第11讲 二次函数的图象与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测16
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 36
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分44
考点一 二次函数的图象和性质
1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
3.二次函数的图象及性质
4.二次函数与一元二次方程的关系：
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
（3）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。
1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
当三点在抛物线 上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
当三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过 三点；
当三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
2．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．
（1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
【答案】(1)①②猜想，理由见解析
(2)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键：
（1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果；
②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果；
（2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意；
当时，，
∴当点在线段上时，，满足题意；
当时，，
∴直线上不存在点使，不满足题意；
综上：使该函数图像有生长点的的值是；
②猜想，理由如下：
∵点在直线上，
∴，
由（1）知：当时，此时，
∴当时，，此时直线上不存在点使，
∴；
又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，
而的最小值为，
∴；
∴；
（2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，
∴；
∵是该函数图像的生长点，
∴，
当时，则：，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，则：，
∴，
解得，
把代入，得：或，
当时，，满足题意；
当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；
∴；
②当点在点的左侧时，则：，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得：，
此时，符合题意；
∴；
③当点在点的右侧时，则：，
∴，
∴，
把，代入，得：，
∴
此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去；
综上：或．
考点二 二次函数与几何变换
1.二次函数的图象（抛物线）的平移规律：上加下减，左加右减。
2.四种二次函数之间的平移关系：
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故选∶D．
3．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】
（1）
（2）① ② (a)(b)
【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标．
（2）由题意平移后的函数解析式为，则，
①若，则，利用二次函数的增减性即可求解；
②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为，
令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为．
故答案为；；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，
则平移后得到的顶点为，
平移后的函数解析式为，
当时，与轴交点的纵坐标，
①若，则，
是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
时，，时，，
当时，的取值范围是；
②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，
，，
当时，，
，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
随的增大而减小，
当时，，
，
对称轴为直线，
，
随的增大而增大，
故可能的序号是(a)(b)．
故答案为：(a)(b)．
考点三 二次例函数的最值
二次函数最值规律：
1．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∴当时，有最大值为；
故答案为：．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解．
【详解】解：，
当时，二次函数取最小值，最小值为，
故答案为：．
3．（2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
设
∴
∵
∴有最大值，最大值为
故选：D．
命题点一 二次函数的图象与性质
►题型01 二次函数的图象与性质
【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数，其图象经过点，则h的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意得到，解得，再根据，得到，求解即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，其图象经过点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标．
把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值．
【详解】解：，
，，
抛物线的“相对深度”为6，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
2．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，）．
(1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
(2)该函数的图象必过定点_____、_____．
(3)设，当时，．直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)、
(3)，且
【分析】（1）先计算，证明即可；
（2）由，令，再进一步求解即可；
（3）如图，当时，可得，，，即，，当时，如图，求解的对称轴为直线，顶点坐标为：，的对称轴为直线，顶点坐标为：，当两个顶点重合时，则，再结合图象解答即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
►题型02 二次函数图象与系数的关系
【典例】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，符合题意；
②∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴，
∴， 符合题意；
③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，不符合题意；
④∵图象与x轴有2个交点，
∴，不符合题意；
⑤∵时，，
∴，符合题意；
故答案为：①②⑤．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．点的坐标为
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键．
【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误；
B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误；
C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确；
D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误．
故选：C．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．函数有最大值B．
C．当时，随的增大而增大D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为，
故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意；
二次函数的对称轴为直线，
∴当时，；故B选项正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意；
由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选C．
►题型03 二次函数图象上点的坐标特征
【典例】．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可．
【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意；
由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方，
关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意；
当时，，
由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意；
由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意．
综上所述，正确的是①．
故答案为：①．
【变式】
1．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论：
①抛物线的对称轴是直线 ； ②抛物线与x轴的交点坐标是和；
③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根；
④若和都是抛物线上的点且，则．
上述结论中正确的结论 （填写序号）
【答案】①④
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
利用待定系数法可得抛物线经过点A和点C，其解析式为，故①正确；令，可得抛物线与x轴的交点坐标是和，故②错误；利用一元二次方程根的判别式，可得，故③错误；根据抛物线与x轴的交点坐标是和，且抛物线开口向上，可得，故④正确．
【详解】解：∵三点中恰有两点在抛物线的图像上，
∴分三种情况讨论：
当抛物线图象经过点A和点B时，将分别代入，
得，
解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，将分别代入，
得 ，此时方程组无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，将分别代入，
得 ，解得
∴点A和点C在抛物线的图象上．
∴
∴抛物线的对称轴是直线，①正确．
当时，
∴
∴抛物线与x轴的交点坐标是和，②错误．
当即，有两个实数根时，，
∴，
∴，③错误．
∵抛物线与x轴交于点和，且其图象开口向上，若和都是抛物线上的点，且，得．
∴④正确．
∴①④正确．
故答案为：①④
2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数．
(1)若它的图象经过点，求，满足的关系式；
(2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键．
将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当自变量的值满足时，随的增大而增大，则抛物线的对称轴在的右侧，即且，即可求解；
①当在对称轴直线的左侧，又由题意，也在左侧，，则，即可求解；在对称轴直线的两侧，同理可解．
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
即；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，
则抛物线的对称轴是直线或在直线的右侧，
且且，
解得：；
（3）由题意，二次函数过点，，
对称轴是直线．
当时，，
二次函数图象过．
抛物线开口向下，
在对称轴直线右侧随的增大而减小，在对称轴的左侧是随的增大而增大．
图象过，
，而，
在对称轴直线的左侧或两侧．
当在对称轴直线的左侧，
又由题意，也在左侧，，
，
．
在对称轴直线的两侧，
在左侧，在右侧．
，
，
．
综上，或．
命题点二 二次函数与几何变换
►题型04抛物线的平移问题
【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ．
∴平移后， 的解析式为：，
∵，点 在 上，点 在 上，且 ．
∴点 的横坐标为 ．代入的解析式，
得
则代入到的解析式，得
∵点在抛物线上．
∴．
条件时， 的最大值小于
∵，
∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得
当时，
，
当时，
，
∴，
且．
解不等式：，
，
，
，
∵，
∴ ．
解得 ．
解不等式：，
即，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为 ．
故答案为：
2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ．
(1)求点 A 的坐标．
(2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数．
(3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，Q的坐标为，定值为4
【分析】（1）根据题意得到，，联立求出a、b的值即可求解析式；
（2）先求出，再由抛物线与y轴的交点，可得，设，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，可证明，则，即 ，解得，求出，再由，求出，所以轴，则；
（3）平移后的新抛物线对应的函数解析式为，设直线对应的函数解析式为，则，设，，当 时，， ，得到，令，则，根据题意得到方程组，解方程组进而可得结论．
【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点，
∴，
∴，
∵ 抛物线 与x轴只有一个公共点，
即 ，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线对应的函数解析式为 ，
∴点A 的坐标为；
（2）解：∵点在抛物线上，
，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∵ 抛物线与 y 轴的交点C 的坐标为，
∴，
∴，
∴ 直线对应的函数解析式为，设点 ，
如图，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，
∴，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，即 ，
解得 ，
，
，
，
∴，
∴轴，
∴；
（3）解：存在，平移后的新抛物线对应的函数解析式为，
设直线对应的函数解析式为，则，
设，，
当 时，， ，
∴，
，，
，
令 ，则，
，
，
，
解得，
∴在y轴正半轴上存在一点Q，使得 为定值，定值为4，此时点Q的坐标为．
命题点三 二次例函数的最值
►题型05 二次例函数的最值问题
【典例】．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C．
(1)填空： ___________， ___________；
(2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________；
(3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可；
（3）分两种情况画出图形，进行解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点，
∴，
解得
故答案为：，；
（2）由（1）可知，二次函数解析式为，
把代入得到，，
解得，
∵
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，
∵当时，函数的最大值是5，
∴当时，时取得最大值，即，解得，
当时，时取得最大值，即，
∴或，
故答案为：或；
（3）当时，，
即点C的坐标为，
∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线，
∴点E的坐标为，
如图，设交轴于点，交于点，
∵轴，
∴，
根据轴对称性可得，，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
∵点E的坐标为，，
∴设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
由，
解得，或
∴，
设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件，
∵直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
设，则，把代入得到①
由轴对称可得，，则，
即②
由①②得到，或（不合题意，舍去）
∴
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
由由，
解得，或
∴
综上可知，点P的坐标为或．
【变式】
1．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读以下材料：
如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题：
①已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ；
②已知，则自变量x取何值时，函数有最小值，并求出最小值．
【答案】①，；②时，函数有最小值，最小值为4
【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键．
①把原函数化成，即可得到解答；
②由题意可得，得到时，y的最小值为4 ．
【详解】解：①∵，
则，，
故，
当且仅当，即时，函数有最小值为，
故答案为：，；
②，
∵，则，
故，
当且仅当，即时，y的最小值为4，
故自变量时，函数有最小值，最小值为4．
2．（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值．根据，可得，再根据，即可求得的取值范围；根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值．
【详解】解： ，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
，，
，
故答案为：．
突破一 二次函数图象与系数的关系
【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；②若时，则；
③若点在拋物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上，
∴，
∵二次函数图象过两点，
∴对称轴直线为，
∵，
∴，
∴，故①错误；
若，则，
∴，
把代入抛物线解析式得，，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴直线为，且，
∴，
已知点，在抛物线上，，且，
∴，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，故③错误；
已知抛物线过两点，
∴设抛物线解析式为：，
令，整理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是 ．
【答案】①②③④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点得到，则可对③进行判断；同时得到，加上，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离与点到直线的距离的大小可对④进行判断；利用时，函数值最大以及可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点，
，所以③正确；
，
，所以②正确；
点到直线的距离比点到直线的距离大，
；所以④正确；
抛物线的对称轴为直线
当时，函数值最大，
，
，
即，所以⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
2．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由二次函数图象可知，
∵该二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，即．
∵，
∴，故②正确；
当时，y取得最小值，
∴，即，故③正确；
当时，，
∴顶点坐标为，
根据题意得，
即将位于x轴下方的图像向上翻折，
∴翻折后的顶点坐标为，
∵若关于x的方程恰有三个解，
∴即函数与恰有三个解，
即恰好经过向上翻折后的图像的顶点，
∴，
∵，
代入得到，则，
故④正确；
综上可知正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
突破二 二次函数与几何变换
【典例】．（2025·江苏泰州·二模）将下列函数的图像向上平移一个单位长度后，经过点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的平移，函数图像上的点，熟知平移规则得到正确的函数解析式是正确解答此题的关键．
先根据“上加下减”的平移法则写出平移后的函数解析式，再将点代入求解一一验证即可．
【详解】解：由题意得，一次函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴A选项不符合题意；
由题意得，一次函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴B选项不符合题意；
由题意得，函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴C选项符合题意；
由题意得，函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴D选项不符合题意；
故答案为：C．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）．
(1)二次函数的顶点坐标为__________；
(2)若二次函数由平移所得，
①求线段的长；
②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值．
【答案】(1)
(2)①②或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可；
（2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可；
②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）①∵二次函数由平移所得，
∴，
联立，解得：或，
∵，在的左侧，
∴，
∴；
②由（1）知：，
∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为，
∵，即：，
（i）当，即：时，
则当时，函数取得最小值为：，
当时，函数取得最大值为：，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
（ii）当，即：时，
当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为，
则：，解得：，符合题意；
（iii）当，即：时，
则：当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为：，
则：，解得：或（舍去）；
综上：或．
2．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点．
(1)求m的值；
(2)当时，求y的取值范围；
(3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点代入求解即可；
（2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答；
（3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可．
【详解】（1）解：由题意：将点代入可得：
，解得：．
（2）解：由（1）可得二次函数为，
∴当时，y取最小值为．
又∵当时，；当时，，
∴当时，y的取值范围为．
（3）解：由题意，∵二次函数为，
∴可设向右平移后得到的新函数为．
∴新抛物线的对称轴是直线，
①当时，即，
又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）；
若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去），
∴．
②当时，即，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，则或，均不合题意，舍去．
综上，．
答：平移的距离为3．
1．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．顶点在x轴的上方
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误，
当时，，因此图象经过原点，故C正确；
故选：C．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键．
设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，根据抛物线在对称轴右侧的增减性可得即可得到结果．
【详解】解：设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，
二次函数，
抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，
，
，
故选：．
3．（2025·江苏无锡·模拟预测）请写出一个顶点在x轴上开口向下的抛物线的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式．
根据题意，抛物线是形式，值为负即可．
【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负，
∴符合条件的抛物线解析式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
4．（2025·江苏泰州·一模）将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将二次函数解析式化为顶点式，先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则求出平移后的解析式，由此即可得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为，
∴将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
5．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图象上，则 （填“>”，“
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据点，在二次函数的图象上，分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在二次函数的图象上，
∴，
，
，
．
故答案为：>
6．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为，再求出点关于原点对称的点坐标为，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴绕原点O旋转点坐标为，
∴，
∴所得到的图象对应的函数表达式：，
故答案为：．
7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键．
过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解．
【详解】解：过作轴于点．
由题意可知，
，
∴由勾股定理得，，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得：，
故答案为：．
8．（2025·江苏苏州·一模）已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是二次函数图象上的两点，可知、是一元二次方程的两个解，根据一元二次方程根与系数的关系，可知，把代入二次函数的解析式，可得函数值．
【详解】解：，是二次函数图象上的两点，
、是一元二次方程的两个解，
整理可得：，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：，
，
．
故答案为：4．
9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，
∵，
∴，
二次函数的图象与轴交于正半轴，
，
，故①正确，
∵，
∴，故②正确，
∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故③正确，
∵，
∴，故④正确，
综上所述，其中正确的个数有4个，
故答案为：．
10．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式．
【详解】解：在直线上，
或B是抛物线的顶点，
的横坐标相同，
抛物线不会同时经过B、C点，
抛物线过点A和C两点，
把代入：
得，解得，
二次函数为
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为，
平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为．
故答案为：．
1．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法，根据绝对值的性质求出m、n的值，再根据判断出m、n的对应情况，再相加即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
则当时，的值随着n的增大而增大；
当时，；当时，；
∴当时，，
即．
只有D符合题意.
故选D．
2．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】要确定三点能否确定一个圆，需判断三点是否共线，若三点共线，则无法确定圆；否则可以确定唯一的圆，再结合所给函数图象与性质逐个判定即可得到答案．
【详解】解：①是直线，其图象上任意三点必然共线，无法确定圆，故①不满足题意；
②是抛物线，直线与抛物线最多有两个交点，因此抛物线上任意三点不共线，可以确定圆，故②满足题意；
③是反比例函数，图象为双曲线，直线与双曲线最多有两个交点，因此双曲线上任意三点不共线，可以确定圆，故③满足题意；
④图象上三点、和共线，在直线图象上，存在三点共线的情况，这三点无法确定圆，故④不满足题意；
综上所述，满足题意的是②③，
故选：B．
3．（2025·江苏苏州·三模）已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先求得，再根据各选项求解即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，
，，
，
A、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、若，，则，则，原说法正确，故本选项符合题意；
D、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江苏泰州·三模）若，且，，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解不等式，由，且，则，故有，结合题意可得，设，则，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴当时，，
∴，
选项符合题意，
故选：．
5．（2025·江苏泰州·二模）直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键．
选项A∶ 二次函数最小值为−1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立．
【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误；
选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：，
若，则，
将代入一次函数方程，
，故选项B正确；
选项C：条件即，
由一次函数方程，解得：，
当时，，即与符号相反：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项C错误；
选项D：条件即，
同理，由，得，即与符号相同：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项D错误；
故选：B．
6．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值4B．最大值7C．最小值4D．最小值7
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点，
∴，
∴，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴为直线
∴，
∴，
则二次函数，且
∴开口向上，对称轴为直线，
∴在时，最小值，
把代入，
得，
∴该二次函数有最小值7，
故选：D
7．（2025·江苏盐城·二模）已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解．
【详解】解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上，
点，到对称轴的距离分别为，，
，
，
解得：，
故选：C．
8．（2025·江苏扬州·一模）若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案．
【详解】解：∵点，，
∴点A与点B关于y轴对称；
由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意；
，
由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
故选：D．
9．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键．
由已知可得，将其代入得到，而，得到，再转化为二次函数求最值处理．
【详解】解：∵当时，该多项式的值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，当时，，
∴，
故选：A．
10．（2025·江苏无锡·一模）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．若，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．由已知可得，，把代入S的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵，，
∴
∴
由，得，
代入上式，得：
设，
∵
∴当时，y取得最大值4，
∴S的最大值为．
故选：A．
1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线D．当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选C．
3．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．以上结果都有可能
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
根据时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴是y轴，离对称轴越远函数值越大．
∵，
∴．
故选C．
4．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值．
【详解】∵抛物线可由平移得到，
又∵顶点坐标为，
∴抛物线为．
展开得，
故选：A。
5．（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是 （只需写出一个）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可．
【详解】解：给定抛物线的顶点为，
设另一抛物线方程为，则顶点坐标为，
根据题意，，
将点代入得，即，
将代入得，整理得，
由于顶点不同，则，故，即，
取，则，
故另一抛物线可以为，即．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．
【详解】解：由抛物线开口向下，可得；
由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；
由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；
综上可得，故①错误；
二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，
二次函数图象与轴另一个交点为，
则当时，，故②正确；
由可得，则，
又抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线有最大值，为，
则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；
由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，
关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，
当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；
综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，
故选：C．
7．（2025·贵州遵义·一模）如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴求出，即可判断①；求出，得到面积，即可判断②；当时，解得，由图像可知，不等式的解集为，即可判断③；根轴对称的性质结合图形即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴抛物线的对称轴为，
代入对称轴公式，得，①正确；
∴抛物线为
把代入，得，
∴抛物线为，
∴顶点，
令，得，解得，
∴
，
∴面积为，
故②正确；
对于③，不等式，即，
当时，
解得，
由图像可知，不等式的解集为；
故③错误；
对于④，可连接交对称轴于P，则此P点为所求的，
设解析式为，由、，
则
解得
，
当时，，
，
故④错误．
综上，正确的有①②共2个，
故选B．
8．（2025·四川广元·一模）抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
根据抛物线过点和顶点，可得对称轴，从而；由与y轴交点范围得且，进而求出的范围；再逐一判断各结论的正确性．
【详解】∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标，
∴对称轴，即，
代入A点坐标：，
结合，得，
∵与y轴交点在和之间，
∴，
解得；
结论①：，
∵，
∴，即，故①正确；
结论②：抛物线开口向下，对称轴，
点距对称轴，点距对称轴，
∵，
∴，故②正确；
结论③：方程，
∵顶点为最大值，，
∴直线与抛物线无交点，方程无实根，故③错误；
结论④：，
代入，，
整理得，
∵且，
∴不等式恒成立，故④正确；
结论⑤：由解析得，故⑤正确．
综上，正确结论有4个．
故选：D．
9．（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次函数，一元二次方程，不等式的相关知识逐项判断即可．
【详解】解：①抛物线开口向上，
，
当时，，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
故结论①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
则，
，
故结论②错误；
③由图象知，当时，，
，
故结论③正确；
④抛物线对称轴为直线，
，
当时，，
即：
，
∴
故结论④正确；
⑤当时，取得其最小值，此时，
而当时，，
，
整理，得：，
故结论⑤正确；
综上，正确的结论有①③④⑤，共4个，
故选：C．
10．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质与代数式的符号判断，解题的关键是结合二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值等图象特征，分析系数及代数式的符号．
1． 根据开口方向、对称轴位置、与轴交点，判断、、的符号，分析①；
2． 结合对称轴的范围，推导的符号，分析②；
3． 根据时的函数值，分析③；
4． 结合时的函数值，推导时的代数式关系，分析④；
最后统计正确结论的个数．
【详解】解：由图象可知开口向下，则，
对称轴，可得，
图象与轴的交点在正半轴，则，
，故①正确；
由图象可知，
，
，
，
，故②不正确；
由图象可知当时，，即，故③不正确；
当时，，
，
，
当时，，
，
，故④正确，
故选：B．
11．（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移．
先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解．
【详解】原抛物线可化为，顶点为，
已知直线，当时，；当时，，
一次函数过点，，
，
平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位，
新的顶点为或，
当顶点为时，
，
，
，
，
；
当顶点为时，
，
，
，
，
，与 矛盾；
故．
故选：．
12．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)的取值范围为或
【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式；
②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值；
（2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，，
，两点关于抛物线的对称轴对称，，
∴对称轴为直线，
根据对称轴公式可知：，
，
∴，
把代入得：，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
②∵，
∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0，
∴把代入二次函数解析式得：，
∴，
∴二次函数解析式，
当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：，
∵，
∴由图象可知：只有当时，成立，
∴，
解得：，
当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：只有满足题意，
∴，
解得：；
当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意；
综上所述，的取值范围为或．
13．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上．
(1)当时，比较和的大小，并说明理由；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可；
（2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可．
本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
当时，点，，此时，，
故，，
故．
（2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，
根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为
；
故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，
由对于，都有，
故或，
解得或，
故t的取值范围是或．
14．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②或或
【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可；
（2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到．
由点在抛物线上求解m值即可；
（3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得．
抛物线的解析式为．
令，得．
解得．
点的坐标为．
（2）解：①，
．
令，得．
解得
．
设直线的解析式为．
将点代入，得．
直线的解析式为．
设点的坐标为（m，0）．
．
四边形是正方形，
．
．
当点在抛物线上时，
．
解得（不合题意，舍去），．
点的坐标为．
②，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
四边形是正方形，
．
当时，点在轴上方．
当点在抛物线上时，
如图1，此时点关于直线对称．
．
解得（不合题意，舍去）．
当点与点重合时，如图2．
此时．
解得（不合题意，舍去）．
的取值范围是．
当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时．
当点与点重合时，．
的取值范围是．
当时，点在轴下方．
当点与点重合时，如图4．
此时．
解得（不合题意，舍去）．
的取值范围是．
综上所述，的取值范围是或或．
15．（2025·湖北武汉·三模）抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标．
(2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标．
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)点是在一条定直线上，该直线的解析式为
【分析】（1）分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标；
（2）如图，过点作轴，交于点，根据，设，，分别根据点的坐标特征以及与所在直线的关系表示出和，进而得出，要使的值最小，即取最大值，根据函数的增减性判断即可，进而求出点的坐标．
（3）由题意知抛物线：， 联立方程求解即可得点坐标，根据中点坐标公式可得点坐标．设，，可得直线的解析式， 将点的坐标代入可得． 同理，求得直线的解析式，联立直线和直线的解析式可得点坐标，代入，整理比较系数之间的关系，判定点是否在一条定直线上．
【详解】（1）解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点，
当时，，
，
当时，得：， 解得或，
，．
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
，
，
设直线的解析式为，则有，
所以直线的解析式为，
设，
，
为抛物线上的点，
设，
设直线的解析式为，则有，
，
，
，
，
要使的值最小，即取最大值时，
，且随着的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
联立，解得，
点的坐标为，
即当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：点在一条定直线上．理由如下：
由题意知抛物线：，
联立，解得，，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为，
则 ， 解得，
直线的解析式为，
直线经过点，
，即．
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线 的解析式为 ，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
直线的解析式为，
联立 ，
直线与相交于点，
，
解得 ，即，
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得 ，解得，
当，时，无论、为何值时，等式恒成立，
点在定直线上．
即点是在一条定直线上，该直线的解析式为．
命题点一 二次函数的图象和性质
题型01 二次函数的图象与性质
题型02 二次函数图象与系数的关系
题型03 二次函数图象上点的坐标特征
命题点二 二次函数与几何变换
题型04 抛物线的平移问题
命题点三 二次例函数的最值
题型05 二次函数的最值问题
突破一 二次函数图象与系数的关系
突破二 二次函数与几何变换
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
二次函数的图象和性质
盐城T15
南通T10
徐州T18
连云港T24
淮安T25
南京T25
连云港T8
苏州T15
徐州T17
无锡T17
扬州T25
扬州T8
南京T25
淮安T26
泰州T14
无锡T18
无锡T27
能理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达式，包括一般式、顶点式和交点式。 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标 、最大（小）值等。
二次函数与几何变换
南京T26
常州T27
南通T7
无锡T9
镇江T12
徐州T7
无锡T6
二次例函数的最值
淮安T15
徐州T16
徐州T26
镇江T9
命题预测
2023 - 2025 年二次函数考查情况分析：
2023-2025 年江苏中考数学中，二次函数始终是核心必考模块，呈现 “基础全覆盖、综合重能力” 的稳定态势；基础题占比约 10%-15%、综合压轴题占比约 12%-18%，并强化几何融合、动态探究与实际应用的考查力度。
基础层题（选择/填空，2-3 分/题）对图象与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的考查（如 2023 常州卷、2025 苏州卷）。
解析式求解：待定系数法（一般式/顶点式/交点式，如 2024 盐城卷、2025 淮安卷）。与方程与不等式关联：判别式判断交点个数、函数值正负的 x 范围（如 2023 徐州卷、2025 南通卷）。综合题（解答压轴，10-12 分）；
与几何图形的融合：与三角形、四边形、相似形结合求面积/周长最值、存在性问题（如 2023 宿迁卷、2024 苏州卷 27 题）。动态探究问题：动点、平移/旋转/对称变换下的函数关系与临界值分析（如 2024 常州卷 28 题、2025 扬州卷 27 题）。
2026年中考数学关于二次函数命题预测：
强化 “代数推理”：多结论判断（如 a、b、c 符号，2a+b、a-b+c 等代数式正负）成为基础题热点；
动态探究升级：融合 “图形运动” 与 “函数变换”，要求分析运动轨迹与分段函数表达式；
跨模块融合：二次函数与一次函数、反比例函数、圆的小综合题可能出现，提升知识联动性；
备考建议：
夯实基础：熟练三种解析式转化，牢记图象性质与参数关系，强化多结论判断题训练。
突破综合：归纳几何综合的常见模型（如面积最值的铅垂高法、相似三角形的对应关系），总结分类讨论的切入点（如动点位置、图形形态）。
提升能力：加强动态问题的画图分析与临界值计算，训练实际问题的建模与定义域把控。
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a