【期末冲刺】选择+填空题满分讲义(5~9章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学六年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 比、比例、百分比的实际意义，掌握浓度配比、成活率、百分数应用题的解法。
掌握 圆的周长、弧长、扇形面积公式，能用“化曲为直”的方法推导圆面积公式，解决组合图形问题。
区分 全面调查与抽样调查，能根据数据特点选择统计图，并计算扇形圆心角及百分比。
熟练运用 圆柱侧面积、表面积和体积，圆锥体积公式，能解决等积变形、切面增加面积及漏水速率问题。
掌握 二元一次方程组的代入消元、加减消元，并灵活用于几何拼图、年龄问题、新定义（共轭方程组、矩阵）等实际情境。
✨ 核心思想：数形结合、方程思想、转化思想，选择题填空题答题规范与技巧。
知识梳理 · 核心知识点
1.比与比例
比的意义：两个数相除又叫两个数的比，比的后项不能为0。比例表示两个比相等的式子。
百分比(百分率)：表示一个数是另一个数的百分之几，如合格率、含糖率 = 糖质量÷糖水质量×100%。
比例的基本性质：内项积等于外项积。比例尺＝图上距离∶实际距离。
浓度配比：十字交叉法或方程解混合浓度问题。
易错警示：百分数表示倍比关系不能带单位；比值与化简比区分。
2. 圆与扇形
圆周长公式：C=2πr=πd
弧长公式：l=n360×2πr（n为圆心角度数）
圆面积公式：S=πr2
扇形面积：S扇=n360πr2 或 S扇=12lr
“化曲为直”推导面积：将圆等分拼成近似平行四边形，底边为圆周长一半，高为半径。
3. 可能性与统计图表
调查方式：全面调查(普查)适合总体较小时；抽样调查适合总体较大或具有破坏性。
统计图表：条形统计图直观比较数量；扇形统计图表示占比；折线图反映变化趋势。
可能性：确定事件与随机事件；概率初步（定性描述）。
4. 圆柱与圆锥
圆柱：侧面展开为矩形，侧面积 S侧=2πrℎ，表面积 S表=2πr2+2πrℎ，体积 V=πr2ℎ。
圆锥：体积 V=13πr2ℎ，沿高切开截面为等腰三角形，增加两个三角形面积。
等底等高：圆柱体积是圆锥的3倍。水中浸没问题可利用排水法求体积。
5. 二元一次方程组
解法：代入消元法、加减消元法，将二元化为一元。
应用：几何拼图（设小长方形长宽）、年龄问题（利用年龄差不变）、方案决策、新定义运算（共轭方程、矩阵表示）。
三元一次方程组的比例巧解：利用参数法或消元法求比值。
☑知识框架一览表
核心考点 ·5大典型考点精讲
☆ 考点一：比与比例的基本概念及百分率应用题 题1-11
? 方法总结
1-3题（比的后项、比例定义、百分数意义）：比的后项不能为0，比例必须两个比相等，百分数不能带单位；典型错误辨析。
2-5题（糖水浓度、成活率、比较甜度）：浓度=糖÷糖水；比较百分率大者更甜；成活率=成活数÷总数。
8题（浓度配比）：运用十字交叉法或方程：设原有25%盐水x克，5%盐水y克，根据混合前后盐质量相等列方程组。
10-11题（面积比与速度比）：利用公共部分建立比例关系，如阴影面积占大长方形的2/7、占小长方形的4/9 → 面积比；速度比=时间反比，注意“甲用时比乙少20%”转化为时间比。
? 策略：找不变量，明确单位“1”，活用方程或十字交叉。
1．（2026春•上海校级月考）下面说法正确的有（ ）个．
①一场球赛的比分是2：0，因此比的后项可以是0．
②由两个比组成的式子叫做比例．
③59既可以看作是一个分数，也可以看作是两个数的比．
④一包糖重39100千克，也就是39%千克．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据比的定义，比、分数、除法之间的关系进行分析即可．
【解答】解：①一场球赛的比分是2：0，与数学中比的意义不同，比的后项不可以是0，说法错误；
②由两个比组成的等式叫做比例，而由两个比组成的式子，两个比的比值不一定相等，所以不叫比例，说法错误；
③59=5÷9，所以59既可以看作是一个分数，也可以看作是两个数的比，说法正确；
④百分数表示一个数是另一个数的百分之几，是一种关系，不能带有单位，因此一包糖重39100千克，不能说成39%千克，说法错误；
故选：A．
【点评】本题考查比的意义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（2026春•上海校级月考）聪聪想喝一杯含糖25%的糖水，现在他在60克水中放了10克糖，要想喝到这样的糖水，他应再（ ）
A．加入5克糖B．加入10克水和10克糖
C．加入10克糖D．加入20克水和10克糖
【分析】现在他在60克水中放入了10克糖，则此时糖水总重为10+60＝70克，根据分数的意义，此时糖水含糖率为14.3%＜25%，所以应加入糖，又含糖率为25%的糖水，含水率为1﹣25%，根据分数除法的意义，含水60克糖水总重是60÷75%＝80克，则应加入糖80﹣70＝10克．
【解答】解：10÷（10+60）
＝14.3%，
因为14.3%＜25%，
所以应加入糖．
60÷（1﹣25%）﹣（10+60）
＝80﹣70
＝10（克），
故选：C．
【点评】本题考查了百分数的应用，根据已知条件求出原有糖水的含糖率是完成本题的关键．
3．（2026春•上海校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．汽车配件厂每天生产汽车零件，其零件的合格率为105%
B．在含糖7%的糖水中糖和水的比是7：100
C．植树节种树苗120棵，成活了84棵，本次树苗的成活率为70%
D．某校六年级学生中，若男生比女生多20%，则女生比男生少20%
【分析】需要结合合格率、比例的概念逐一验证选项，明确不同情境下百分比的单位“1”．
【解答】解：A、合格率是合格零件数占总零件数的百分比，最大值为100%，不可能超过100%，原说法错误，不符合题意；
B、含糖7%指糖占糖水总质量的7%，若糖水为100份，则糖为7份，水为100﹣7＝93份，糖和水的比是7：93，不是7：100，原说法错误，不符合题意；
C、成活率=成活棵数总种植棵数×100%，代入得84120×100%=70%，正确，符合题意；
D、设女生人数为单位“1”，则男生人数为1×（1+20%）＝1.2；女生比男生少的百分比为1.2−11.2≈16.7%≠20%，百分比的单位“1”改变，结果不同，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是比的应用，百分数的应用，明确不同情境下百分比的单位“1”是解题的关键．
4．（2026春•杨浦区校级月考）一根铁丝剪成两段，第一段长58m，第二段占全长的62.5%，哪一段铁丝更长一些（ ）
A．两段铁丝一样长B．第一段
C．第二段D．无法确定
【分析】求出第一段占全长的百分比并与第二段占全长的百分比比较大小即可得出结论．
【解答】解：一根铁丝剪成两段，第一段长58m，第二段占全长的62.5%，
第一段占全长的1﹣62.5%＝37.5%，
∵37.5%＜62.5%，
∴第二段铁丝更长一些．
故选：C．
【点评】本题考查百分数的应用，求出第一段占全长的百分比是解题的关键．
5．（2026春•金山区校级月考）下面哪杯糖水最甜（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别计算出每杯糖占糖水的百分比，即可解答．
【解答】解：A、10÷（10+40）＝20%；
B、12÷（12+36）＝25%；
C、5÷（5+30）≈14%；
D、15÷（15+75）≈17%；
∴上面B杯糖水最甜，
故选：B．
【点评】本题考查了百分数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2026春•上海校级月考）阅读下面的信息填空
张老师穿23厘米的鞋子，据此可以推断，她的身高大约是 161 厘米．
【分析】根据脚长与身高的比1：7，身高是脚长的7倍得出答案．
【解答】解：身高：23×7＝161（厘米）．
故答案为：161．
【点评】本题考查比的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．（2026春•黄浦区期中）为了方便销售，售货员把易拉罐捆成如图的形状．图中三种捆法，这三种捆法所用的绳长由短到长的比为 257：307：357 ．
（绳子只捆一圈，接头处忽略不计，π取3.14）
【分析】设圆的半径为x，分别求出三种捆法的绳长，再作比即可．
【解答】解：设圆的半径为x，
第一种捆法的绳长为2r×2+2πr＝4r+2πr≈4r+2×3.14r＝10.28r，
第二种捆法的绳长为2r×3+120360×2πr×3＝6r+2πr≈6r+2×3.14r＝12.28r，
第三种捆法的绳长为2r×4+2πr＝8r+2πr≈8r+2×3.14r＝14.28r，
10.28r：12.28r：14.28r＝257：307：357．
故答案为：257：307：357．
【点评】本题主要考查比的应用，理解题意是解题的关键．
8．（2026春•浦东新区校级月考）两个杯中分别装有浓度25%与5%的盐水，倒在一起后混合盐水浓度为10%；若再加入300克的20%的盐水，则浓度变为16%．那么原有25%的盐水 50 克．
【分析】先根据10%的混合盐水和20%的盐水混合后浓度为16%，求出10%混合盐水的总质量，再求出25%与5%盐水的质量比，最后计算原有25%盐水的质量．
【解答】解：（20%﹣16%）：（16%﹣10%）＝4%：6%＝2：3，即计算10%的盐水与20%的盐水的质量比为2：3，
已知20%的盐水质量为300克，因此10%混合盐水的总质量为：
300÷3×2＝200（克），
再计算原有25%的盐水与5%的盐水的质量比：
（10%﹣5%）：（25%﹣10%）＝5%：15%＝1：3，
原有两种盐水总质量为200克，因此原有25%的盐水质量为：
200÷（1+3）×1＝50（克），
故答案为：50．
【点评】本题考查了百分数的应用，关键是相关运算的熟练掌握．
9．（2026春•上海校级月考）如图，阴影部分面积是大长方形面积的27，是小长方形面积的49，大长方形的面积与小长方形的面积的比是 14：9 ．
【分析】设阴影部分面积为S，再用S表示出大长方形和小长方形的面积，进而可得出结论．
【解答】解：设阴影部分面积为S，
∵阴影部分面积是大长方形面积的27，
∴大长方形面积S大=S÷27=72S，
∵阴影部分面积是小长方形面积的49，
∴小长方形面积S小=S÷49=94S，
∴S大：S小=72S：94S=14：9．
故答案为：14：9．
【点评】本题考查的是比的应用，根据题意列出比例式是解题的关键．
10．（2026春•静安区期中）如图，阴影部分是正方形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的18%，是正方形面积的38，则正方形面积是圆面积的 48 %．
【分析】可设阴影部分面积为S，分别表示出圆面积和正方形面积．要计算正方形面积是圆面积的百分之几，需用正方形面积除以圆面积，再转化为百分数，可利用所设的阴影面积作为中间量进行推导．
【解答】解：阴影部分的面积是圆面积的18%，是正方形面积的38，
阴影部分面积为S，圆的面积为S圆，正方形面积为S正．
根据题意可得：S=18%⋅S圆=38⋅S正，
∴S正S圆=18%38=0.18×83=0.48=48%，
∴正方形面积是圆面积的48%．
【点评】本题考查百分数的应用，正确进行计算是解题关键．
11．（2026春•宝山区期中）甲、乙两车同时出发从A地到B地，甲车用时比乙车少20%，但甲车的速度比乙车快 25 %．
【分析】设乙车用的时间为t，则甲车用的时间为（1﹣20%）t＝0.8t，从A地到B地路程为s，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设乙车用的时间为t，则甲车用的时间为（1﹣20%）t＝0.8t，从A地到B地路程为s，
∴乙的速度=st，甲的速度=s0.8t=1.25st，
∴甲车的速度比乙车快的百分比=1.25st−stst=25%，
故答案为：25．
【点评】本题考查了百分数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
☆ 考点二：圆、扇形弧长面积与组合图形 题12-23
? 方法总结
12-14题（弧长半径圆心角关系）：弧长由圆心角和半径共同决定，同圆或等圆中圆心角越大弧越长；扇形面积与半径平方成正比。
15-16题（割圆术、半圆面积比）：通过折叠剪拼近似圆，面积约等于正方形面积×π/4；利用直径比求面积比，设AC=2,BC=1，计算半圆面积和。
17-19题（直径倍数、周长相等、圆环问题）：已知面积和与半径关系，设小圆半径r；铁丝长减去剩余即为两圆环周长和，求半径。
20-23题（扇形面积变化、拼图周长、圆面积长方形）：扇形面积与圆心角α成正比，与半径平方成正比；圆变近似长方形时，长方形的长=圆周长的一半，宽=半径。阴影面积=长方形面积-¼圆面积。
? 技巧：牢记弧长扇形公式，割补法求不规则图形，“化曲为直”核心思想。
12．（2026春•上海校级月考）下列判断中正确的是（ ）
A．半径越大的弧越长
B．所对圆心角越大的弧越长
C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大
D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变
【分析】根据弧长公式，逐项判断即可求解．
【解答】解：根据弧长公式逐项分析判断如下：
A．圆心角的度数不一定，所以无法确定弧长，此选项说法错误，不符合题意；
B．半径不确定，所以无法确定弧长，此选项说法错误，不符合题意；
C．根据弧长公式可得，所对圆心角相同时，半径长越大的弧越长，此选项说法正确，符合题意；
D．半径相等时，圆心角越大，弧长越长，此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．（2026春•黄浦区期中）下列语句正确的是（ ）
A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长
B．弧对应的圆心角越大，则弧越长
C．圆的半径扩大n倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大n倍
D．圆的半径不变，圆心角扩大n倍，则对应的扇形面积扩大n倍
【分析】根据扇形的面积，弧长的相关知识逐一判定各项．
【解答】解：A、弧长与半径和圆心角有关，弧所在的圆的半径越大，弧不一定越长，原说法错误，不符合题意；
B、弧长与半径和圆心角有关，弧对应的圆心角越大，弧不一定越长，原说法错误，不符合题意；
C、圆的半径扩大n倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大n2倍，原说法错误，不符合题意；
D、圆的半径不变，圆心角扩大n倍，则对应的扇形面积扩大n倍，原说法正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积，弧长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．（2026春•静安区期中）我们在已知圆周长公式的基础上可以运用“化曲为直”的方法推导圆的面积公式，如图，将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似平行四边形的图形，它的一边长a相当于圆的（ ）
A．圆周长的一半B．直径
C．半径D．圆周长
【分析】由图可知，将圆平均分成16份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底边a是由圆周长的一半（即8份扇形的弧长）组成的，则a相当于圆周长的一半．
【解答】解：由图可知，将圆平均分成16份，拼成一个近似的平行四边形，
∵平行四边形的底边a是由圆周长的一半组成的，
∴a 相当于圆周长的一半．
故选：A．
【点评】本题考查圆的周长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15．（2026春•长宁区校级期中）刘徽在《九章算术》提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．用割圆术的方法将一张边长为8cm的正方形纸折4次（如图），沿虚线处剪去阴影部分，剩下的部分展开得到近似的圆，这个圆的面积约为（ ）
A．8cm2B．16πcm2C．64cm2D．64πcm2
【分析】先根据题意求出圆的半径，再根据圆面积公式求解即可．
【解答】解：圆的半径为8÷2＝4（cm），
根据圆面积公式可得：面积为π×42＝16π（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了圆的面积，熟练掌握该知识点是关键．
16．（2026春•宝山区校级期中）如图，点C在线段AB上，AC＝2BC，以AB，AC，BC为直径的三个圆的面积分别为S，S1，S2，则S1+S2S的值为（ ）
A．23B．35C．59D．12
【分析】设BC＝2r，分别用含有r的代数式表示S，S1，S2，再代入计算即可．
【解答】解：设BC＝2r，则AC＝2BC＝4r，
所以S＝π×（2r+4r2）2＝9πr2，
S1＝π×（4r2）2＝4πr2，
S2＝π×（2r2）2＝πr2，
所以S1+S2S=4πr2+πr29πr2=59，
故选：C．
【点评】本题考查圆面积，掌握圆面积的计算公式是正确解答的关键．
17．（2026春•浦东新区校级月考）已知大圆的半径是小圆的直径的400%，两圆的面积和为65，则两圆的面积差为 63 ．
【分析】设小圆的直径为2r，根据题意，得大圆的半径是小圆的直径的400%，故大圆的半径是400%×2r＝8r，利用面积公式求解即可；
【解答】解：设小圆的直径为2r，根据题意，得大圆的半径是小圆的直径的400%，
故大圆的半径是400%×2r＝8r，
故大圆的面积为：π×（8r）2＝64πr2，小圆的面积为：π×r2＝πr2，
由条件可知64πr2+πr2＝65πr2＝65，
解得πr2＝1，
故64πr2＝64，
两圆的面积差为64﹣1＝63；
故答案为：63．
【点评】本题考查了圆的面积计算，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2026春•上海校级月考）一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是12.56厘米，那么圆的直径是 16 厘米（π取3.14）．
【分析】先根据正方形周长公式求出正方形的周长，由题意得正方形周长等于圆的周长，再利用圆的周长公式计算出圆的直径即可．
【解答】解：根据正方形周长公式可知：4×12.56＝50.24，
设圆的直径为d，根据圆的周长公式C＝πd，可得：
d=Cπ=，
故答案为：16．
【点评】本题考查了正方形周长公式和圆的周长公式，解题的关键是根据题意建立等量关系．
19．（2026春•金山区期中）用一根长20厘米的细铁丝为材料，制作2个同样大小的圆环（不计接口处损耗），结果还余下1.16厘米的铁丝．那么制成的圆环的半径是 1.5 厘米（π取3.14）．
【分析】根据圆周长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设一个圆环的半径为rcm，由题意得，
2πr×2＝20﹣1.16，
解得r＝1.5，
即圆环的半径为1.5cm，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查圆周长，掌握圆周长的计算方法是正确解答的关键．
20．（2026春•浦东新区期中）如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的14，那么这个扇形的面积是原来的 18 ．
【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则现在的扇形半径为14r，圆心角为2n，根据扇形的面积公式分别表示出原来扇形的面积和现在扇形的面积，进而可得答案．
【解答】解：设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则现在的扇形半径为14r，圆心角为2n，
根据扇形的面积公式分别表示出原来扇形的面积和现在扇形的面积可得：
所以原来扇形的面积为nπr2360，现在的扇形的面积为2nπ(14r)2360=18nπr2360，
∴这个扇形的面积是原来的18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握该知识点是关键．
21．（2026春•黄浦区校级期中）如图1所示，把一个半径是7cm的圆分成24等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是 57.96 cm．（π取3.14）
【分析】圆的周长公式为C＝2πr（其中r为半径，π取3.14），已知圆的半径r＝7cm，则圆的周长为：2×3.14×7＝43.96（cm），拼成的长方形周长比圆的周长多了2个半径的长度，即2×7＝14（cm），因此拼成图形的周长为：43.96+14＝57.96（cm）．
【解答】解：2×3.14×7+7×2
＝43.96+14
＝57.96（cm）．
答：拼成图形的周长是57.96cm．
故答案为：57.96．
【点评】本题考查了圆的周长，解决本题的关键是熟练运用圆的周长公式计算．
22．（2026春•松江区期中）如图，一个内、外直径分别为5厘米和10厘米的圆环截去18，剩余部分的周长是 （1058π+5） 厘米．（结果保留π）
【分析】根据题意，剩余部分的周长由三部分组成：外圆周长的78、内圆周长的78以及两条圆环宽度的线段．先根据圆的周长公式分别求出内外圆的周长，再乘以78得到弧长，最后加上两条线段的长度即可．
【解答】解：一个内、外直径分别为5厘米和10厘米的圆环截去18，则：
由题意可知，外圆直径D＝10（厘米），内圆直径d＝5厘米．
外圆周长C外＝πD＝10π，
内圆周长C内＝πd＝5π．
截去18后，剩余部分对应的圆心角占周角的1−18=78，
剩余外圆弧长l外=10π×78=35π4（厘米），
剩余内圆弧长l内=5π×78=358π（厘米）．
圆环宽度（即截口处线段长）w=102−52=5−2.5=2.5（厘米）．
剩余部分周长为：
C=l外+l内+2w=354π+358π+2×2.5=708π+358π+5=(1058π+5）（厘米）．
故答案为：（1058π+5）．
【点评】本题考查圆环，正确进行计算是解题关键．
23．（2026春•上海校级期中）图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积是 9.42cm2 ．
【分析】由题意得：阴影部分的面积是圆面积的34，由圆周长公式求出圆的半径是2cm，即可得到阴影部分的面积是3.14×22×34=9.42cm2．
【解答】解：∵圆的面积正好等于长方形的面积，
∴阴影部分的面积是圆面积的34，
∵圆的周长是12.56cm，
∴圆的半径是12.56÷3.14÷2＝2（cm），
∴阴影部分的面积是3.14×22×34=9.42（cm2）．
故答案为：9.42cm2．
【点评】本题考查圆的周长和面积，关键是掌握圆周长、面积公式．
☆ 考点三：调查方式与统计图表应用 题24-28
? 方法总结
24-25题（调查方式）：全面调查（普查）适用于容量小或要求精准的数据，如全班成绩；抽样调查适合大批量、有破坏性的情形。
26题（扇形统计图）：已知服装支出500元和对应百分比可求总支出，再根据扇形圆心角或百分比求水电气与赡养老人支出的差百分比。
27题（统计图选择）：直观表示不同等级人数 → 条形统计图；表示占比→扇形；表示变化→折线。
28题（分数段百分比）：从统计图中读取80分以上人数和，计算占全班百分比。
? 核心：扇形圆心角=百分率×360°，部分量=总量×百分率。
24．（2026春•嘉定区期中）下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解某班学生“50米跑”的成绩
B．了解上海市中学生睡眠时间情况
C．了解全国六年级学生身高的状况
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、调查对象为一个班的学生，范围小，易开展调查，适合全面调查，符合题意；
B、调查对象是上海市全体中学生，人数多范围大，适合抽样调查，不符合题意；
C、调查对象是全国六年级学生，人数多范围大，适合抽样调查，不符合题意；
D、检测袋装食品是否含有防腐剂具有破坏性，不适合全面调查，适合抽样调查，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查的定义是关键．
25．（2026春•杨浦区校级期中）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种西红柿的甜度情况
B．调查某品牌新能源汽车的耗电情况
C．调查某市垃圾分类的情况
D．调查全班观看电影《飞驰人生》的情况
【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【解答】解：A、调查某种西红柿的甜度情况具有破坏性，调查范围大，适合抽样调查，不符合题意；
B、调查品牌新能源汽车耗电情况，调查范围大，测试具有损耗性，适合抽样调查，不符合题意；
C、调查某市垃圾分类情况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；
D、调查全班观看电影的情况，范围小，个体数量少，适合全面调查，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
26．（2026春•宝山区校级期中）如图是奇思家6月份生活费用支出情况统计图．已知奇思家这个月服装类支出500元，水电气支出比赡养老人类支出少 68.75 %．
【分析】先根据服装类支出和所占的百分比求出总支出，再根据扇形统计图求出赡养老人支出和水电气支出，再计算即可．
【解答】解：总支出为500÷10%＝5000（元），
赡养老人支出为5000×16%＝800（元），
水电气支出为5000×5%＝250（元），
所以水电气支出比赡养老人类支出少800−250800×100%＝68.75%．
故答案为：68.75．
【点评】本题主要考查了扇形统计图，理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．
27．（2026春•杨浦区校级期中）按A，B，C，D四个等级统计某班共50名学生的体育测试成绩，四个等级的百分率分别是26%，50%，18%，6%．小明想让别人通过统计图直观看出不同等级的学生人数，应选用 条形 统计图来描述．
【分析】根据题意可以分析出选取哪种统计图比较合适，本题得以解答．
【解答】解：小明想让别人通过统计图直观看出不同等级的学生人数，
应选用条形统计图来描述．
故答案为：条形．
【点评】本题考查了统计图的选择．掌握各种统计图的特点和作用是解题的关键．
28．（2025春•闵行区校级期末）如图，是某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，根据统计图所提供的信息计算，达到优良的人数占全班人数的百分比为（分数80分以上包括80分的为优良） 75% ．（填入百分数）
【分析】根据统计图中的数据，可知优良的人数为18+12，然后用优良的人数除以40，再乘以100%，即可得到达到优良的人数占全班人数的百分比．
【解答】解：（18+12）÷40×100%
＝30÷40×100%
＝75%，
故答案为：75%．
【点评】本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
☆ 考点四：圆柱圆锥的表面积、体积及动态问题 题29-41
? 方法总结
29-32题（半径高变化对体积影响、圆柱圆锥体积比）：底面积×高；注意体积公式中πr²h；圆柱圆锥体积比与高之比、底面半径平方比相关。
33-34题（水中浸物、圆柱侧面卷成）：排水法求圆柱体积→水面上升体积即圆柱体积；长方形铁皮卷圆柱侧面积，底面周长即长，再求半径体积。
35-37题（圆锥切开增加面积、圆柱截短减少面积）：沿高切开增加两个三角形面积，已知底面直径可求高；圆柱截去一段后减少的表面积即那段侧面积，进而求底面半径。
40题（漏水速率模型）：19分钟后圆柱水位降至一半，圆锥水位降至2/3（半径变为原半径的2/3），根据体积减少量求漏水速度之比，推理最终漏完时间差。
41题（瓶内不规则部分）：剩余部分为倒置规则圆柱，喝去体积 = 满瓶总体积 - 剩余圆柱体积。
? 关键：等积变形找体积不变，切面问题找新增面积公式，漏水用速率方程。
29．（2026春•南岗区校级期中）圆柱的底面半径扩大为原来的3倍，高缩小到原来的13，则体积扩大到原来的（ ）倍．
A．3B．27C．不变D．9
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，再根据因数与积的变化规律，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的（3×3）倍，高缩小到原来的13，它的体积扩大到原来的3×3×13=3倍．据此解答即可．
【解答】解：根据题意可得，3×3×13=3，
圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的（3×3）倍，高缩小到原来的13，它的体积扩大到原来的3倍，
答：它的体积就扩大到原来的3倍．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆柱的体积，关键是圆柱体积公式的灵活运用．
30．（2025春•闵行区校级月考）如图中4个图形的体积之间是什么关系？下面说法正确的有（ ）
①V甲＝3V乙（单位：cm3）
②V乙＝V丙（单位：cm3）
③V乙＝2V丁（单位：cm3）
④V甲＝12V丁（单位：cm3）
A．①③B．③④C．①②③D．①②④
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V=13πr2ℎ，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后进行比较即可．
【解答】解：甲：3.14×（8÷2）2×12＝602.88（立方厘米），
乙：13×3.14×(8÷2)2×12=200.96（立方厘米），
丙：13×3.14×(8÷2)2×12=200.96（立方厘米），
丁：13×3.14×(4÷2)2×12=50.24（立方厘米），
∴V乙＝V丙，故②正确；
602.88÷200.96＝3，则V甲＝3V乙，故①正确；
200.96÷50.24＝4，则V乙＝4V丁，故③错误；
602.88÷50.24＝12，则V甲＝12V丁，故④正确；
所以说法正确的是：①②④．
故选：D．
【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
31．（2025春•上海期末）一个圆柱体和一个圆锥体，底面直径之比是2：3，它们体积之比是5：6，圆柱和圆锥高之比是（ ）
A．5：8B．8：5C．15：8D．8：15
【分析】设圆柱体的底面半径为r1，高为h1，体积为V1；圆锥体的底面半径为r2，高为h2，体积为V2．根据圆柱体和圆锥体的体积公式并将底面直径之比、体积之比代入计算出ℎ1ℎ2即可．
【解答】解：设圆柱体的底面半径为r1，高为h1，体积为V1；圆锥体的底面半径为r2，高为h2，体积为V2．
∴2r12r2=r1r2=23，
∵V1＝πr12h1，V2=13πr22h2，
∴V1V2=3（r1r2）2•ℎ1ℎ2=56，即3×49•ℎ1ℎ2=56，
∴ℎ1ℎ2=58．
故选：A．
【点评】本题考查圆柱体的体积、圆锥体的体积，掌握它们的计算公式是解题的关键．
32．（2025春•徐汇区校级期末）如图，长方形的长为4cm、宽为3cm，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作V甲、V乙，侧面积分别记作S甲、S乙，则下列说法正确的是（ ）
A．V甲＜V乙，S甲＝S乙B．V甲＝V乙，S甲＝S乙
C．V甲＞V乙，S甲＝S乙D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
【分析】根据题意分别求出V甲、V乙和S甲、S乙，比较即可求解．
【解答】解：长方形的长为4cm、宽为3cm，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，
由题意可知，V甲=π×32×4=36π(cm3)，V乙=π×42×3=48π(cm3)，
S甲=2π×3×4=24π(cm2)，S乙=2π×4×3=24π(cm2)，
则V甲＜V乙，S甲＝S乙，
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱的体积和侧面积，掌握圆柱的体积和侧面积公式是解题关键．
33．（2025春•黄浦区期末）仔细观察图：在一个盛有450毫升水的量杯中放入一个圆柱体，水面对应的刻度为600毫升，若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时的水面对应的刻度为（ ）
A．150毫升B．650毫升C．50毫升D．无法确定
【分析】先根据量杯中测量到的体积增量求出圆柱的体积，再由等底等高圆锥和圆柱体积的关系求出圆锥的体积，进而求出最终水面对应的刻度．
【解答】解：在量杯中放入圆柱体后，体积增量为：
600﹣450＝150（毫升）．
∴所以圆柱的体积为150立方厘米．
∵V圆锥=13Sh=13V圆柱=13×150＝50（立方厘米）．
∴放入圆锥后水面对应的刻度为：
600+50＝650（毫升）．
故答案为：B．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积，关键是熟练掌握等底等高圆锥和圆柱的体积关系．
34．（2026春•青浦区校级月考）现用一块长为8π米，宽为8米的铁皮不重叠地卷成一个圆柱的侧面，并盖上两块圆形铁片组成一个圆柱，则这个圆柱的体积是 128π或128 立方米．（保留π）
【分析】分类讨论，分别以长或宽为底面周长进行讨论．
【解答】解：分类讨论，分别以长或宽为底面周长进行讨论如下：
①以长8π为底面周长，宽8米为圆柱的高，
则底面半径为：r=C2π=4（米），
则圆柱的体积为：V＝πr2h＝π×42×8＝128π（立方米）；
②以宽8米为底面周长，长8π米为圆柱的高，
则底面半径为：r=C2π=4π（米），
则圆柱的体积为：V=πr2ℎ=π×(4π)2×8π=128（立方米）．
故答案为：128π或128．
【点评】本题考查了圆柱的体积，熟练掌握该知识点是关键．
35．（2026春•金山区校级月考）把底面直径为10cm的圆锥沿高切开后，表面积增加了60cm2，则圆锥的体积为 157 cm3．
【分析】根据题意可知，把一个底面直径是10cm的圆锥沿高切开后表面积增加了60平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底是10厘米，高等于圆锥的高，据此可以求出圆锥的高，根据圆锥的体积公式：V=13πr2h，把数据代入公式解答．
【解答】解：60÷2＝30（平方厘米），
30×2÷10＝6厘米，
13×3.14×（10÷2）2×6
=13×3.14×25×6
＝157（立方厘米），
答：体积是157立方厘米．
故答案为：157．
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
36．（2026春•金山区校级月考）如图，一个容器的高与地面垂直，用20L的水刚好把这个容器装满，如果水深2dm，那么这个容器里有 10 L水．
【分析】观察图形可知，该容器由上面的圆柱和下面的圆锥组成，且圆柱与圆锥等底等高．根据容器的总容积为20L，利用圆柱和圆锥的体积公式建立方程求出底面积．当水深2dm时，水的体积等于圆锥的体积加上高为（2﹣1.5）dm的圆柱的体积，据此计算即可求解．
【解答】解：设容器的底面积是Sdm2，
20L＝20dm3，
1.5S+13×1.5S=20，
S＝10，
圆锥的体积为：13×10×1.5 ＝5（dm3） ＝5（L），
5+10×（2﹣1.5）＝5+10×0.5 ＝5+5 ＝10（L）．
∴水深2dm时水的体积为10L．
故答案为：10．
【点评】本题考查圆锥的体积，圆柱的体积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
37．（2026春•金山区校级月考）如图，圆柱被截取10cm后，表面积减少了62.8cm2（如图），则原来圆柱表面积为 52π cm2．（结果保留π）
【分析】依据题意，设圆柱的底面半径为rcm，则2πr×10＝62.8，从而r=62.820π=3.14π=1cm，结合原圆柱高度＝15+10＝25cm，进而可得原圆柱表面积＝2×π×12+2π×1×25＝2π+50π＝52π（cm2），即可得解．
【解答】解：由题意，设圆柱的底面半径为rcm，
∴2πr×10＝62.8，
∴r=62.820π=3.14π=1cm，
又∵原圆柱高度＝15+10＝25cm，
∴原圆柱表面积＝2×π×12+2π×1×25＝2π+50π＝52π（cm2）．
故答案为：52π．
【点评】本题主要考查了圆柱的表面积，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
38．（2025春•徐汇区校级期中）把一个棱长6dm的正方体容器装满水，倒入一个深8dm的圆柱形容器内，刚好倒满，这个圆柱的底面积是 27 dm2．（容器厚度不计）
【分析】先根据正方体体积计算公式求出水的体积，再根据圆柱体积计算公式求出圆柱的底面积即可．
【解答】解：6×6×6÷8
＝216÷8
＝27（dm2），
∴这个圆柱的底面积为27dm2，
故答案为：27．
【点评】本题考查圆柱的体积，关键是掌握圆柱的体积公式．
39．（2025春•闵行区期末）把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，如果圆锥的底面周长是18.84cm，那么这个圆锥的体积是 75.36 cm3．
【分析】根据圆锥的底面周长，求出圆锥的底面直径，再求出圆锥的高，最后求出圆锥的体积．
【解答】解：由条件可知圆锥的底面直径为：18.84÷3.14＝6（cm），
∵把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，
∴圆锥的高为：48÷2×2÷6＝8（cm），
∴圆锥的体积为：13×3.14×(62)2×8=75.36(cm3)．
故答案为：75.36．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握该知识点是关键．
40．（2025春•徐汇区校级期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的12，圆锥形容器的水面高度降至原高度的23（此时水面半径为圆锥底面半径的23），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过 11 分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完．
【分析】利用圆锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：假设圆锥底面圆半径为r，则19分钟后圆锥底面圆半径为23r，
根据题意得，开始时圆锥中水的体积为13πr2b，
19分钟后剩下水的体积为13π(23r)223b=881πr2b，
∴19分钟漏掉的水的体积为13πr2b−881πr2b=1981πr2b，
∴圆锥容器漏水速度为1981πr2b÷19=181πr2b，
∴圆锥中剩下的水漏完所需时间为881πr2b÷181πr2b=8（分钟），
由题意可得：圆柱中所剩的水漏完所需时间为19分钟，
19﹣8＝11（分钟），
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式以及列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式．
41．（2025春•金山区校级月考）一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去 270 cm3水．（π取3）
【分析】观察左右两个瓶子可知喝去的水的体积为右图中剩余部分的体积，根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：根据圆柱的体积公式得：
喝去的水的体积为：πr2h＝3×32×（30﹣20）＝270（cm3）．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查了计算圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
☆ 考点五：二元一次方程组及几何、新定义应用 题42-57
? 方法总结
42-43题（长方形拼图）：根据大长方形长宽关系设小长方形长x宽y，列出方程组求面积或周长。
44-45题（矩阵/桌高问题）：矩阵表示三元一次方程，定值条件推导系数关系；桌高问题设长方体长宽高，利用叠放总高列方程。
46-47题（年龄问题、箭头运算）：年龄差不变为突破口；约定运算转化为方程组，判断结论真假。
48-52题（速度比、铜锌合金、二元一次方程定义）：速度比基于时间比反求；设每块合金重量为m，总铜量=两合金铜量和，总质量2m。
54-57题（长方形铺砌、共轭方程组）：设未知数利用AD,CD列方程；理解“共轭方程”形式对照系数得到关于a,b的方程组，求2a-b。
✨ 策略：几何条件转化为方程，新定义问题严格对照定义列出标准式。
42．（2026春•静安区期中）如图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．33cm2B．35cm2C．45cm2D．57cm2
【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为x，y，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案．
【解答】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为x，y．
由题意可得：x+3y=15x+y−2y=7，
解得x=9y=2．
所以长方形ABCD的宽为：x+y＝11，
长方形ABCD的面积为：15×11＝165，
六个形状大小相同的长方形的面积和为：6×2×9＝108，
阴影部分的面积是：165﹣108＝57，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
43．（2025春•杨浦区校级期末）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为2a，则小长方形的周长为（ ）
A．110aB．310aC．25aD．45a
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，结合图形得到等式：（1）2x＝x+3y；（2）2x+x+y=2a2，联立方程组并解答．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意知，2x=x+3y①2x+x+y=2a2②，
解①，得x＝3y，
将x＝3y代入②中，
解得y=a10，
即x=3a10y=a10，
所以小长方形的周长为：2(3a10+a10)=4a5．
故答案为：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽之间的关系．
44．（2025春•宝山区校级期末）用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1B．m+2t＝1C．2m﹣t＝1D．2t+m＝﹣1
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：x+y+tz=3①2x−y+mz=2②，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键．
45．（2025春•杨浦区校级期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．77cmB．78cmC．79cmD．80cm
【分析】设桌子的高度是xcm，结合图形列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：设桌子的高度是xcm，长方体木块的长是acm，宽是bcm，
由题意得x+a−b=82x+b−a=74，
解得：x＝78，
∴桌子的高度是78cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确找出等量关系、列出方程组是解题的关键．
46．（2025春•黄浦区校级月考）有一天，小丽问她的数学老师的年龄，老师没有直接告诉她答案，而是给她出了这样一个谜语：“当我像你现在这样大的时候，你a岁；等你到我现在这么大的时候，我就b岁了．”已知老师的年龄大于小丽的年龄，且a、b均为整数，有如下两个结论：
①老师和小丽现在的年龄和一定等于b+a；
②老师和小丽现在的年龄差一定等于13(b−a)．
关于这两个结论下列判断正确的是（ ）
A．结论①正确、结论②正确
B．结论①正确、结论②错误
C．结论①错误、结论②正确
D．结论①错误、结论②错误
【分析】设老师现在x岁，小丽现在y岁，根据“当我像你现在这样大的时候，你a岁；等你到我现在这么大的时候，我就b岁了”，可得x−y=y−ax−y=b−x，解得x=a+2b3y=2a+b3，即知x+y=a+2b3+2a+b3=a+b，x﹣y=a+2b3−2a+b3=b−a3，从而判断①正确，②正确．
【解答】解：设老师现在x岁，小丽现在y岁，
∵当我像你现在这样大的时候，你a岁；等你到我现在这么大的时候，我就b岁了，
∴x−y=y−ax−y=b−x，
解得x=a+2b3y=2a+b3，
∴x+y=a+2b3+2a+b3=a+b，
x﹣y=a+2b3−2a+b3=b−a3，
∴老师和小丽现在的年龄和一定等于b+a，故①正确；
老师和小丽现在的年龄差一定等于13(b−a)，故②正确；
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，用a，b的代数式表示老师和小丽现在的年龄．
47．（2025春•徐汇区校级期末）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，x﹣y的值一定为2．下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ不对C．Ⅰ不对，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都不对
【分析】根据题意当m＝3时，n＝﹣5，则可得方程组x=1y=−1，解方程组即可判断结论Ⅰ；根据题意可得x﹣2y﹣（2y﹣3x）＝8，则x﹣y＝2，即可判断结论Ⅱ．
【解答】解：当m＝3时，n＝3﹣8＝﹣5，
∴x−2y=32y−3x=−5，
解得x=1y=−1，故结论Ⅰ错误；
由题意得，x﹣2y﹣（2y﹣3x）＝8，
∴4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，故结论Ⅱ正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，注意正确计算．
48．（2026春•上海校级月考）小明和小亮同住在一栋楼，他们同时出发骑车去郊外看王老师，又同时到达王老师家，但途中小明休息的时间是小亮骑车时间的13，而小亮休息的时间是小明骑车时间的14，小明和小亮骑车的速度之比是 9：8 ．
【分析】设小明休息时间为x小时，小亮休息时间为y小时，则小亮骑车时间为3x小时，小明骑车时间为4y小时，小明骑车速度为v1千米/小时，小亮骑车速度为v2千米/小时，根据路程相同，总时间相同，列出方程，解方程得出答案即可．
【解答】解：设小明休息时间为x小时，小亮休息时间为y小时，则小亮骑车时间为3x小时，小明骑车时间为4y小时，小明骑车速度为v1千米/小时，小亮骑车速度为v2千米/小时，
根据题意列二元一次方程组得：
4yv1=3xv2①x+4y=y+3x②，
由②得：2x＝3y，即y=23x，
把y=23x代入①得：83xv1=3xv2，
∴v1v2=3x83x=98，
即小明和小亮骑车的速度之比是9：8，
故答案为：9：8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
49．（2025春•闵行区校级期末）（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ 1 ．
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【解答】解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程满足的条件是解题的关键．
50．（2026•上海校级模拟）《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了 12.5 亩．
【分析】设良田买了x亩，薄田买了y亩，由“当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱”列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩，
依题意列二元一次方程组得：x+y=100300x+5007y=10000，
解得x=12.5y=87.5，
故答案为：12.5．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
51．（2026春•静安区期中）已知x=4y=2是二元一次方程组ax+by=4bx−ay=3的解，则2a+3b的值是 4 ．
【分析】先将方程组的解代入方程组，得到关于a，b的二元一次方程组，再由加减消元法解方程组求出a，b，再进行代数式求值．
【解答】解：∵已知x=4y=2是二元一次方程组ax+by=4bx−ay=3的解，
∴将x=4y=2代入ax+by=4bx−ay=3，
则4a+2b=4①4b−2a=3②，
①+2×②得，10b＝10，解得：b＝1，
将b＝1代入①得，4a+2＝4，解得：a＝0.5，
∴2a+3b＝2×0.5+3×1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
52．（2026春•长宁区期中）两块同样重量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的质量之比是1：4，另一块合金中铜与锌的质量之比是1：3，现将两块合金合成一块，则新合金中铜与锌的质量之比为 9：31 ．
【分析】设每块铜锌合金的重量为m，分别求出两块合金中铜的质量和锌的质量，求和得到新合金中铜与锌的总质量，再根据比的意义化简即可得到新合金中铜与锌的质量比．
【解答】解：设每块铜锌合金的重量为m，
根据第一块合金中铜与锌的质量之比是1：4可得第一块合金中铜质量为11+4m=15m，锌的质量为41+4m=45m，
同理第二块合金中铜质量为11+3m=14m，锌的质量为31+3m=34m，
两块合成一块后，新合金中铜与锌的质量之比为：(15m+14m)：(45m+34m)=920m：3120m=9：31．
故答案为：9：31．
【点评】本题考查比的应用，解题的关键是读懂题意，表示出每块合金中铜，锌的质量．
53．（2026春•浦东新区期中）已知x、y、z满足方程组x−2y+z=07x+4y−5z=0，且xyz≠0．则x：y：z＝ 1：2：3 ．
【分析】把z看作是常数，可得x−2y=−z①7x+4y=5z②，再分别求解x，y的值，从而可得答案．
【解答】解：原方程组整理得：x−2y=−z①7x+4y=5z②，
①×2+②得：9x＝3z，
∴x=13z，
把x=13z代入①得：y=23z，
∴x：y：z=13z：23z：z＝1：2：3．
故答案为：1：2：3．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握该知识点是关键．
54．（2025春•奉贤区期中）如图，长方形ABCD是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形EFGH铺成的（既不重叠，又无缝隙），且AD＝75cm，CD＝45cm，则小正方形EFGH的边长是 15 cm．
【分析】设EN＝xcm，EF＝ycm，则FN＝（x﹣y）cm，AN＝（x﹣2y）cm，再根据AD＝75cm，CD＝45cm，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设EN＝xcm，EF＝ycm，
则FN＝EN﹣EF＝（x﹣y）cm，AN＝（x﹣y）﹣y＝（x﹣2y）（cm），
根据题意得：x+x−y=75x−y+x−2y=45，
解得：x=45y=15，
即小正方形EFGH的边长是15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
55．（2025春•上海校级期中）塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是 90 cm．
【分析】设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，根据“3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再将其代入（x+9y）中即可求出结论．
【解答】解：设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，
依题意得：x+2y=55x+4y=65，
解得：x=45y=5，
∴x+9y＝45+9×5＝90，
∴10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为90cm．
故答案为：90．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
56．（2025春•闵行区校级月考）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b．方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 x=2y=−1或x=−1y=72 ．
【分析】先求出方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可．
【解答】解：根据题意可知，方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为4x+2y＝3或3x+4y＝2，
∴组成的方程组为3x+2y=43x+4y=2或3x+2y=44x+2y=3，
解得：x=2y=−1或x=−1y=72．
故答案为：x=2y=−1或x=−1y=72．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
57．（2025春•宝山区校级期末）规定：形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组x+ky=bkx+y=b叫作“共轭方程组”，k、b称为“共轭系数”，若关于x，y的二元一次方程组x+(2−5a)y=−b−4(1−2b)x+y=−5−a为“共轭方程组”，则2a﹣b＝ 0 ．
【分析】根据题意得到关于a和b的方程组，通过解方程组得到a和b的值，然后计算即可．
【解答】解：根据共轭方程组的定义，得2−5a=1−2b−b−4=−5−a，
解得：a=1b=2，
∴2a﹣b＝2﹣2＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键．章节
核心公式/定理
关键方法/注意点
比与比例
比例性质: a:b=c:d⇒ad=bc百分数: p%=p100
含糖率、成活率、浓度十字交叉、比例分配
圆与扇形
弧长 l=nπr180扇形面积 S=nπr2360圆面积 S=πr2
化曲为直割圆法；组合图形周长面积转化；扇形+三角形差量
统计图表
总体、个体、普查/抽样扇形圆心角 = 百分比×360°
根据问题背景选择合适的调查方式；由部分推算总体
圆柱与圆锥
圆柱体积 V=πr2h 圆锥体积 V=13πr2h侧面积 S侧=2πrh
等积变形、切开增加面积、排水法求体积、漏水速率模型
二元一次方程组
标准形式 a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
消元法，几何直观列方程，比例设k法，新定义矩阵
人的身高与双臂长度的比大约是1：1，身高与胸围比大约是2：1，人的脚长与身高的比大约是1：7，人的体重与血液重量之比大约是13：1，成年人身高与头长的比大约是7：1，腿长与头长的比大约是4：1…