入反比例函数解析式得x＝2m，
∴E（2m，k2m），
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，
得y=k3m，
∴F（3m，k3m），
∴CF=km−k3m=2k3m，
∵△AEF的面积为2，
∴△ACF的面积为4，
∵AB＝3m﹣m＝2m，
∴S△ACF=2k3m⋅2m2=4，
解得k＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设D点坐标根据中点坐标公式表示线段CF和AB的长是解决本题的关键．
20．（2025春•浙江月考）如图，矩形ABCD在第一象限内，对角线BD所在直线经过点O，AB∥y轴，BC∥x轴，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A和点C，把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为（2，1）时，k的值为 163 ．
【答案】163．
【分析】正确表示出矩形的顶点的坐标，进一步表示出线段的长度，然后证明△DHE∽△EFB，根据对应边成比例求出HF＝2+k4，利用HF＝AD，得到2+k4=k﹣2，解方程即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD在第一象限内，AB∥y轴，BC∥x轴，点B（2，1），
∴A点的横坐标为2，C点的纵坐标为1，
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A和点C，
∴C（k，1），A（2，k2），
∴D（k，k2），
∴AB＝CD=k2−1，AD＝k﹣2，
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为E，
∴BE＝AB=k2−1，∠BED＝∠BCD＝90°，
∴BCDC=k−212k−1=2，
∵AD＝DE＝BC，BE＝AB＝CD，
∴DEBE=2，
如图，延长AB交x轴于F，延长DC交x轴于H，
∵AB∥CD∥y轴，
∴BF⊥x轴，DH⊥x轴，
∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°，
∴∠HED＝∠EBF，
∵∠DHE＝∠EFB＝90°，
∴△DHE∽△EFB，
∴DHEF=HEBF=DEBE=2，
∵BF＝1，
∴HE＝2，EF=k4，
∴HF＝2+k4，
由图知，HF＝AD，
∴2+k4=k﹣2，
∴k=163．
故答案为：163．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
21．（2026•深圳 模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数y=kx的图象上，过点A作AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，连接BE，则△ABE的面积为 3 ．
【答案】3．
【分析】首先利用射影定理求得OC，即可求得C的坐标，然后根据矩形的性质求得点D的坐标，进而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，从而求得点E的坐标，最后利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），
∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝2，
∵BO⊥AC，
∴OB2＝OC•OA，
∴OC=OB2OA=224=1，
∴C（﹣1，0），
∵四边形ABCD是矩形，点B向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点A，
∴C（﹣1，0）向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点D（3，﹣2），
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∵k＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴y=−6x，
∵AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，
∴点E的横坐标为4，
把x＝4代入y=−6x，得y=−32，
∴E（4，−32），
∴AE=32，
∴S△ABE=12AE⋅OA=12×32×4=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，射影定理的应用，三角形面积等，求得点的坐标是解题的关键．
22．（2025•日照三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象分别交AB，BC于点M，N．
（1）求证：AM＝CN．
（2）D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A′，且OA＝5，求k的值．
【答案】（1）见解析；
（2）634．
【分析】（1）设正方形的边长为a，点M(ka，a)，则N(a，ka)，则AM=ka=CN，即可求解；
（2）证明△A′OF∽△DA′E，得到OF：A′E＝A′F：DE＝OA′：A′D，A′E＝3﹣n，DE=m−53，A′E=5−n，则m：(5−n)=n：(m−53)=3，即可求解．
【解答】（1）证明：正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象分别交AB，BC于点M，N，设正方形的边长为a，则点M(ka，a)，则N(a，ka)，
则AM=ka=CN；
（2）解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴OF：A′E＝A′F：DE＝OA′：A′D，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE=m−53，A′E=5−n，
则m：(5−n)=n：(m−53)=3，
解得：m=92，n=72，
∴A′(92，72)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过A′点，
∴k=92×72=634．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得A′的坐标是解题的关键．
23．（2025•荔湾区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝6，对角线AC，BD相交于点E．反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，分别与AD，BC交于点F，G．
（1）若OB＝8，求反比例函数的解析式；
（2）连接EG，若AF﹣AE＝2，求△BEG的面积．
【答案】（1）20x；
（2）215．
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（4，5），然后把E点坐标代入y=kx(x＞0)可求得k的值；
（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝AE＝5，所以AF＝7，设OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到7t＝4（t+3），解得t＝4，从而得到反比例函数解析式为y=28x，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△BEG的面积．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝6，且OB＝8，
∴B（8，0），D（2，8），B（8，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（5，4），
把E（5，4）代入y=kx，得
5=k4．
解得k＝20．
故该反比例函数的解析式为：y=20x；
（2）∵AC=62+82=10，
∴BE＝AE＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
设OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4），
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E、F，
∴7t＝4（t+3），
解得t＝4，
∴k＝7t＝28，
∴反比例函数解析式为y=28x，
当x＝10时，y=2810=145，
∴G（10，145），
∴S△BEG=12×3×145=215．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
类型四 双曲线与菱形综合
24．（2025•陕西 模拟）如图，直线l：y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC∥x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k＝ ﹣54 ．
【答案】﹣54．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、点B坐标，由勾股定理求出AB，进而得出菱形的边长，由全等三角形的性质可求出点D的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值即可．
【解答】解：如图，延长DE交y轴于点F，
当x＝0时，y＝3，
∴直线l：y=−34x+3与y轴相交于点B（0，3），
当y＝0时，x＝4，
∴直线l：y=−34x+3与x轴相交于点A（4，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∵点B是AE的中点，
∴AB＝BE＝5，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BC＝CD＝DE＝EB＝5，
∵DE∥x轴，
∴∠EFB＝∠AOB＝90°，∠EBF＝∠ABO，
∴△BEF≌△BAO（AAS），
∴EF＝OA＝4，BF＝OB＝3，
∴DF＝DE+EF＝9，OF＝3+3＝6，
∴点D（﹣9，6），
∵点D（﹣9，6）在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k＝﹣9×6＝﹣54，
故答案为：﹣54．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，确定点D的坐标是求出正确答案的关键．
25．（2024•贵池区三模）如图，菱形ABCD的顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，对角线AC、BD的交点E在第一象限，反比例函数y=kx(k＞0)的图象经过点E，已知AC⊥x轴．
（1）若菱形ABCD的面积为6，则k的值为 3 ．
（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=kx(k＞0)的图象与边AB交于点F，则BFAB= 5−12 ．
【答案】3； 5−12．
【分析】（1）由S菱形ABCD＝6，可得S△BEC=32，由S△BEC=12|k|，即可求出k的值；
（2）过A点作AG⊥y轴，过F点作FH⊥BD于H点，构造相似三角形，△FBH∽△ABE．设A(m，6m)，F(n，3n)，由“相似三角形对应边成比例”列比例式得BFAB=BHBE=FHAE，即BFAB=nm=3n−3m3m，求出nm的值即可得BFAB的值．
【解答】解：（1）∵S菱形ABCD＝6，
∴S△BEC=64=32．
∵E点在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，
∴S△BEC=12|k|，
∴12|k|=32，
∵k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3．
（2）过A点作AG⊥y轴，过F点作FH⊥BD于H点，
则S矩形OCAG＝S菱形ABCD＝6．
设A(m，6m)，F(n，3n)，
则CE=12AC=62m=3m，
∵∠FHB＝∠AEB＝90°，∠FBH＝∠ABE，
∴△FBH∽△ABE，
∴BFAB=BHBE=FHAE，
∵BH＝n，BE＝m，FH=3n−3m，AE=3m，
∴BFAB=nm=3n−3m3m，
得n2﹣m2+mn＝0，
∴(nm)2+nm−1=0，
解得nm=5−12或nm=−5−12（舍去），
∴BFAB=5−12，
故答案为：5−12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，及数形结合的思想是解题的关键．
26．（2025秋•普宁市期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．3B．12C．﹣6D．6
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，根据k的几何意义可得，S矩形OBDE＝k，根据菱形的性质以及三角形的面积可得S△BCD=12S菱形ABCD=12S矩形OBDE=12k，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
由条件可知四边形BDEO是矩形，
∴S矩形OBDE＝k，
∴S△BCD=12S菱形ABCD=12S矩形OBDE=12k，
∵菱形ABCD的面积为6，
∴k＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数k的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键．
27．（2025•兴隆台区模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，BE＝8，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（ ）
A．(4，403)B．（6，10）C．(3，245)D．(4，323)
【答案】A
【分析】根据题意先求出AE＝6，利用反比例函数图象上点的坐标特征，建立方程k＝10（k4−8），求出反比例函数解析式，将x＝4代入解析式求出点D的纵坐标即可．
【解答】解：∵点C的横坐标为10，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∵BE＝8，
∴AE=102−82=6，
∴ED＝10﹣6＝4，
∵点D、C都在反比例函数图象上，
设D（4，k4），（10，k4−8）
∴k＝10（k4−8），
解得k=1603，
∴反比例函数解析式为y=1603x，
当x＝4时，y=16012=403，
∴D（4，403）．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
28．（2025•肇东市 模拟）如图，已知直线y=13x−1与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数y=kx(x＞0) 的图象交于点C，以AB为边向上作平行四边形ABED，D点刚好在反比例图象上，连接CE，CD，若CE∥x轴，四边形BCDE面积为10，则k的值为 283 ．
【答案】283．
【分析】设点D坐标为（m，km），通过含m，k的代数式分别表示出C，E的坐标，再通过含参代数式表示四边形BCDE面积求解．
【解答】解：由y=13x﹣1可得A（3，0），B（0，﹣1），
设点D坐标为（m，km），
由平行四边形ABED可得点E坐标为（m﹣3，km−1），
∵CE∥x轴，
∴点C纵坐标为km−1，
将y=km−1代入y=13x﹣1可得x=3km，
将x=3km代入y=kx得y=m3，
∴km−1=m3，
解得k=13m2+m．
作DH⊥EC于点H，CG⊥y轴于点G，
∴S四边形BCDE＝S△CDE+S△BCE=12EC•DH+12EC•BG=12EC（DH+BG），
=12（3km−m+3）（km−km+1+km−1+1），
=12（3km−m+3）（km+1），
将k=13m2+m代入12（3km−m+3）（km+1）得m+6＝10，
∴m＝4，k=13m2+m=283，
故答案为：283．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是通过参数表示点坐标从而求解．
29．（2025•迁安市 开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象和菱形ABCD都在第一象限内，AB=52，BD∥x轴，且BD＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，求此反比例函数的解析式；
（2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值．
【答案】m的值为54，此时k的值为94或454．
【分析】（1）根据已知求出B、C、D点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后A、B、C、D对应的点的坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，BE＝DE，
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象和菱形ABCD都在第一象限内，AB=52，BD∥x轴，BD＝4，
∴AB＝AC=52，BE＝DE＝2，
∴CE＝AE=(52)2−22=32，
∵点A（3，5），
∴B（1，72），D（5，72），
∴C（3，2），
若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，则k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
（2）∵点A（3，5）．D（5，72），
将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，
∴A′（3，5﹣m），B′（1，72−m），C′（3，2﹣m），D′（5，72−m），
当A′，D′两点同时落在反比例函数图象上时，
∴3（5﹣m）＝5（72−m），
∴m=54，
∴A′（3，154），
k＝3×154=454．
当B′，C′两点同时落在反比例函数图象上时，则B′（1，94），
∴k＝1×94=94．
故m的值为54，此时k的值为94或454．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质，求出菱形各点的坐标是解题的关键．
30．（2025秋•温江区 期中）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、B两点，若点A的横坐标为3，点B的纵坐标为﹣1，经过点A的直线与x轴，y轴分别交于C、D，与反比例函数y=k2x在第一象限交于点E．
（1）求正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的解析式；
（2）当AD＝3DE时，
（i）点P为反比例函数在第一象限的图象上一点，若△OPA的面积是△OPE面积的两倍时，求点P的坐标；
（ii）点M为直线DE上一点，点N为坐标平面内一点，若以O、E、M、N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点N的坐标．
【答案】（1）正比例函数的解析式为：y=13x，反比例函数的解析式为：y=3x；
（2）P（1057，1055）；
（3）N（4，4）或（−52，52）或（5，−5）或（−5，5）．
【分析】（1）可得出A（3，1），进而得出结果；
（2）（i）作EF⊥y轴于F，作AG⊥y轴于G，可得出△DEF∽△DQG，从而EFAG=DEAD=13，进而得出E（1，3）设P（m，3m），（m＞0），可表示出S△OPA＝S梯形AMNP=12（1+3m）•（3﹣m），S△OPE=12（3m+3）•|m﹣1|，从而列出方程12（1+3m）•（3﹣m）＝2×12（3m+3）•|m﹣1|，从而得出m的值，进一步得出结果；
（ii）分三种情形：当点M和A重合时，OM＝OA＝OE=10，从而得出N（4+1，1+3），即（5，4），可求得直线AE的解析式为：y＝﹣x+4，从而设M（m，﹣m+4），当EM＝OM时，从而列出方程，从而求得m的值，进而根据图形的平移得出N点坐标，），同样方法得出当OE＝EM时的结果．
【解答】解：（1）由题意得，
A（3，1），B（﹣3，﹣1），
∴1＝3•k1，1=k23，
∴k1=13，k2＝3，
∴正比例函数的解析式为：y=13x，反比例函数的解析式为：y=3x；
（2）（i）如图1，
作EF⊥y轴于F，作AG⊥y轴于G，
∴EF∥AG，
∴△DEF∽△DQG，
∴EFAG=DEAD=13，
∴EF=13AG=1，
∴y=31=3，
设P（m，3m），（m＞0），
∴S△OPA＝S梯形AMNP=12（1+3m）•（3﹣m），
同理可得，S△OPE=12（3m+3）•|m﹣1|，
∴12（1+3m）•（3﹣m）＝2×12（3m+3）•|m﹣1|，
∴m=1057，
当m=1057时，y=3m=1055，
∴P（1057，1055）；
（ii）当点M和A重合时，OM＝OA＝OE=10，
∴四边形MOEN是菱形，
∴N（1+3）1，1+3），即（4，4），
∵A（3，1），E（1，3），
∴直线AE的解析式为：y＝﹣x+4，
设M（m，﹣m+4），
当EM＝OM时，
（m﹣1）2+（﹣m+4﹣3）2＝m2+（﹣m+4）2，
∴m=72，
∴M（72，12），
∴N（1−72，3−12），即（−52，52），
当OE＝EM时，
（m﹣1）2+（﹣m+4﹣3）2＝12+32，
∴m＝1±5，
当m＝1+5时，M（1+5，3−5），
此时N（1+5−1，3−5−3），即（5，−5），
当m＝1−5时，M（1−5，3+5），
此时N（−5，5），
综上所述：N（4，4）或（−52，52）或（5，−5）或（−5，5）．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数图象的性质，等腰三角形的分类，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
类型五 双曲线与正方形综合
31．（2025•兴庆区三模）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（0，﹣8），点B在x轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 y=−12x ．
【答案】y=−12x．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，得到∠CBE+∠BCE＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，推出∠BCE＝∠ABO，得到△BCE≌△ABO（AAS），得到BE＝OA，CE＝OB，由点A的坐标为（0，﹣8），求出OA＝BE＝8，继而得到CE=OB=AB2−OA2=6，推出C（﹣2，6），求出k＝﹣12，即可得到答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
在正方形ABCD中AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°，
∴∠BCE＝∠ABO，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴BE＝OA，CE＝OB，
由条件可知OA＝BE＝8，
∴CE=OB=AB2−OA2=6，
∴OE＝BE﹣OB＝2，
∴C（﹣2，6），
∵反比例函数的图象过点C，
∴k−2=6，
∴k＝﹣12，
∴该反比例函数的表达式为y=−12x，
故答案为：y=−12x．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
32．（2025春•余姚市期末）如图，在直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y=kx(x＞0)的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E（即对角线的交点）．则k的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】作DF⊥x轴于点F，先求出A、B两点的坐标，故可得出OB＝6，OA＝2，再根据AAS定理得出△OAB≌△FDA可得出OF的长，进而得出D点坐标，进一步求得点E的坐标，把E点坐标代入反比例函数的解析式求出k的值即可．
【解答】解：作DF⊥x轴于点F．
在y＝﹣3x+6中，令x＝0，则y＝6，即B（0，6），
令y＝0，则x＝2，即A（2，0），则OB＝6，OA＝2，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
∵Rt△ABO中，∠BAO+∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB与△FDA中，
∠DAF=∠OBA∠BOA=∠AFDAB=AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
∴AF＝OB＝6，DF＝OA＝2，
∴OF＝8，
∴D（8，2），
∴正方形ABCD的中心点E的坐标为（4，4），
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E，
∴k＝4×4＝16．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
33．（2024春•莆田月考）如图，点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A(−3n，n)，D(6n，n)，根据正方形的性质得出6n+3n=n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．
【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，
∴A(−3n，n)，D(6n，n)，
∵四边形ABCD为正方形，
∴6n+3n=n，
解得n＝3或n＝﹣3．
∵点D在第一象限，
∴n＝﹣3不符合题意舍去，
∴D（2，3），
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
34．（2025秋•碑林区 期末）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于32，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为x=k4a，由于Q为BE中点，且BE⊥x轴，所以BQ=12AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y=kx（k＞0）上，可得k＝6a2，由题意知阴影为矩形，可推出其长为k4a，宽为a，面积为32，所以可得NH×MH=k4a×a=32，即可解决问题．
【解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ=12AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y=kx（k＞0）上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y=kx（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x=k4a，
∴P（k4a，4a），
∵PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，如图，
∴四边形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH=k4a×a=32，
则k＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质和长方形的面积公式，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
35．（2025•市中区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y1＝3x的图象经过点D，反比例函数y2=kx(x＞0)的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3．
（1）点D的坐标是 （1，3） ；
（2）求tan∠EOB的值；
（3）观察图象，请直接写出满足y2＞3的x的取值范围；
（4）连接DE，在线段OB上取一点P，使S△DPE=32，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段PQ的长．
【答案】（1）（1，3）；（2）316；（3）0＜x＜1；（4）911．
【分析】（1）根据题意写出点D坐标即可；
（2）先求出点E坐标即可得到tan∠EOB的值；
（3）根据图象直接写出不等式解集即可；
（4）先求出DE解析式与x轴的交点G坐标，再根据面积在线段AD上取一点F，使DF＝1，则S△DEF=32，继而求出FP的解析式得到点P坐标，最后得到PQ长．
【解答】解：（1）当y＝3时，x＝1，
∴点D的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）；
（2）∵点D的坐标为（1，3）且在反比例函数图象上，
∴y2=3x，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴B（4，0），
∴EB=34，
∴tan∠EOB=EBOB=316；
（3）由图象可知y2＞3的x的取值范围为0＜x＜1；
（4）设直线DE的解析式为y＝mx+n，代入点D（1，3）和E（4，34）得：
m+n=34m+n=34，解得m=−34n=154，
∴直线DE的解析式为y=−34x+154，
当y＝0时，x＝5，
∴G（5，0），
在AD上取点F，使DF＝1，则S△DEF=32，
∴AF＝2，
∴F（1，2），
∴PF∥DE，
直线PF的解析式为y=−34x+114，
∴P（113，0），
在反比例函数y=3x中，当x=113时，y=911，
∴Q（113，911），
∴PQ=911．
在反比例函数y=3x中，当x=113时，y=911，综上可知PQ的长为911．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
36．（2025•宁江区 模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边CD∥x轴，点C的坐标为（3，3），点E的坐标为（2，1），E为边AB的中点，点F在边CD上，且DF=13CD，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点F的坐标；
（3）将点F向下平移，当点F落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）反比例函数表达为y=2x；
（2）点F（53，3）；
（3）点F向下平移的距离为95．
【分析】（1）点E的坐标代入反比例函数关系式求出k即可；
（2）根据正方形的性质以及点C的坐标为（3，3），点E的坐标为（2，1），E为边AB的中点，即可求得A（1，1），B（3，1），进而得出D（1，3），再根据DF=13CD，即可求得F的坐标；
（3）根据平移的规律，把x=53代入y=2x求得函数值，比较F的坐标即可求得平移的距离．
【解答】解：（1）∵点E的坐标为（2，1），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点E，∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数表达为y=2x；
（2）∵正方形ABCD的边CD∥x轴，点C的坐标为（3，3），点E的坐标为（2，1），E为边AB的中点，
∴A（1，1），B（3，1），
∴D（1，3），
∴CD＝2，
∵DF=13CD，
∴DF=23
∴点F（53，3）；
（3）把x=53代入y=2x得，y=65，
∴点F向下平移的距离为3−65=95．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，正确得出各个点的坐标是解题的关键．
37．（2025秋•市中区期末）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y=kx的图象过AB上一点E，BE＝2，AEOE=35．
（1）求k的值．
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
（3）点P是直线OF上一点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）48；（2）OF⊥DF；（3）(4013，8013)．
【分析】（1）设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，则3x+2＝4x，求出x即可求点E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k 值；
（2）求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF＝∠BFD，可得∠OFD＝180°﹣（∠AFO+∠BFD）＝90°，即可得到OF⊥DF；
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，证明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），求出直线CG解析式为y=−54x+10，直线OF为y＝2x，联立y=2xy=−54x+10，即可求点P的坐标为(4013，8013)．
【解答】（1）证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB，∠OAB＝90°，
∵AEOE=35，
设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，
∴3x+2＝4x，
∴x＝2，
∴AE＝3x＝6，AO＝4x＝8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k＝6×8＝48；
（2）OF⊥DF，理由如下：
将x＝8代入y=48x得y＝6，
∴D（8，6）
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2
∵点F是线段AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∵AFAO=12=BDBF，∠OAF＝∠FBD＝90°
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF＝∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD＝∠AFO+∠AOF＝90°，
∴∠OFD＝180°﹣（∠AFO+∠BFD）＝90°，
∴OF⊥DF；
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，
∵四边形OABC为正方形，∠AFG＝∠BFD，AF＝BF，
∴△AFG≌△BFD（ASA），
∴FG＝FD＝2，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴OD＝OG，
∴PG＝PD，
∴PD+PC＝PG+PC＝CG．
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC＝6，
∴OG＝OA+AG＝8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y＝mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得8m+n=0n=10，
解得m=−54n=10，
设直线OF为y＝ax，代入F（4，8），
∴a＝2，
∴y＝2x，
联立直线OF、CG得y=2xy=−54x+10，
解得x=4013y=8013，
∴点P的坐标为(4013，8013)．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
38．（2025•市中区 三模）已知：如图1，在平面直角坐标系中点A（2，0），B（0，1），以AB为顶点在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y1=k1x(x＞0)，y2=k2x(x＞0)分别经过C、D两点．
（1）求点C的坐标并直接写出k1、k2的值；
（2）如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当|PB﹣PD|最大时，求点P的坐标；
（3）如图3，过点D作DH⊥x轴，垂足为点H，交y1=k1x(x＞0)的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（1，3），k1＝3，k2＝6；
（2）P（2，3）；
（3）存在，点N的坐标为（4，4）或(2，1+7)或(2，1−7)．
【分析】（1）作CT⊥y轴于T，作DN⊥x轴于N，则∠CTB＝∠DNA＝∠AOB＝90°，证明△ABO≌△BCT（AAS），求出C（1，3）；将C（1，3）代入y1=k1x(x＞0)可得k1＝3；同理可得△ABO≌△DAN（AAS），从而可得D（3，2），再利用待定系数法求解即可；
（2）因为在平面直角坐标系中点A（2，0），B（0，1），则垂线L为直线x＝2，如图：作点B关于垂线L的对称点B1，连接B1D，并延长B1D交垂线L于P，连接BP，由轴对称的性质可得：B1（4，1），PB＝PB1，得到|PB﹣PD|＝|PB1﹣PD|≤DB1，当点P、D、B1在同一直线上时，|PB﹣PD|的值最大，由（1）可得D（3，2），设直线DB1的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（3，2），B1（4，1）代入解析式，解得：k=−1b=5，则直线DB1的解析式为y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝﹣2+5＝3，推出P（2，3）；
（3）求得E（3，1），结合勾股定理可得CE=22，设M（0，y），N（s，t），根据菱形的性质，分两种情况：当CE为对角线时，此时CM＝CN；当CE为边时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图：作CT⊥y轴于T，作DN⊥x轴于N，
则∠CTB＝∠DNA＝∠AOB＝90°，
，
∵在平面直角坐标系中点B（0，1），A（2，0），
∴OB＝1，OA＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝AB＝AD，
∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBT＝90°，
∴∠OAB＝∠CBT，
∴△ABO≌△BCT（AAS），
∴CT＝OB＝1，BT＝OA＝2，
∴OT＝OB+BT＝3，即C（1，3）；
将C（1，3）代入y1=k1x(x＞0)可得：3=k11，即k1＝3；
同理可得：△ABO≌△DAN（AAS），
∴AN＝OB＝1，DN＝OA＝2，
∴ON＝OA+AN＝3，即D（3，2），
将D（3，2）代入y2=k2x(x＞0)可得：2=k23，即k2＝6；
（2）∵在平面直角坐标系中点A（2，0），B（0，1），
∴垂线L为直线x＝2，
如图：作点B关于垂线L的对称点B1，连接B1D，并延长B1D交垂线L于P，连接BP，
，
由轴对称的性质可得：PB＝PB1，（4，1），
∴|PB﹣PD|＝|PB1﹣PD|≤DB1，
∴当点P、D、B1在同一直线上时，|PB﹣PD|的值最大，为DB1，
由（1）可得D（3，2），
设直线DB1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D（3，2），B1（4，1）代入解析式可得：3k+b=24k+b=1，
解得：k=−1b=5，
∴直线DB1的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝﹣2+5＝3，
∴P（2，3）；
（3）存在，
由（1）可得：y1=3x，C（1，3），D（3，2），
当x＝3时，y1=33=1，即E（3，1），
∴CE=(3−1)2+(1−3)2=22，
设M（0，y），N（s，t），
∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形，
∴当CE为对角线时，此时CM＝CN，
则1+3=0+s1+3=y+t(0−1)2+(y−3)2=(s−1)2+(t−3)2，
解得：s=4t=4y=0，即N（4，4），
当CE为边时，
同理可得：1+s=33+t=y+1(22)2=(0−1)2+(y−3)2或1=3+sy+3=1+t(22)2=(s−1)2+(3−t)2，
解得：s=2t=1−7y=3−7或s=2t=1+7y=3+7，
此时N(2，1+7)或N(2，1−7)；
综上所述，点N的坐标为（4，4）或(2，1+7)或(2，1−7)．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、反比例函数综合、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
39．（2026春•濠江区月考）如图1，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=12x(x＞0)的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上有一点D（6，0），直线AD与反比例函数图象交于点C，连接CB．求△ABC的面积；
（3）如图2，以线段AB为对角线作正方形AEBF，点G是线段BF上的一动点，点N是线段AB上的一动点，连接GN、FN，使∠GNF＝2∠AFN，当点G运动到BF的三等分点时，求点N的坐标．
（4）如图3，在（3）的条件下，在正方形AEBF外部，以AF为边向外作正方形AFMN，连接AM，点P是线段AM上的一个动点，过点P作PM'⊥x轴，交直线AB于点Q．当△BPQ的面积取得最大值时，过点Q作直线l，使得直线l与反比例函数y=12x的图象有且只有一个交点．请直接写出直线l的解析式．
【答案】（1）y=12x+1
（2）S△ABC＝8
（3）点N(83，73)或(103，83)
（4）x＝2或y＝2或y=(−5+26)x+12−46或y=(−5−26)x+12+46．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设直线DA交y轴于点J，求出直线AD的表达式为：y=−32x+9，得出点J（0，9），再根据一次函数解析式和反比例函数解析式求出点C（2，6），根据S△ABC＝S△ABJ﹣S△BCJ求出结果即可；
（3）由点A、B的坐标求出AB=(4−0)2+(3−1)2=25，求出点F（1，4），过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，证明△BTG∽△BSF，求出点G的坐标为：(13，2)或(23，3)，过点N作NH∥FA，则∠HNF＝∠NFA，HN⊥BF，求出点H(23，3)或H(56，72)，根据待定系数法求出直线AF的表达式为：y=−13x+133，根据NH∥FA求出HN的表达式，最后求出结果即可；
（4）先求出点M的坐标为（2，7），求出直线AM的解析式为：y＝﹣2x+11，设P（m，﹣2m+11）（2≤m≤4），则Q(m，12m+1)，求出S△BPQ=12m(−52m+10)=−54m2+5m=−54(m−2)2+5，得出当m＝2时，△BPQ有最大值，求出点Q的坐标为（2，2），根据直线l与反比例函数y=12x的图象有且只有一个交点求出直线l的解析式即可．
【解答】解：（1）当y=12x=3，则x＝4，即点A（4，3），
∴1=b3=4k+b，
解得k=12b=1
则直线AB的解析式为：y=12x+1；
（2）如图1，设直线DA交y轴于点J，
设直线AD的解析式为y＝k′x+b′，把A（4，3），D（6，0）代入得：
4k′+b′=36k′+b′=0，
解得：k′=−32b′=9，
∴直线AD的表达式为：y=−32x+9，
把x＝0代入得：y＝9，
∴点J（0，9），
∴BJ＝8，
联立直线AD和反比例函数的表达式得：12x=−32x+9，
解得：x＝4（舍去）或x＝2，
即点C（2，6），
则S△ABC＝S△ABJ﹣S△BCJ
=12×BJ×(xA−xC)
=12×8×(4−2)
＝8；
（3）由点A、B的坐标得：AB=(4−0)2+(3−1)2=25，
∵以线段AB为对角线作正方形AEBF，
∴BE=22AB=10，
∵OB＝1，
∴OE=(10)2−12=3，
即点E（3，0），
在正方形AEBF中，AB的中点即为EF的中点，
由中点坐标公式得：xF+3=0+4yF+0=1+3，
解得：xF=1yF=4
∴点F（1，4），
过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示：
则BS＝4﹣1＝3，FS∥GT，
∴△BTG∽△BSF，
当FG：BF＝1：3时，
ST：BS＝BG：BF＝1：3，
又∵BS＝3，
∴ST＝1，即点G的纵坐标为4﹣1＝3，
同理可得：xG=23，
即点G(23，3)，
当BG：BF＝1：3时，
同理可得点G(13，2)，
即点G的坐标为：(13，2)或(23，3)；
如图，过点N作NH∥FA，则∠HNF＝∠NFA，HN⊥BF，
∴∠FHN＝∠GHN＝90°，
∵∠GNF＝2∠AFN，
∴∠HNF＝∠NFA＝∠HNG，
∵HN＝HN，
∴△FHN≌△GHN（ASA），
∴FH＝GH，
∴点H是FG的中点，
根据中点坐标公式得：点H(23，3)或H(56，72)，
同理，根据点A、F的坐标得直线AF的表达式为：y=−13x+133，
∵NH∥FA，
∴设HN的表达式为y=−13x+k1
把H(23，3)代入得：3=−13×23+k1，
解得：k1=299，
∴此时HN的表达式为y=−13x+299，
联立y=−13x+299y=12x+1，
解得：x=83y=73，
∴此时点N(83，73)；
同理可得：当H(56，72)时，HN的表达式为y=−13x+349，
联立y=−13x+349y=12x+1，
解得：x=103y=83，
此时点N(103，83)；
综上点N的坐标为(83，73)或(103，83)．
（4）根据解析（3）可得：点F的坐标为（1，4），
∵四边形AEBF为正方形，四边形AFMN为正方形，
∴∠AFM＝∠AFB＝90°，BF＝AF＝FM，
∴∠AFM+∠AFB＝180°，
∴点B、F、M在同一直线上，
∵BF＝FM，
∴点F为BM的中点，
∵B（0，1）
∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为（2，7），
∵A（4，3），
∴同理可得直线AM的解析式为：y＝﹣2x+11，
∵直线AB的解析式为：y=12x+1，
∴设P（m，﹣2m+11）（2≤m≤4），则Q(m，12m+1)，
∴PQ=−2m+11−(12m+1)=−52m+10，
∴S△BPQ=12m(−52m+10)=−54m2+5m=−54(m−2)2+5，
∵−54＜0，
∴当m＝2时，△BPQ有最大值，
此时点Q的坐标为（2，2），
过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数y=12x的图象有且只有一个交点，
∴直线l的解析式可以是x＝2或y＝2；
当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为y＝kx+b，把Q（2，2）代入得：
2k+b＝2，
∴b＝2﹣2k，
∴直线l的解析式为y＝kx+2﹣2k，
令kx+2−2k=12x，
整理得：kx2+（2﹣2k）x﹣12＝0，
当Δ＝（2﹣2k）2﹣4×（﹣12）k＝0时，方程kx2+（2﹣2k）x﹣12＝0有一个解，直线l与反比例函数y=12x的图象有且只有一个交点，
将方程（2﹣2k）2﹣4×（﹣12）k＝0整理得：k2+10k+1＝0，
解得：k=−5+26或k=−5−26，
当k=−5−26时，b=2−2k=12+46，直线l的解析式为：
y=(−5−26)x+12+46；
当k=−5+26时，b=2−2k=12−46，直线l的解析式为：
y=(−5+26)x+12−46，
综上，直线l的解析式为：x＝2或y＝2或y=(−5+26)x+12−46或y=(−5−26)x+12+46．
【点睛】本题考查反比例函数综合题，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．