六年级下期中复习5.1-7.3 优等生讲义 (6大考点精讲+压轴题)2026年沪教版数学六年级下册

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思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 比例的意义和基本性质，能熟练解比例、运用比例尺、按比例分配。
掌握 百分数的意义，解决折扣、成数、税率、利率、浓度等实际问题，理解连续变化中的单位“1”。
熟练运用 圆的周长、弧长公式，能处理滚动问题、捆扎绳长、扇形周长等复杂图形。
掌握 圆与扇形面积公式，会用割补法、差量法求组合图形面积，理解圆面积推导中的拼补关系。
理解 普查与抽样调查的适用场景，能分析条形统计图、扇形统计图并提取信息，进行数据推断。
体会 方程思想、数形结合、模型思想在分段计费、齿轮传动、经济优化、图形翻折等问题中的应用。
提升 综合应用比例、百分数、几何图形解决实际生活问题的能力，培养逻辑推理和创新意识。
✨ 核心思想：代数与几何融合，建模与数据分析并重，实际问题数学化。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、比例及其性质
1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫做比例，记作 a:b = c:d 或 ab=cd，其中a,d为外项，b,c为内项。
2. 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即 ad = bc。可用来解比例、判断能否组成比例。
3. 比例尺： 图上距离与实际距离的比。比例尺 = 图上距离 : 实际距离；实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。
4. 按比例分配： 把一个总量按照一定的比分配成几个部分，先求总份数，再求各部分的量。
5. 连比与比例链： 已知 a:b 和 b:c 可化为 a:b:c ，统一中间项的最小公倍数。
6. 比例应用题模型： 行程问题、工程问题、合金配比、齿轮传动比（转速比 = 齿数反比）等。
☆ 二、百分数
1. 百分数的意义： 表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分比或百分率。
2. 百分数与小数、分数互化： 小数点移动、约分等方法。
3. 常见百分率： 合格率、出勤率、含盐率、增长率等。
4. 折扣问题： 几折即十分之几或百分之几十；现价 = 原价 × 折扣。
5. 成数、税率、利率： 成数表示十分之几；利息 = 本金 × 利率 × 存期；个人所得税分段计税。
6. 浓度问题： 溶质质量/溶液质量 ×100% = 浓度；加盐、加水变化用方程或十字交叉法。
7. 利润问题： 售价 = 成本×(1+利润率)；降价涨价百分数连续变化要注意基准量。
☆ 三、圆的周长与弧长
1. 圆的周长： C=πd=2πr （π≈3.14）。
2. 弧长公式： l=nπr180 （n为圆心角度数）；或 l=n360×2πr。
3. 圆滚动问题： 圆沿直线滚动一周前进的距离等于圆的周长；多周滚动总路程 = 周数 × 周长。
4. 捆扎圆桶/易拉罐问题： 绳子长度 = 若干个圆弧段 + 直线段，常用外切圆公切线及弧长组合计算。
5. 扇形周长： 扇形周长 = 弧长 + 2×半径。
☆ 四、圆与扇形面积
1. 圆的面积： S=πr2；已知周长求面积 S=C24π。
2. 扇形面积： S=nπr2360 或 S=12lr（l为弧长）。
3. 环形面积： S=πR2−r2。
4. 面积中的割补法： 将不规则阴影转化为基本图形（扇形、三角形、矩形）的和差。
5. 等积变形： 利用面积相等建立方程求线段长或半径。
☆ 五、统计与概率初步
1. 调查方式： 全面调查（普查）适用于总体较少或关键数据；抽样调查适用于总体较大、具有破坏性等。
2. 简单随机抽样： 保证每个个体被抽到的机会均等。
3. 条形统计图： 直观表示数量多少；扇形统计图：表示各部分占总体的百分比；折线统计图：反映变化趋势。
4. 可能性（概率初步）： 等可能事件概率 P=目标结果数所有等可能结果总数。
☆ 六、综合实践与创新模型
1. 齿轮变速原理： 传动比 = 前齿轮齿数/后齿轮齿数；脚踏一圈，后轮转动圈数 = 传动比。速度 = 圈数×后轮周长。
2. 分段计费（个人所得税/提成）： 不同区间不同比例，逐段计算累加。
3. 等边扇形模型： 弧长 = 半径时，面积 = 12r2。
4. 翻折旋转路径长： 点经过的路径为圆弧，半径等于旋转半径，圆心角为旋转角。
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】比例及其性质（对应题1-12）
❤ 方法总结
判断比例： 利用比例基本性质，内项积等于外项积；或求比值是否相等。
比例尺计算： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，注意单位换算（cm→km）。
连比问题： 已知a:b和b:c，将b的数值统一为最小公倍数，得到a:b:c。
合金配比： 分别计算铜、锌总质量，再求新比；设每份质量法简化计算。
齿轮转速比： 主动轮与从动轮齿数比与转速成反比，利用比例关系求齿数比。
木板质量与面积： 均匀木板质量与面积成正比，可列比例方程求未知面积。
1．（2025春•上海校级期中）下列各数中，不能与1，14，2组成比例的是（ ）
A．8B．18C．12D．4
【分析】逆用比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积；据此逐项分析后找出不能与一、组成比例的一项即可．
【解答】解：A、因为1×2=14×8，所以8能与1，14，2组成比例；
B、因为1×14=2×18，所以18能与1，14，2组成比例；
C、因为1×12=2×14，所以12能与1，14，2组成比例；
D、因为4不能与1，14，2写成乘积相等式，所以不能与1，14，2组成比例．
故选：D．
【点评】此题考查比例的性质的灵活运用，关键是熟悉比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积的知识点．
2．（2025春•普陀区校级期中）5克盐溶解到45克水中，盐与盐水的比是（ ）
A．1：8B．1：9C．1：10D．5：45
【分析】理解题意，根据盐与盐水进行列比即可．
【解答】解：由题可知盐的质量是5克，水的质量是45克，则盐水的质量为45+5＝50克，故盐与盐水的比是：5：50＝1：10．
故选：C．
【点评】本题考查比的应用，理解题意是解题的关键．
3．（2025春•闵行区校级月考）王老师的电脑显示器分辨率为1920×1080，当她全屏浏览尺寸为400×400px（“px”表示像素）的图片时，由于不成比例（1920：1080≠400：400），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题．王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（ ）
A．1000×800pxB．1660×1242px
C．2560×1440pxD．1125×633px
【分析】由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，先通过计算将比例1920：1080化为最简比得到16：9，再逐个分析选项中给出的分辨率及其比例，若比例化简后与16：9相等则正确，否则错误，即可得出正确选项．
【解答】解：1920：1080＝16：9．
由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，
1000：800＝5：4≠16：9，比例改变，故A不符合题意；
1660：1242＝830：621≠16：9，比例改变，故B不符合题意；
2560：1440＝16：9，比例不变，故C符合题意；
1125：633＝375：211≠16：9，比例改变，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的应用，理解题意并掌握比例的化简是解题的关键．
4．（2025春•宝山区校级期中）在一幅比例尺为1：1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（ ）
A．55米B．10千米C．55千米D．5.5千米
【分析】根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可．
【解答】解：5.5×1000000＝5500000（厘米），
5500000厘米＝55千米．
故大桥的实际长度是55千米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，把单位换算为千米是解题的关键．
5．（2025春•上海期中）求比值：1小时40分钟：1.4小时＝ 25：21 ．
【分析】先统一单位，把两个时间都转换成分钟来计算，需要化简比值即可．
【解答】解：1小时40分钟＝100分钟，
1.4小时＝1.4×60分钟＝84分钟，
100：84＝25：21，
故答案为：25：21．
【点评】本题考查了求比值，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025春•上海校级期中）两块同样重量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的质量之比是2：5，另一块合金中铜与锌的质量之比是1：3，现将两块合金合成一块，则新合金中铜与锌的质量之比为 15：41 ．
【分析】设每块铜锌合金的重量为m，则第一块合金中铜质量为27m，锌的质量为57m，第二块合金中铜质量为14m，锌的质量为34m，两块合金合成一块，则新合金中铜的质量为27m+14m，锌的质量为57m+34m，根据比的意义，用两块合成一块时铜的含量比锌的含量，再化简即可．
【解答】解：设每块铜锌合金的重量为m，则第一块合金中铜质量为27m，锌的质量为57m，
第二块合金中铜质量为14m，锌的质量为34m，
故两块合金合成一块，新合金中铜与锌的质量之比为：(27m+14m)：(57m+34m)=1528m：4128m=15：41．
故答案为：15：41．
【点评】此题考查比的应用，关键是比的性质的应用．
7．（2025春•杨浦区校级期末）某一齿轮组合需要由齿轮A齿数（NGA）＝35，齿轮D齿数（NGD）＝42，拟定齿轮A与齿轮D的转速比要达到24：5，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮B齿数（NGB）＝a；齿轮C齿数（NGC）＝b，则a与b的比值为 4 ．
【分析】设齿轮A与齿轮D的转速分别为24m，5m，齿轮B和齿轮C的转速为n，根据“齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系”求得a，b的值，即可获得答案．
【解答】解：根据题意，可设齿轮A与齿轮D的转速分别为24m，5m，齿轮B和齿轮C的转速为n，
则有35×24m＝an，bn＝42×5m，
整理可得a=35×24mn，b=42×5mn，
所以，a：b=35×24mn：42×5mn=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例的应用，解题关键是结合‌齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系解题．
8．（2025春•闵行区校级月考）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 411 ．
【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，E号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图1中长方形的周长为8，求得x+y＝1，即可得出正方形A的周长，由图2求得FG＝2x+3y，根据图2中长方形的周长为13求得MN=132−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为2FG+2MN，计算即可得到答案．
【解答】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，
则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，
E号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，
由图1中长方形的周长为8，可得，2（x+y+2x+y）+2（x+y+y）＝8，
解得：x+y＝1，
∴正方形A的周长为4（x+y）＝4；
如图，
FG＝x+y+2x+y+y﹣x＝2x+3y，
∵图2中长方形的周长为13，
∴FG+FM=132，
∴FM=132−FG=132−(2x+3y)=132−2x−3y，
∴MN=FM−FN=132−2x−3y−(x+y)=132−3x−4y，
∴没有覆盖的阴影部分的周长为：2FG+2MN=2(2x+3y)+2(132−3x−4y)=13−2(x+y)=11，
∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为411．
故答案为：411．
【点评】此题考查比的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
9．（2025春•黄浦区期末）已知a：b＝2：3，b：c=1.5：23，求a：b：c．
【分析】由比例性质得b：c＝6：9，a：b＝9：4，即可求解．
【解答】解：由条件可得：b：c＝9：4，
a：b＝2：3＝6：9，
∴a：b：c＝6：9：4．
【点评】本题考查了比例化简，掌握比例化简的方法是解题的关键．
10．（2025春•浦东新区校级期中）已知x：y＝0.8：58，x：z=223：212.求
（1）x：y：z的值；
（2）若z﹣y＝40，求x的值．
【分析】（1）根据题意得出y=2532x，z=1516x，进而计算x：y：z的值；
（2）根据（1）可得y=2532x，z=1516x，结合z﹣y＝40得出532x=40，即可求解．
【解答】解：（1）由条件可得45y=58x，83z=52x，
即y=58x×54=2532x，z=52x×38=1516x，
∴x：y：z=x：2532x：1516x=32：25：30；
（2）∵y=58x×54=2532x，z=52x×38=1516x，
∴1516x−2532x=3032x−2532x=532x=40，
∴x=40×325=256．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2025春•闵行区校级月考）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5：6，中型车与小型车之比是4：11，小型车的通行费总数比大型车多270元．
（1）这天通过收费站的大型车、中型车和小型车各有多少辆？
（2）这天的收费总数是多少？
【分析】（1）本题先确定大型车：中型车：小型车＝10：12：33，然后列方程330k﹣300k＝270，求解出k＝9，然后即可求解；
（2）由（1）得到的大型车90辆，中型车108辆，小型车297辆，根据大型车30元，中型车15元，小型车10元，即可求解总费用；
【解答】解：（1）大型车：中型车＝5：6，中型车：小型车＝4：11，统一中型车比例的最小公倍数12，
∵大型车：中型车＝10：12（原比例×2），中型车：小型车＝12：33（原比例×3），
∴大型车：中型车：小型车＝10：12：33，
设大型车数量为10k，中型车12k，小型车33k，
∴小型车总费用为10×33k＝330k（元），
大型车总费用为30×10k＝300k（元），
∴330k﹣300k＝270，
解得k＝9，
∴大型车数量为10k＝10×9＝90（辆），中型车的数量为12k＝12×9＝108（辆），小型车的数量为33k＝33×9＝297（辆）；
（2）大型车收费：90×30＝2700元，
中型车收费：108×15＝1620元，
小型车收费：297×10＝2970元，
这天的收费总数是：2700+1620+2970＝7290元；
【点评】本题考查了比和比例的应用和一元一次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2025春•徐汇区校级期中）我国著名的农民数学家于振善爷爷曾遇到这样的问题：一张地图A，它的实际土地面积是48公顷，需要求出其中一块不规则部分B的实际土地面积．于振善爷爷想了一个方法，他找来一块厚薄均匀、质地相同的木板，将这张地图画在上面，并将画有这张地图的木板锯下来，称得木板质量是320克．他又将这张地图中的不规则部分也锯下来，称得木板质量是40克，这样其中不规则部分的实际土地面积就算出来了，是6公顷．
（1）根据题意，把表格填完整．
（2）分别算一算木块A和B的“木板质量”和“实际土地面积”的比值．
计算过程：
你的发现： 比值相等，为203 （用语言表述或式子表示）．
（3）如果当时将同一块木板上的另一块不规则图形锯下来后，称得木板质量为96克．那么这块不规则图形的实际土地面积是多少公顷？
【分析】（1）根据题中信息，把数据填入表格；
（2）分别用木块A、B的“木板质量”和除以“实际土地面 积”，求出比值，比较两个比值的大小，发现规律；
（3）根据“木板质量：实际土地面积＝面积为公顷的木板的质量”，列式解答即可．
【解答】解：（1）如下表，
故答案为：40，48；
（2）木板A：320：48=32048=203，
木板B：40：6=406=203，
∴我的发现是：比值相等，为203，
故答案为：比值相等，为203；
（3）这块不规则图形的实际土地面积是x公顷，
96：x=203
解得：x＝14.4，
答：这块不规则图形的实际土地面积是14.4公顷．
【点评】本题考查了比的应用，根据比的意义求出木板质量与实际土地面积的比值是解题的关键．
【考点2】百分数的实际应用（对应题13-24）
❤ 方法总结
连续涨跌： 设原价为“1”，最终价格 = (1+上涨%)×(1-下降%)，与1比较判断涨跌。
折扣求原价/现价： 便宜的钱 = 原价×(1-折扣)，现价 = 原价×折扣。
浓度问题： 加盐后溶质增加，溶液也增加；加水溶质不变。利用方程：原有盐+加盐 = 新浓度×(原溶液+加盐/水)。
个人所得税： 分段计算，每一段只对超出部分征税，先计算应纳税所得额 = 工资-起征点，再逐段乘税率。
百分数比较： “多百分之几” = (多出量)÷单位“1”×100%。
医疗报销： 个人负担超过免赔额部分按比例补偿，实际花费 = 总花费 - 补偿额。
13．（2025春•浦东新区校级月考）某商品11月份的价格比10月份上涨了10%，12月份又比11月份下降了10%．这种商品12月份的价格与10月份相比（ ）
A．涨了B．跌了C．不变D．无法确定
【分析】把10月份的价格看作单位“1”，可得11月份的价格是1×（1+10%），则12月份的价格是：1×（1+10%）×（1﹣10%），最后把10月份的价格和12月份的价格比较大小即可．
【解答】解：1×（1+10%）×（1﹣10%）
＝1×1.1×0.9
＝0.99，
则12月份的价格比10月份下降了1%，
所以这种商品12月份价格比10月份跌了，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】此题主要考查了百分数的应用，解答此题的关键是百分数混合运算的熟练掌握．
14．（2025春•虹口区校级月考）下列正确的有（ ）个．
①比的前后项可以取任意数；②将1克糖溶解在10克水中，则糖与糖水之比为1：10；
③比的前项和后项同时乘以一个相同的数，比值不变；④0.5：12化简后的比是1；
⑤某商品先降价20%，再涨价20%，最后售价降低了；⑥若a：b＝m：k，b：c＝k：n，则a：b：c＝m：k：n．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据百分数的应用，化简比，比的应用和比例的基本性质来解答．
【解答】解：比的后项不能为0，故①不符合题意；
将1克糖溶解在10克水中，则糖与糖水之比为1：11，故②不符合题意；
比的前项和后项同时乘以一个相同的数（0除外），比值不变，故③不符合题意；
0.5：12化简后的比是1：1，故④不符合题意；
某商品先降价20%，现价为1﹣1×20%＝80%；再涨价20%，现价为80%+80%×20%＝96%，96%＜1，最后售价降低了，故⑤符合题意；
若a：b＝m：k，b：c＝k：n，则a：b：c＝m：k：n，故⑥符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了百分数的应用，化简比，比的应用和比例的基本性质，解题的关键是根据它们的定义和性质来解答．
15．（2025春•闵行区校级月考）在含盐25%的盐水中加入25克盐和100克水，这时盐水的含盐率（ ）
A．等于25%B．小于25%C．大于25%D．无法判断
【分析】根据含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%，用25÷（25+100）×100%，求出新加入的盐水的含盐率，再判断即可．
【解答】解：根据含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%，可得：
后加入盐水的含盐率为：25÷（25+100）×100%
＝25÷125×100%
＝0.2×100%
＝20%，
∵25%＞20%，
∴这时盐水的含盐率大于20%，小于25%．
故答案为：B．
【点评】本题考查了求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题），理解两种不同浓度的同种溶液相混合，混合后的浓度要大于原来较小的浓度，小于原来较大的浓度是解题的关键．
16．（2024秋•浦东新区校级期中）一个玩具打九五折出售比原价便宜16元，求玩具打折后售价多少，正确列式是（ ）
A．16÷95%B．16÷（1﹣95%）
C．16×（1﹣95%）D．16÷（1﹣95%）×95%
【分析】将原价看作单位“1”，先用16除以（1﹣95%），求出原价；再用原价乘95%，即可求出这个玩具打折后的售价．
【解答】解：把原价看作单位“1”，则玩具打折后售价为：16÷（1﹣95%）×95%，
故选：D．
【点评】本题考查了百分数的应用，找准等量关系，列出算式是解题的关键．
17．（2025春•上海校级期中）学校去年共花21000元添置新图书，今年比去年经费增长了5%，为了让学生有更多好的图书可读，学校计划明年在今年的基础上再提高2个百分点，则明年的图书经费需 22491 元．
【分析】把去年的图书经费看作“1”，进而利用题意得出百分数解答即可．
【解答】解：把去年的图书经费看作“1”，根据题意可得，明年的图书经费＝21000×（1+5%）×（1+2%）＝22491（元），
故答案为：22491．
【点评】此题考查百分数的应用，关键是利用题意得出百分数解答．
18．（2025春•虹口区校级月考）自2018年10月1日起开始施行的《中华人民共和国个人所得税法》的个人所得税标准如下：
起征点：工资、薪金所得的个人所得税起征点为5000元/月．即月工资收入未达到5000元的，无需缴纳个人所得税．
税率：工资范围在5000﹣8000元（包含8000元）之间的部分，税率为3%；在8000﹣17000元（包含17000元）之间的部分，税率为10%；在17000﹣30000元（包含30000元）之间的部分，税率为20%；在30000﹣40000元（包含40000元）之间的部分，税率为25%；在40000﹣60000元（包含60000元）之间的部分，税率为30%；在60000﹣85000元（包含85000元）之间的部分，税率为35%；85000元以上的部分，税率为45%．
（在这里只考虑工资纳税，不考虑其它扣除和返还），已知东东爸爸本月税前月工资为15000元，根据以上信息，他本月税后工资为 14210 元．
【分析】利用他税后月工资＝他税前月工资﹣他月纳税金额，即可求出结论．
【解答】解：15000﹣[（8000﹣5000）×3%+（15000﹣8000）×10%]
＝15000﹣（3000×3%+7000×10%）
＝15000﹣（90+700）
＝15000﹣790
＝14210（元）．
故答案为：14210．
【点评】本题考查了百分数的应用，找到纳税的工资范围是解题的关键．
19．（2025春•长宁区校级月考）某工程队修建一条公路，当任务完成10%后，采用新设备，修路速度提高了20%，每天的工作时间缩短为原来的85%，结果167天完成，那么原计划 170 完成．
【分析】先求出采用新设备前后，其工作速度之比为50：51，再求出采用新设备前后，所用时间比为17：150，最后列式计算即可．
【解答】解：根据题意，采用新设备前后，其工作速度之比为：
1：[（1+20%）×85%]＝50：51，
采用新设备前后，所用时间比为：
（10%÷50）：（90%÷51）＝17：150，
原计划需要的天数为：
167×1717+150×110%=17×110%=170（天），
所以原计划170天完成，
故答案为：170．
【点评】本题主要考查了百分数的应用，关键是相关运算的熟练掌握．
20．（2025春•徐汇区校级月考）含盐率10%的盐水30千克，需加入 6 千克盐后，才能制成含盐率25%的盐水．
【分析】设需要加入x千克盐，再利用盐的质量除以盐水的质量列方程，再解方程即可．
【解答】解：设需要加入x千克盐，
则30×10%+x30+x×100%=25%，
解得：x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是百分数的应用，利用方程解决问题是解本题的关键．
21．（2025春•闵行区校级月考）为防治污染，保护和改善生态环境，自2024年1月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6c阶段（以下简称“标准”）．某型号汽车“标准”要求A类物质排放量不超过30mg/km，A、B两类物质排放量之和不超过60mg/km．已知该型号某款汽车的A、B两类物质排放量之和原为70mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了40%、B类物质排放量降低了30%．改进后A、B两类物质排放量之和为45mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
【分析】设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（70﹣x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解．
【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（70﹣x）mg/km，
根据题意得（1﹣40%）x+（1﹣30%）（70﹣x）＝45，
解得x＝40，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣40%）x＝24mg/km，
∵“标准”要求A类物质排放量不超过30mg/km，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．
【点评】本题考查了百分数的应用，解答时充分理解题意是解题的关键．
22．（2025春•浦东新区校级月考）今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，乐乐家要存20000元定期．爸爸妈妈有不同的方案．
（1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？
（2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期．到期可得利息多少？如果你是乐乐，你会支持谁的方案？
【分析】（1）根据本金乘以一年定期的利率，再加上本金乘以一年的年利率即可；
（2）用本金乘以两年期年利率乘以2即可得到利息．
【解答】解：（1）20000×1.8%+20000（1+1.8%）×1.8%＝360+366.48＝726.48（元），
答：两年一共可得726.48元利息；
（2）20000×2.15%×2＝430×2＝860（元），
∵860元＞726.48元，
答：到期可得利息860元，如果我是乐乐，我会支持爸爸的方案．
【点评】此题考查百分数的应用，关键是掌握百分数利率问题的混合运算．
23．（2025春•松江区校级月考）疫情期间，很多外地患者不能来到医院就医，大家通过网络医疗平台，进行远程问诊．一位医生，上午接待了36为患者，是下午接待患者人数的80%．
（1）这位医生全天共接待了多少位患者？
（2）他下午接待的患者人数比上午接待人数多百分之几？
（3）李奶奶就是当天远程问诊接待的患者之一，由于病情较为复杂，需要住院治疗，李奶奶先后住院治疗两次，第一次住院花费4200元，比第二次花费的费用多20%，李奶奶家住农村，参加了新农合医疗保险，两次出院回家后都分别申请了报销，按照保险条款规定，个人住院费用超过400元的部分，国家按45%给予补偿，李奶奶最终一共实际花费医药费多少钱？
【分析】（1）根据上午接待了36位患者，是下午接待患者人数的80%，求出下午接待患者人，再运用加法求出这位医生全天共接待的患者数量；
（2）运用下午的人数减去上午的人数，再将其除以上午的人数，即可作答；
（3）再根据“个人住院费用超过400元的部分，国家按45%给予补偿”进行列式，分别算出第一次和第二次住院报销后的费用，再将其相加，计算即可作答．
【解答】解：（1）依题意，下午接待患者人数36÷80%＝45（人），
45+36＝81（人），
∴这位医生全天共接待了81位患者；
（2）45﹣36＝9（人），
9÷36×100%＝25%，
∴他下午接待的患者人数比上午接待人数多25%；
（3）第一次住院：（4200﹣400）×（1﹣45%）+400＝2490（元），
第二次住院：4200÷（1+20%）＝3500元（3500﹣400）×（1﹣45%）+400＝2105（元），
共计：2105+2490＝4595（元）．
【点评】本题考查了含百分数的应用，根据题意列式计算是解题的关键．
24．（2025春•徐汇区校级月考）西南位育附属实验学校创办于2019年，2024年3月转型为九年一贯制学校并正式更名，未来将会有小学初中共九个年级．为了提升教学条件，满足学校未来发展，学校决定新修一座教学楼．该教学楼的建设工程分三个阶段进行：基础建设、主体施工、内部装修．在内部装修墙面粉刷过程中，第一周完成了粉刷工程的25%，第二周完成的比第一周多20%．已知第二周比第一周多完成了60平方米的墙面粉刷工作，这栋教学楼总的墙面粉刷面积是多少平方米？
【分析】根据题意，用60÷（1+20%）求出第一周完成的粉刷量，再除以25%，求出即可．
【解答】解：60÷（1+20%）÷25%＝60÷1.2÷0.25＝200（平方米），
答：这栋教学楼总的墙面粉刷面积是200平方米．
【点评】本题考查百分数的应用，掌握百分数的应用是解题的关键．
【考点3】圆的周长与弧长（对应题25-34）
❤ 方法总结
半径与周长关系： 半径扩大k倍，周长扩大k倍（C=2πr）。
圆滚动距离： 圆从一点滚动到另一点，圆心经过的距离 = 滚动周数×周长；若求挡板间距离，需加上或减去半径（视起点/终点接触点）。
弧长公式： l=nπr180，已知弧长和半径可求圆心角。
扇形周长： C扇=l+2r。
捆扎绳长： 正方形排列4个圆，一圈绳长 = 4条直径 + 一个圆的周长（四个90°弧合成一个整圆）。
三角形滚动路径： 顶点经过的路径为若干段圆弧，分别确定圆心和半径，弧长之和。
25．（2025春•崇明区期中）如图，4个正方形的边长相等，那么其中阴影部分周长相等的图形是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据圆的周长及正方形的周长公式分析即可得解．
【解答】解：①和②阴影部分周长是圆的周长与正方形周长的和；③阴影部分周长是圆的周长与正方形周长一半的和；④阴影部分周长是圆的周长，
∴阴影部分周长相等的图形是①②．
故应选：A．
【点评】本题考查圆的周长，关键是善于观察图形和组合图形．
26．（2022秋•浦东新区校级期末）圆的半径扩大为原来的4倍，则（ ）
A．周长扩大为原来的16倍
B．周长扩大为原来的4倍
C．周长扩大为原来的2倍
D．周长不变
【分析】根据题意，可设圆的半径为r，那么根据圆的周长公式可计算出原来圆的周长与扩大后的圆的周长，最后再用扩大后的周长除以原来的周长，即可得到答案．
【解答】解：设原来圆的半径为r，
圆的周长为：2πr，
半径扩大为原来的4倍后，圆的半径为4r，
圆的周长为：8πr，
周长扩大到原来的：8πr÷2πr＝4；
答：周长扩大为原来的4倍．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的周长，解答此题的关键是设原来圆的半径，然后再根据圆的周长公式进行计算即可．
27．（2025春•闵行区校级月考）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为3cm的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周．甲、乙两块挡板之间的距离是（ ）cm
A．62.52B．59.52C．56.52
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，把数据代入公式求出这个圆的周长，甲、乙两块挡板之间的距离等于这个圆的周长的3倍加上半径的2倍，据此解答．
【解答】解：根据圆的周长公式C＝2πr可得：
2×3.14×3＝18.84（厘米），
甲、乙两块挡板之间的距离等于这个圆的周长的3倍加上半径的2倍可得：
18.84×3+3×2
＝56.52+6
＝62.52（厘米），
即：甲、乙两块挡板之间的距离是62.52厘米．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的周长公式的灵活运用，熟练掌握计算公式是关键．
28．（2025春•浦东新区校级期中）已知扇形的圆心角为72°，弧长为6.28厘米，则这个扇形的周长为 16.28 厘米．（π取3.14）
【分析】设这个扇形的半径为r厘米，根据弧长公式可得r的值，即可求解．
【解答】解：根据弧长公式，设这个扇形的半径为r厘米，
72×3.14r180=6.28，
∴r＝5，
∴扇形的周长为6.28+5+5＝16.28（厘米）．
故答案为：16.28．
【点评】本题主要考查了弧长．熟练掌握弧长公式是关键．
29．（2025春•松江区期末）为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要 71.4 厘米的绳子．（接头处忽略不计）
【分析】圆周长公式是：C＝πd或C＝2πr，捆一圈至少需要的绳子长度＝一个圆的周长+4个半径长×2，代入数据计算即可．
【解答】解：2×3.14×5+4×5×2
＝31.4+40
＝71.4（厘米）．
答：捆一圈至少需要71.4厘米的绳子．
故答案为：71.4．
【点评】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周公式是解决本题的关键．
30．（2025春•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝2，AC＝1．将△ABC沿着直线l作顺时针方向的滚动．△ABC到△A′B′C′的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点A经过的路程长为 13π2 （结果保留π）．
【分析】先求出△ABC到△A′B′C′的位置叫做“滚动了一周”点A经过的路程长，再乘以3即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝2，AC＝1．如图，△ABC到△A′B′C′的位置叫做“滚动了一周”，点A所经过的路程为AM，MA′的长度和，
由旋转可知，B′M＝B′A′＝AB＝2，AC＝MC＝1，∠ACM＝90°，
∠MB′A′＝180°﹣30°＝150°，
∴△ABC′滚动了一周，点A所经过的路程为90π×1180+150π×2180=13π6，
∴△ABC在滚动了3周之后，点A经过的路程长为 13π6×3=13π2，
故答案为：13π2．
【点评】本题考查了求扇形的弧长，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式．
31．（2025春•闵行区校级期末）如图，圆的周长是20cm，圆的面积与长方形的面积正好相等，则阴影部分的周长是 2.5 dm．
【分析】根据圆的周长公式求出圆的半径，从而根据圆与长方形的面积相等求出长方形的长，进而根据阴影部分的周长=14圆的周长+长方形的长的2倍计算即可．
【解答】解：圆的半径为20÷2π=10π（cm），
长方形的长为π（10π）2÷10π=10（cm），
（20×14+10×2）×110=2.5（dm），
∴阴影部分的周长是2.5dm．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查弧长，掌握圆的周长、面积与长方形面积计算公式是解题的关键．
32．（2025春•黄浦区期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留π）
【分析】圆的周长计算公式，根据阴影部分的周长＝外部大圆周长的一半+外部大圆的直径+内部小圆的周长计算即可．
【解答】解：12π×16+16+8π＝16π+16，
∴阴影部分的周长为16π+16．
【点评】本题考查弧长，掌握圆的周长计算公式是解题的关键．
33．（2025春•虹口区校级月考）图形计算．（π取3.14）
（1）计算图形1阴影部分的周长．（π取3.14）
（2）如图2所示，若甲的面积比乙的面积大7cm2，求BC的长．（π取3.14）
【分析】（1）根据图形可知AB＝BC＝CD＝DE＝BE＝8cm，求出弧AB的长即可；
（2）由甲的面积比乙的面积大7cm2，可转化为半圆面积比直角三角形ABC的面积大7cm2，由圆面积、三角形面积公式即可求出BC即可．
【解答】解：（1）如图1，由题意可知，AB＝BC＝CD＝DE＝BE＝8cm，
弧AB的长为14×（2×3.14×8）＝12.56（cm），
所以阴影部分的周长为12.56+8×4＝44.56（cm），
答：阴影部分的周长为44.56cm；
（2）如图2，甲的面积比乙的面积大7cm2，
所以（甲+丙）的面积比（乙+丙）的面积大7cm2，
即半圆面积比直角三角形ABC的面积大7cm2，
所以3.14×（202）2×12−12×20×BC＝7，
解得BC＝15，
答：BC＝15cm．
【点评】本题考查弧长，圆面积、三角形面积，掌握弧长、圆面积、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
34．（2025春•闵行区校级期末）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？
【分析】根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长求解即可．
【解答】解：根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长可得：
（7×4+3.14×7）×4
＝（28+21.98）×4
＝49.98×4
＝199.92厘米，
答：捆4圈至少用绳子199.92厘米．
【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．
【考点4】圆与扇形面积（对应题35-46）
❤ 方法总结
面积比： 圆的面积比等于半径平方比；大圆半径是小圆直径，则面积比4:1。
长方形内最大圆： 直径等于宽，面积 = π宽/22。
半径扩大倍数： 面积扩大平方倍。
增加面积求半径： 由 S新−S原=ΔS 列方程解半径。
圆拼成长方形： 长方形周长比圆周长多2r，据此求半径。
阴影面积差： 利用 S1−S2=S1+S空白−S2+S空白 转化为规则图形差。
运动场面积： 长方形 + 圆（两个半圆合为一个圆）；跑道面积 = 大圆面积 - 小圆面积 + 大长方形 - 小长方形。
旋转喷头浇灌： 固定点浇灌面积为圆面积；沿正方形轨道运动，浇灌区域为圆并集的包络线（四个半圆加中间正方形）。
35．（2025春•宝山区校级期中）一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（ ）
A．12B．14C．16D．18
【分析】假设大圆的半径是2，那么小圆的半径就是2÷1＝1，再根据圆的面积公式进行计算即可．
【解答】解：假设大圆的半径是2，
那么小圆的直径也是2，小圆的半径就是2÷2＝1，
大圆的面积是：π×22＝4π，
小圆的面积是：π×12＝π，
则小圆面积是大圆面积的：π÷(4π)=14．
答：小圆面积是大圆面积的14．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的面积和圆的认识，熟练运用圆的面积公式是解决本题的关键．
36．（2025春•上海校级期中）在一个长为8cm，宽为6cm的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个长方形面积的（ ）
A．π16B．3π16C．π8D．3π8
【分析】求出最大圆的直径，求出圆的面积和长方形的面积再作比值．
【解答】解：根据题意知，这个圆的直径为6cm，
∴圆的面积为：πr2＝π×（62）2＝9π（cm2），
长方形的面积为8×6＝48（cm2），
∴9π48=3π16，
∴这个圆的面积占整个长方形面积3π16，
故选：B．
【点评】本题考查圆的面积，关键是掌握圆的面积公式．
37．（2025春•嘉定区校级期中）一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作S圆、正方形的面积记作S正，下列结论正确的是（ ）
A．S圆＞S正B．S圆＝S正C．S圆＜S正D．不能比较
【分析】根据圆及正方形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
令圆的半径长为1，
则正方形的边长为2，
所以S圆＝π×12＝π，S正＝22＝4，
所以S圆＜S正．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆的面积，熟知圆及正方形的面积公式是解题的关键．
38．（2025春•徐汇区校级期中）若一个圆的半径扩大为原来的3倍，则它的周长与面积分别扩大为原来的（ ）
A．3倍，3倍B．3倍，6倍C．6倍，3倍D．3倍，9倍
【分析】设原来圆的半径为r，则圆的周长为：2πr，圆的面积为πr2，半径扩大3倍后，圆的半径为3r，圆的周长为6πr，圆的面积为（3r）2π＝9πr2，由此分析即可得出答案．
【解答】解：设原来圆的半径为r，则圆的周长为：2πr，圆的面积为πr2，
半径扩大3倍后，圆的半径为3r，
则圆的周长为6πr，圆的面积为（3r）2π＝9πr2，
周长扩大到原来的：6πr÷2πr＝3倍，
面积扩大到原来的：9πr2÷πr2＝9倍，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的面积与周长计算．熟练掌握该知识点是关键．
39．（2025春•嘉定区校级期中）一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么新花坛的半径长是 5 米．（π取3.14）
【分析】先利用圆的面积公式求得原来花坛的面积，再求得扩大后花坛的总面积，再结合面积公式即可求解．
【解答】解：原来花坛的面积＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方米），
扩大后花坛的总面积＝50.24+28.26＝78.5（平方米），
而78.5÷3.14＝25（米），5×5＝25（米），
将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么则新花坛的半径为5米，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用．牢记圆的面积公式S＝πr2是解决问题的关键．
40．（2025春•徐汇区校级月考）把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加10cm，那么，这个圆的面积是 78.5 cm2．（π取3.14）
【分析】根据题意可得圆的半径为 10÷2＝5cm，再根据圆的面积公式计算即可求解．
【解答】解：由题意得：圆的半径为10÷2＝5cm，
∴3.14×52＝78.5cm2，
故答案为：78.5．
【点评】本题考查了圆的面积，根据题意求出圆的半径是解题的关键．
41．（2025春•浦东新区校级期中）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米，则圆的面积是 16π 平方厘米．（结果保留π）
【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了8厘米，是因为近似的长方形的周长比圆的周长多了圆的两个半径．据此可求出圆的半径，然后求圆的面积即可．
【解答】解：由条件可知圆的半径为8÷2＝4厘米，
所以圆的面积为π×4×4＝16π平方厘米，
故答案为：16π．
【点评】本题主要考查了圆的面积公式推导以及求圆的面积，根据题意求出圆的半径是解答本题的关键．
42．（2025春•闵行区期中）已知线段AB＝20cm，中点为O，以点O为圆心、OA为半径作半圆，得到扇形AOB：以A为圆心、AB为半径作弧BC，连接AC，得到扇形BAC，已知∠CAB＝36°，则S1﹣S2＝ 31.4 cm2．
【分析】S1﹣S2＝（S1+空白面积）﹣（S2+空白面积）＝扇形AOB得面积﹣扇形BAC得面积，扇形的面积公式是：S=n360πr2，代入数据计算即可．
【解答】解：因为AB＝20cm，
所以OA＝OB＝20÷2＝10（cm），
S1﹣S2
=12×3.14×102−36360×3.14×202
＝157﹣125.6
＝31.4（cm2）．
故答案为：31.4．
【点评】本题考查了圆的面积，熟练运用扇形的面积公式是解决本题的关键．
43．（2023秋•杨浦区期末）如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 1：4 ．
【分析】分析图形，发现非阴影部分的面积之和是阴影部分的面积之和的3倍，那么大圆面积等于阴影部分的面积之和的4倍．
【解答】解：分析图形，发现非阴影部分的面积之和是阴影部分的面积之和的3倍，那么大圆面积等于阴影部分的面积之和的4倍．
那么阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是圆的面积，关键在于分析图形，找到阴影部分的面积之和与大圆面积的关系．
44．（2025春•长宁区校级期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留π）
【分析】利用整体的思想方法和圆的周长公式与面积公式解答即可．
【解答】解：由题意得：阴影部分的周长为4个小圆的周长之和，
∵每个圆的半径都是1厘米，
∴阴影部分的周长为4×2×π×1＝8π（厘米），
添加如图所示的辅助线，
则图中大正方形外部的8个小弓形补到中间空白部分，拼成1个大正方形，
∴阴影部分的面积＝边长为22厘米的正方形的面积，
∴阴影部分的面积＝22×22=8（平方厘米）．
答：阴影部分的周长为8π厘米，面积为8平方厘米．
【点评】本题主要考查了圆的有关计算，正确利用整体的思想方法解答是解题的关键．
45．（2025春•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制．
（1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？
（2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？
【分析】（1）求出半径是11米的圆面积即可；
（2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案．
【解答】解：（1）∵某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，
∴122π＝144π（平方米），
答：能够浇灌的最大面积是144π平方米；
（2）正方形轨道中，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图：
∵“自动旋转喷头”射程为12米，
∴AE＝AG＝12米，
∴S扇形AGE=π×1224=36π（平方米），S矩形ADFE＝20×12＝240（平方米），S正方形ABCD＝202＝400（平方米），
∴36π×4+240×4+400＝（144π+1360）（平方米），
答：能够浇灌的最大面积是（144π+1360）平方米．
【点评】本题考查了有关圆的应用，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用．
46．（2025秋•南岗区校级期中）某学校打算建设一个运动场，如图一，运动场的两端均是半径为30米的半圆形，中间是长为100米的长方形．（π取3）
（1）求这个运动场的面积是多少平方米？
（2）现打算在整个场地的外层铺设10米宽的跑道区域，如图二，求跑道区域的面积是多少平方米？
（3）若在（2）的条件下，跑道区域铺上塑胶材料，其余铺草坪．如果购买草坪每平方米的费用是购买塑胶材料每平方米费用的13，且购买草坪和塑胶材料费用之和是63万元，那么购买草坪每平方米费用是多少元？
【分析】（1）用一个长方形的面积加上一个圆的面积即可；
（2）用两个长为100米宽为10米的长方形面积加上一个半径为40米圆的面积再减去一个半径为30米的圆的面积即可；
（3）先求出塑料材料每平方的价钱，再求出草坪每平方米的价钱即可．
【解答】解：（1）100×（30+30）+π⋅302
＝6000+2700
＝8700（m2）．
答：这个运动场的面积是8700平方米．
（2）100×10×2+π×（10+30）2﹣π302
＝2000+4800﹣2700
＝4100（m2）．
答：跑道区域的面积是4100平方米．
（3）630000÷（8700÷3+4100）
＝630000÷（2900+4100）
＝630000÷7000
＝90（元）．
则草坪费用为13×90=30（元）．
答：购买草坪每平方米费用是30元．
【点评】本题主要考查了长方形和圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握长方形和圆形的面积公式，以及根据题意列算式求解的方法和步骤．
【考点5】统计与可能性（对应题47-53）
❤ 方法总结
普查 vs 抽样： 总体较小、无破坏性用普查；总体大或有破坏性用抽样，样本需随机且具有代表性。
调查方案合理性： 应覆盖不同群体，避免片面性（如只调查一个景区或一个年级）。
统计图表： 扇形统计图中百分比 = 部分量/总量×100%，圆心角 = 百分比×360°；条形统计图可直观比较数量。
数据分析： 已知百分比和部分量求总量，或已知总量求部分量。
调查步骤： 收集数据 → 整理数据 → 绘制统计图 → 分析数据。
47．（2026•郸城县校级一模）下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某校九年级3班体育中考的情况
B．调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命
C．调查全国中学生每天作业完成的时间
D．调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况
【分析】根据调查范围大小、调查是否具有破坏性，判断各选项是否适合采用普查即可．
【解答】解：根据调查范围大小、调查是否具有破坏性，判断各选项是否适合采用普查如下：
A、调查某校九年级3班体育中考情况，范围小，人数少，适宜采用普查，
B、调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查，
C、调查全国中学生每天作业完成时间，调查范围过大，不适宜普查，
D、调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况，调查范围较大，不适宜普查，
故选：A．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，正确进行计算是解题关键．
48．（2025秋•观山湖区期末）在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识的举握情况，小星制定了如下方案，你认为最合理的是（ ）
A．抽取乙校初一年级学生进行调查
B．在丙校随机抽取600名学生进行调查
C．随机抽取200名老师进行调查
D．在四所学校各随机抽取120名学生进行调查
【分析】要了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，则调查方案需要具有代表性和合理性；接下来可得应选用随机抽样，据此解答即可．
【解答】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调查最具有具体性和代表性．
∴最合理的是在四个学校各随机抽取120名学生进行调查．
故选：D．
【点评】此题考查抽样调查，关键是理解抽样调查的具体性和代表性．
49．（2025秋•儋州期末）为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：
方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；方案二：在云龙湖景区随机调查400名游客；方案三：在戏马台景区随机调查400名游客；方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客．在这四种调查方案中，最合理的是（ ）
A．方案一B．方案二C．方案三D．方案四
【分析】根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，应在上述四个景区各随机调查400名游客．
故选：D．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集的方式是解题关键．
50．（2025春•青秀区校级期末）某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（单位：辆）占当季度汽车产量（单位：辆）百分比的统计图如图所示．若第一季度的汽车销售数量为2100辆，则该季度的汽车产量为 3000 辆．
【分析】由折线统计图可知，第一季度汽车销售数量占当季汽车产量的70%，可以利用除法求出第一季度的汽车销售量为2100辆时，该季的汽车产量．
【解答】解：由折线统计图可知第一季度的产量为：
2100÷70%＝3000（辆），
所以第一季度的产量为3000辆．
故答案为：3000．
【点评】本题考查折线统计图的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
51．（2025春•玉田县校级月考）某校新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计步骤：
①绘制扇形统计图；
②收集最受学生欢迎菜品的数据；
③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；
④整理所收集的数据．
则正确调查统计的顺序是 ②④①③ （填序号）．
【分析】根据调查统计的步骤，即调查过程的先后顺序进行解答即可．
【解答】解：根据调查统计的步骤可知，正确调查统计的顺序是②④①③，
故答案为：②④①③．
【点评】本题考查调查收集数据的过程与方法，掌握调查统计的步骤，即调查过程的先后顺序是正确解答的关键．
52．（2026•黑龙江校级开学）某学校为了学生的身体健康，每天开展体育活动一小时，开设排球、篮球、羽毛球、体操课．学生可根据自己的爱好任选其中一项，老师根据学生报名情况进行了统计，并绘制了下面尚未完成的扇形统计图和条形统计图，请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该校学生报名总人数有多少人？
（2）报名排球比报名篮球的人数多百分之几？
（3）将两个统计图补充完整．
【分析】（1）利用体操项目的人数及其在扇形统计图中的百分比，通过“部分量÷对应百分比＝总量”计算总人数；
（2）先确定排球和篮球的人数，再根据“（排球人数﹣篮球人数）÷篮球人数×100%”计算多的百分比；
（3）先计算排球、篮球的百分比，再计算羽毛球的人数（总人数×羽毛球百分比），进而补充条形统计图的高度和扇形统计图的百分比标注．
【解答】解：（1）∵160÷40%＝400（人），
∴该校学生报名总人数有400人；
（2）∵报名排球人数为100人，报名篮球人数40人，
∴（100﹣40）÷40×100%＝150%，
∴报名排球比报名篮球的人数多150%；
（3）扇形统计图中篮球占40÷400＝10%；
羽毛球占100%﹣25%﹣40%﹣10%＝25%；
条形统计图中羽毛球＝400﹣160﹣40﹣100＝100（人）．
补全统计图：
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
53．（2025•蕉城区开学）移动手机支付快捷高效．为了解人们平时在购买商品时最喜欢哪种支付方式，调研小组的同学在浠水商场对人们最喜欢使用的支付方式进行随机抽样调查（每人选择1种支付方式）．
（1）这次调查的总人数是多少人？
（2）请补全条形统计图．
（3）最喜欢使用微信支付的人数占总人数的百分之几？
（4）最喜欢使用支付宝和微信支付的比最喜欢使用现金支付的多多少人？
【分析】（1）根据选择支付宝支付的人数和所占的百分比，求出这次调查的总人数即可；
（2）求出微信支付的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）根据选择微信支付的总人数和调查的总人数，求出喜欢使用微信支付的人数占总人数的百分比即可；
（4）用最喜欢使用支付宝和微信支付的人数之和减去最喜欢使用现金支付的人数，即可得出答案．
【解答】解：（1）80÷40%＝200（人），
答：这次调查的总人数是200人；
（2）200﹣（80+20+10）＝200﹣110＝90（人），
（3）90200×100%=45%，
答：最喜欢使用微信支付的人数占总人数的45%．
（4）80+90﹣10＝170﹣10＝160（人），
答：最喜欢使用支付宝和微信支付的比最喜欢使用现金支付的多160人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，解题的关键是熟练掌握条形统计图和扇形统计图的特点．
【考点6】创新与综合应用（对应题54-60）
❤ 方法总结
浓度混合与加水： 混合后总糖量不变，加水后溶液增加，利用方程：混合后糖量 / (混合后总溶液+加水) = 目标浓度。
封面设计（二元一次方程）： 中央矩形与封面长宽比相同，利用面积占比列方程，注意舍去不符合实际的解。
分段提成： 根据业绩所在区间分段计算奖金；已知奖金反推业绩时，从最高段向下逐段扣除。
太阳能板与发电机： 实际发电量 = 额定发电量 × 效率，设未知数列方程组求解。
扇形面积公式推导： 类比圆面积 S=12Cr，扇形面积 S=12lr。
等边扇形： 弧长等于半径，面积 = 12r2。
翻折路径与扫过面积： 点A经过的路程是以旋转中心为圆心、半径为距离的圆弧；线段AC扫过的面积为扇形面积减去三角形面积。
变速自行车： 传动比 = 前齿数/后齿数，车速 = 踏频 × 传动比 × 后轮周长；上坡选小传动比（省力），下坡选大传动比（速度快）。
54．（2026春•杨浦区校级月考）有含糖15%的糖水20千克和含糖20%的糖水30千克，现将两种糖水混合，要使其浓度为10%，需加水多少千克？
【分析】加水稀释糖水的浓度，那么不变的量是糖的重量，先根据原来糖水的重量和浓度求出糖的总重量；再用糖的重量除以后来糖水的浓度求出后来糖水的总重量，再用后来糖水的总重量减去原来糖水的总重量即可求解．
【解答】解：（20×15%+30×20%）÷10%﹣20﹣30＝40（千克）．
答：需加水40千克．
【点评】本题考查与浓度相关的计算，先找出不变的糖的重量，再用糖的重量求出后来糖水的总重量是解题的关键．
55．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长28cm、宽20cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
问题1：依题可知正中央的长方形的长宽之比为 7：5 ；正中央的长方形面积是封面面积的 34 ．
请依据问题1的数量关系解决问题：
解：设正中央的长方形长宽分别为 7x cm、 5x cm．（依题意列方程求解．）
问题2：你还有其他的设法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．）
解：设上、下边衬的宽度是 7m cm，则左、右边衬的宽度是 5m cm．（依题意列方程求解．）
【分析】由封面长28cm、宽20cm，得正中央的长方形的长宽之比为7：5，故设正中央的长方形长宽分别为7xcm、5xcm．列方程为7x•5x=34×28×20，再计算即可．由正中央的长方形的长宽之比为＝7：5，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比＝7：5．设上、下边衬的宽度是7acm，则左、右边衬的宽度是5acm．列方程为：（28﹣7a×2）（20﹣5a×2）=34×28×20，再计算即可．
【解答】解：问题1：依题可知正中央的长方形的长宽之比为28：20＝7：5，
正中央的长方形面积是封面面积的34．
故答案为：7：5，34．
解法1：设正中央的长方形长宽分别为7xcm、5xcm．
故答案为：7x、5x．
列方程为：7x•5x=34×28×20，
∴x＝23，
∴正中央的长方形长宽分别为143cm、103cm．
∴上、下边衬=12（28﹣143）＝（14﹣73）cm，
左、右边衬=12（20﹣103）＝（10﹣53）cm．
问题2：依题可知正中央的长方形的长宽之比为＝7：5，
故上、下边衬与左、右边衬的宽度比＝7：5．
解法2：设上、下边衬的宽度是7acm，则左、右边衬的宽度是5acm．
故答案为：7a，5a．
列方程为：（28﹣7a×2）（20﹣5a×2）=34×28×20，
∴a＝2−3（a＝2+3舍去），
∴上、下边衬的宽度是（14﹣73）cm，则左、右边衬的宽度是（10﹣53）cm．
【点评】本题考查了比的应用，一元一次方程组的应用，理解题意并正确列出方程是解题关键．
56．（2026•泰和县校级一模）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为62.5%；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为80%．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度．
（1）第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？
（2）现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？
【分析】（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有x块，小型风力发电机有y组，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（2）先求解需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，再进一步列式计算即可．
【解答】解：（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有x块，小型风力发电机有y组，根据题意得，
x100×40×62.5%+y10×25×80%=602x100×40×62.5%+3y10×25×80%=150，
解得：x=120y=15，
答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组；
（2）∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致，
∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，
∵每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电缆，
∴360×2+45×3＝720+135＝855（m）电缆，即要满足这个供电需求，需要准备855m．
【点评】本题考查了百分数的应用，关键是相关运算的熟练掌握．
57．（2025春•道外区期末）某公司为了激励员工，制定了分段奖励机制，就是根据员工每个月的销售业绩按一定的百分比进行提成．具体方案如下：
普通员工每月的基本工资是2000元．
月业绩在10000元以下的（包括10000元），没有提成；
月业绩超过10000元的，提成如下：
A：超过的部分在0～10000元的（含10000元），超出部分按2%提成；
B：超过的部分在10000～50000元之间的（含50000元），按4%提成；
C：超过的部分大于50000元的，按6%提成．
根据以上奖金机制，回答下列问题：
（1）员工甲上个月的销售业绩是35000元，他将得到多少奖金？
（2）员工乙是上个月该公司的销售状元，销售业绩是20万元，他上个月的收入是多少？
（3）员工丙上个月得到的提成奖金是4200元，她上个月的业绩是多少？
【分析】（1）35000元大于10000元，计算超出部分的提成即可；
（2）销售业绩是20万元，根据各段业绩计算提成，再加上基本工资就是上个月的收入；
（3）分段计算各段奖金额，再根据奖金总额计算销售额即可．
【解答】解：（1）35000＞10000，
350000﹣10000＝25000（元），
（25000﹣10000）×4%+10000×2%
＝15000×4%+10000×2%
＝600+200
＝800（元），
答：他得奖金800元．
（2）20万＝200000，
200000﹣10000＝190000（元），
（190000﹣50000）×6%+（50000﹣10000）×4%+10000×2%
＝140000×6%+40000×4%+10000×2%
＝8400+1600+200
＝10000+200
＝10200（元），
10200+2000＝12200（元）．
答：他上个月的收入是12200元．
（3）10000×2%+（50000﹣10000）×4%
＝200+40000×4%
＝200+1600
＝1800（元），
（4200﹣1800）÷6%
＝2400÷6%
＝40000（元），
40000+50000+10000
＝90000+10000
＝100000（元）．
答：她上个月的业绩是100000元．
【点评】本题考查了百分数的应用，解题关键是注意提成部分在哪个奖励范围．
58．（2025春•浦东新区校级期中）阅读：乐乐同学在学习了圆的周长与面积的相关内容后发现：如果用S表示圆的面积，C表示圆的周长，r表示圆的半径，圆的面积公式可表示为S=12Cr．
理由如下：
解：因为S＝πr2＝π×r×r，
又因为C＝2πr，
即：πr=12C，
所以S=12C×r=12Cr．
（1）模仿：如果用S表示扇形的面积，l表示扇形的弧长，r表示扇形所在圆的半径，则扇形的面积公式可表示为S=12lr，请模仿乐乐的思路说明此公式的正确性．
（2）应用上述结论解决下列问题：
①定义：如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．如图，将周长为12的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AE为半径的“等边扇形”（忽略铁丝的粗细），则所得的等边扇形EAF的面积为 8 ．
②如图，已知圆O的周长与扇形OAB所对的弧长的比值为1，∠AOB＝120°，那么圆O的面积与扇形OAB的面积的比值为 13 ．
【分析】（1）设扇形的圆心角为n°，则S=nπr2360=nπr×r360，l=nπr180，即可得到S=180l×r360=12lr；
（2）①根据“等边扇形”的定义得到扇形EAF的弧长和半径都为12÷3＝4，再由题意中的扇形面积公式即可求解；
②设圆O的半径为r，扇形OAB的半径为R，圆O的周长与扇形OAB所对的弧长都为a，从而得到r=a2π，R=3a2π．根据题意中面积公式求出圆O的面积，扇形OAB的面积，进而求出比值即可．
【解答】解：（1）设扇形的圆心角为n°，
因为S=nπr2360=nπr×r360，
又因为l=nπr180，
即nπr＝180l，
所以S=nπr×r360=180l×r360=12lr．
（2）①由条件可知弧长和半径都为12÷3＝4，
∴由（1）可得等边扇形EAF的面积为12×4×4=8．
故答案为：8；
②设圆O的半径为r，扇形OAB的半径为R，设圆O的周长与扇形OAB所对的弧长都为a，
则a＝2πr，a=120πR180=23πR，
∴r=a2π，R=3a2π，
∴圆O的面积为12a×a2π=a24π，
扇形OAB的面积为12a×3a2π=3a24π，
∴圆O的面积与扇形OAB的面积的比值为a24π÷3a24π=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查圆的周长与面积公式，扇形的周长与面积公式．熟练掌握以上知识点是关键．
59．（2025春•浦东新区校级月考）小海同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形ABC是一个直角三角形，角ABC等于60°，边AB＝10厘米，BC＝20厘米，旗帜把手DC＝10厘米．
（1）如图，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留π）
（2）求边AC扫过的阴影面积；（结果保留π）
（3）如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 32a 厘米．（结果用含有a的式子表示）
【分析】（1）根据弧长公式进行计算即可；
（2）根据扇形面积的计算公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可；
（3）利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图3，点A所经过的路线是以点B为圆心，以AB为半径，圆心角为120°的弧长，即120π×10180=20π3（厘米）；
（2）S阴影部分＝S扇形BCF+S△BEF﹣S△ABC﹣S扇形BAE
＝S扇形BCF﹣S扇形BAE
=120π×202360−120π×102360
＝100π（平方厘米），
答：边AC扫过的阴影面积为100π；
（3）设旋转角的度数为n°，则点C经过的路程为a=nπ×20180厘米，
点D经过的路程为nπ×20180=nπ×20180×32=32a（厘米），
故答案为：32a．
【点评】本题考查弧长、扇形面积的计算，掌握弧长公式、扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
60．（2025春•浦东新区校级期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘请阅读材料，并完成下列问题：
材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果．
材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力．
已知小明的自行车前齿轮齿数为48、36，后齿轮齿数为16、20、24、28、32，后轮直径60厘米．
（1）①计算传送比：前齿轮36齿：后齿轮32齿＝ 9：8 ；
②若要使传动比为1.5：1，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证．
（2）①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 36 ，后齿轮齿数为 32 ；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动 1.125 圈；
②小明以每分钟60圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留π）
（3）若想保持时速14.13千米，使用传动比2：1时，小明需每分钟蹬多少圈？
【分析】（1）①根据题意化简比，即可求解；
②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解；
（2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为16，进而根据前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数，即可求解；
②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算；
（3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解．
【解答】解：（1）①前齿轮36齿：后齿轮32齿＝9：8，
故答案为：9：8．
②前齿轮48齿，后齿轮32齿；前齿轮36齿，后齿轮24齿，
∵1.5：1＝3：2＝3×16：2×16＝3×12：2×12，
∴48：32＝36：24＝1.5：1．
（2）①明想在上坡时更省力，根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，
∴应选择前齿轮齿数为36，后齿轮齿数为32，
36÷32＝1.125，
∴此时踏脚蹬一圈，后轮转动3圈，
故答案为：36，32，1.125．
②小明的自行车前齿轮齿数为48、36，后齿轮齿数为16、20、24、28、32，
∴最小传动比为：36：32＝9：8，
最大传动比为：48：16＝3：1，
小明以每分钟60圈的速度蹬踏脚，
∴每分钟，后车轮前进的最少距离为：60100π×98×60=40.5π米，最大距离为：60100π×3×60=108π米，
∴自行车每小时行驶的最小距离为：40.5π×60＝2.43π千米，自行车每小时行驶的最大距离为：108π×60＝6.48π千米．
（3）14.13千米/小时=141300060=23550cm/min，
∵后轮直径60厘米，
∴后轮要转23550π×60≈235503.14×60=125圈，
∵传动比2：1，2×62.5＝125×1，
∴小明需每分钟蹬圈62.5圈．
【点评】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可．
知识点
核心公式/性质
应用方向
比例基本性质
a:b=c:d⇒ad=bc
解比例、判断成比例
比例尺
图上距离/实际距离 = 比例尺
地图测量、缩放模型
按比例分配
总量 × (部分份数/总份数)
利润分配、配料问题
连比化简
找b的最小公倍数统一
多量比例关系
齿轮传动比
传动比 = 前齿数/后齿数；转速比反比
变速自行车、机械传动
类型
关键公式
典型模型
折扣
现价 = 原价 × 折扣率
打折销售、节省问题
浓度
浓度 = 盐/(盐水) ×100%
加盐/加水，混合浓度
利率/税率
利息=本金×年利率×年数
储蓄、个税计算
百分数变化
单位“1”的转化
涨价降价、增长率
图形
面积公式
备注
圆
S=πr2
r为半径
扇形
S=n360πr2
n°圆心角
环形
S=πR2−r2
同心圆
木板质量
320克
40 克
实际土地面积
48 公顷
6公顷
木板质量
320克
40克
实际土地面积
48公顷
6公顷