【期末冲刺】解答题满分讲义(5~9章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学六年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
比与比例 掌握化简比、求比值、比例分配、浓度配比及利用方程解决比例应用题，理解连比与整体思想。
圆与扇形 熟练运用弧长、扇形面积、圆环面积公式，能解决旋转扫过的路径长、组合图形面积及齿轮传动比等问题。
统计图表 能从条形图、扇形图中提取信息，计算百分比、圆心角，并运用样本估计总体解决实际问题。
圆柱与圆锥 掌握圆柱侧面积、体积及圆锥体积公式，解决等积变形、切割面积变化、容器倒置及最优用料策略。
二元一次方程组 熟练运用消元法、整体代入法解二元及三元方程组；能建立模型解决实际情境（行程、工程、销售方案、新定义运算）。
创新思维 学会“整体思想”求代数式的值，理解齿轮传动比与方向，能够运用方程思想解决最优方案问题。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、比与比例
化简比与求比值：比的前项和后项同时乘除同一个非零数，比值不变；求比值用除法，结果可以是分数或小数。注意单位统一。
连比：若 a:b=m:n，b:c=p:q，则统一中间量b的份数得到 a:b:c=mp:np:nq。
比例应用：利用比例的基本性质列方程，解决浓度配比、盈亏问题、百分数应用题。
浓度问题：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；混合前后溶质总质量不变，常用十字交叉法或列方程。
☆ 二、圆与扇形
弧长：l=n360⋅2πr；扇形面积：S=n360πr2 或 S=12lr。
圆环面积：S=πR2−r2；齿轮传动比：外啮合传动比 = 齿数反比，方向相反；同轴联动转速相同、方向相同。
旋转路径长：图形绕某点旋转时，某点经过的路径是以旋转中心为圆心、该点到旋转中心距离为半径的圆弧。
组合图形面积：常用割补法、差量法（大扇形减小扇形、正方形减扇形等）。
☆ 三、可能性与统计图表
条形统计图：能直观反映具体数量；扇形统计图：圆心角度数 = 百分比 × 360°，部分量 = 总量 × 百分比。
统计推断：由样本百分比估计总体数量，需注意样本的代表性。
☆ 四、圆柱与圆锥
圆柱：侧面积 S侧=2πrh，体积 V=πr2h；圆锥：体积 V=13πr2h。
等积变形：熔化铸造、倒置容器中水体积不变，利用体积相等列方程。
切面面积增加：沿高切开圆锥增加两个三角形面积；圆柱截断减少侧面积。
☆ 五、二元一次方程组
解法：代入消元、加减消元；对于分式方程可换元转化为整式方程。
三元一次方程组：逐步消元，化三元为二元再为一元。
整体思想：不分别求每个未知数，通过对方程整体加减或倍分求出目标式的值。
☑知识框架一览表
核心考点 ·5大典型考点精讲
☆ 考点一：比与比例的应用 题1-5
※方法总结
题1（化简比与求比值）：整数比化简同除以最大公约数；分数比化整数比；单位不同先统一单位再求比值。
题2（连比与混合比例）：通过设参数或整体份数，利用混合后总质量列出方程，解出丙容器内A:B:C。
题3（重叠面积比）：设丙正方形面积为特殊值（如180），利用重叠面积关系列方程，求出甲、乙面积比。
题4（浓度漂洗模型）：根据公式 d后=0.5d前0.5+w，分次漂洗时前一次浓度为后一次的前浓度，通过比较决定用水策略。
题5（个税计算）：理解累进税率，分段计算应纳税额，并利用专项附加扣除优化家庭税负。
? 核心策略：设未知数、整体份数法、分段函数思想。
1．（2026春•宝山区期中）（1）化简比：118：114：112；
（2）求比值：125毫升：0.6升．
2．（2026春•上海校级月考）甲容器内有物质A和物质B，其质量比是3：2，乙容器内有物质B和物质C，其质量比是3：5，丙容器内有物质A、物质B和物质C．现将甲乙丙三容器中的物质以1：2：3的质量比例取出，混合，则所得新的混合物中，A，B，C三种物质的质量比是183：152：385．求丙容器内物质A、物质B和物质C的质量比．
3．（2026春•上海校级月考）如图所示，桌子上放有甲、乙、丙三个正方形，甲、丙有部分重叠，乙、丙有部分重叠．甲、丙重叠部分占甲正方形面积的14；乙、丙重叠部分占乙正方形面积的25．丙正方形与甲乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19．甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形的13．求：甲正方形面积与乙正方形面积的比．（要求化为最简整数比）
4．（2026春•宝山区校级同步）在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w，其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度，w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）．
请按要求完成下列任务：
（1）若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
（2）若把4kg清水均分，经过两次漂洗能否达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
5．（2026春•上海校级月考）阅读材料后，请解答下面的问题：
（1）材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元．
根据材料1，完成下列表格填空：
（2）材料2：2019年1月1日起正式实施《中华人民共和国个人所得税法》．根据新修订的个税法，今后计算个税应纳税所得额（计税金额），在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，简略描述如下表．
根据材料2，小宋与丈夫都是独生子女，需要赡养四位老人和养育两个小孩，小孩在读小学和中学．小宋每月工资薪金为10000元（申报赡养两位老人），丈夫每月工资薪金为16000元（申报赡养两位老人）．那么请问“养育两个孩子的教育费用”扣除额可以计算在小宋一方，也可以计算在丈夫一方，两种不同方案的家庭个税差额是 元．
☆ 考点二：圆的周长、弧长、扇形面积与旋转（题6-11）
※方法总结
题6（钟表指针路径）：分针1小时转1圈，时针12小时转1圈，利用弧长公式求特定时间内针尖路程。
题7（运动场跑道超前及追及速度比）：弯道差 = 2π×道宽；速度比 = 路程比，结合加速百分比求最小提速。
题8（环形步道面积）：圆环面积 = π(R²－r²)，地砖数量 = 面积×每平方米块数（进一法取整）。
题9（喷头浇灌面积）：固定点浇灌为圆面积；沿正方形轨道运动时，覆盖区域为四个扇形+四个矩形+中间正方形。
题10（正方形内圆弧分割面积）：利用整体与部分关系，通过割补得 S₃－S₄ = 2S扇－S正。
题11（圆台侧面展开与扇形面积）：利用弧长公式建立比例，求圆心角及侧面积，类比梯形面积公式证明 S = ½(l₁+l₂)d。
? 技巧：数形结合，扇形面积与三角形面积类比，旋转扫过的图形为扇形。
6．（2026春•宝山区期中）某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（保留π）
7．（2026春•闵行区校级期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛．
（1）如图1，求最内侧跑道的直道AD（或BC）长是多少米？（π取3.14）
（2）如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14）
（3）如图3，如果每条跑道的宽度d为4π米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了 米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速 %．（结果精确到0.1%）
8．（2026春•黄浦区校级期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道．
（1）这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14）
（2）如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？
9．（2025春•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制．
（1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？
（2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？
10．（2026春•普陀区校级期中）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，两段圆弧将正方形分成了①、②、③、④的四个部分，它们的面积分别记为S1，S2，S3和S4（π取3.14）．则：
（1）四个部分的周长之和为 ；
（2）S3﹣S4的值为 ．
11．（2025春•浦东新区校级期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：S扇形＝ ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝ ②，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝ ③．请解决下列问题：
问题I：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题I；
（2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=12(l1+l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b））
（3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径AB＝8cm，杯底直径CD＝6cm，杯壁母线长AC＝BD＝6cm，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形BDFE面积．
（4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中BE和DF所在的半径OE，OF的长以及圆心角∠BOE的度数，那么根据（3）中的尺寸，DF所在圆的半径OF＝ ；它所对的圆心角∠BOE的度数为 ．
☆ 考点三：统计图表的分析与补全（题12-15）
※方法总结
题12（扇形统计图）：已知部分百分比差求未知百分比，再由部分量求总量，进而求另一部分的数量。
题13（条形图结合分数）：由手机观看人数及其占比求总人数，再用乘法求电脑观看人数，最后求电视机人数占比。
题14（频数分布直方图）：计算各部分人数与总人数之比，注意“少几分之几”是差值除以参照量。
题15（扇形与条形综合）：先由15-40岁人数及占比求总人数，再求0-14岁和60岁以上百分比，补全条形图，圆心角=百分比×360°。
? 关键：从统计图中准确读取数据，理清部分与整体的关系。
12．（2026春•松江区期中）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国首次举办冬季奥运会．受冬奥会影响，北京市民对冰雪项目体验的热情高涨．如图是随机对北京市民冰雪项目体验情况的网络调查统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）都没参加过的人群占比，比参加过冰球的人群占比低6个百分点，那么“都没参加过”的人群占调查总人数的 %，并在图中补全统计图；
（2）此次调查中，体验过滑冰的有240人，则体验过冰壶的有 人；
（3）此次调查中，体验过滑雪的人数是体验过滑冰人数的百分之几？
13．（2025秋•浦东新区校级月考）今年9月3日在首都北京举行了隆重的阅兵仪式．王老师了解到六年级部分学生观看国庆阅兵庆典的方式，并绘制了统计图．已知选择用“手机”观看的人数是调查总人数的733，选择“电脑”方式观看的人数是选择“手机”人数的25，根据图中提供的信息，求：
（1）本次调查的总人数是多少人？
（2）选择用“电视机”方式观看的人数占调查总人数的几分之几？
14．（2025秋•宝山区校级月考）某校六年级（1）班的一次数学测验的统计表如图所示．回答下列问题：
（1）优秀（90分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？
（2）及格（60分及以上）的人数是全班总人数的几分之几？
（3）80﹣90分段人数比70～80分段人数少几分之几？
15．（2026春•青浦区校级期中）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小丽同学共调查了 名居民的年龄；
（2）扇形统计图中a＝ ，b＝ （填写百分数），并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，表示“年龄在0～14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 ．
☆ 考点四：圆柱圆锥的体积、表面积及实际应用（题16-19）
※方法总结
题16（陀螺体积）：组合体体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积，注意底面半径相同。
题17（漂浮木头接触面积）：一半露出水面，接触面积为半个侧面积 + 一个底面积。
题18（罐头商标与体积）：商标纸面积为侧面积的一部分（高4cm），体积用圆柱公式。
题19（圆台形杯套）：侧面展开为扇环，利用弧长比例求半径和圆心角，面积 = 大扇形－小扇形。
? 建模：将实际问题抽象为圆柱、圆锥的侧面积和体积计算，注意单位统一。
16．（2026春•普陀区校级月考）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留π）
17．（2026春•普陀区校级月考）一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上（如图），小浩哲发现它正好是一半露出水面．请试着求一求这根木头与水接触的面积有多少平方厘米？（结果保留π）
18．（2025春•上海校级期中）（本题保留π）罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等）．已知罐头盒的底面半径是4cm，高是6cm，同时要在盒外面贴一圈高4cm的商标，那么，
（1）一个罐头盒需要商标纸多少cm2？
（2）一个罐头盒的体积是多少cm3？
19．（2025春•黄浦区期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）．
（1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为 cm2（结果保留π）；
（2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分．
①证明：弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比；
②求圆心角∠APA′的度数及杯套的面积．（结果保留π）
☆ 考点五：二元一次方程组及整体思想（题20-28）
※方法总结
题20-21（解二元、三元方程组）：加减消元法、代入法；对于三元组先消去一个未知数化为二元。
题22（“开心”方程组新定义）：先解方程组，再根据 x+y=1 列方程求参数；或利用整体相加得 x+y 表达式。
题23（整体求值）：通过方程组的线性组合直接求出目标代数式的值，避免分别解未知数。
题24-25（比例与购买问题）：根据数量关系列二元一次方程组求解。
题26（阶梯定价分段计费）：根据范围列出分段代数式，再根据吸管数量关系建立方程。
题27（水果利润）：先求各品种重量，再计算提价后除去损失的销售额及利润。
题28（电动汽车安装与续航）：方程组求熟练工与新工人效率；速度方程求续航里程。
? 核心：整体思想、换元法、根据实际意义检验解。
20．（2026春•静安区期中）解方程组：
（1）3x−y=74x−5y=2；
（2）2x+y−z=−1x−y−z=0x−2y+z=5．
21．（2026春•浦东新区期中）解方程组：
（1）2x+3y+z=6x−3y−2z=1x+3y+3z=2；
（2）3x+2z4=3y+z5=5x+y−z6=2．
22．（2025春•青浦区校级期末）对于关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|＝1，则称这个方程组为“开心”方程组．
（1）下列方程组是“开心”方程组的是 （只填写序号）；
①x+y=02x−y=0；②x+y=12x−y=2；③x−y=−13x+5y=7．
（2）若关于x，y的方程组2x+5y=4k+35x+2y=5−k是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组2amx+(b−1)y=mx+2y=4都是“开心”方程组，求ab的值．
23．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例如：已知3x+2y+z=4①7x+4y+3z=10②，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③
③×12得，2x+y+z＝3
所以，2x+y+z的值为3．
【类似迁移】
（1）已知x+2y+3z=10①5x+6y+7z=26②，求3x+4y+5z的值．
【实际应用】
（2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？
24．（2026春•黄浦区期中）用比例的知识解决问题：
某中学开展艺术节，活动包含话剧表演和舞蹈表演，参加话剧表演的人数与参加舞蹈表演的人数比是3：11．现因话剧表演的剧本修改，需要再增加6位演员，如果从参加舞蹈表演的学生中调6人过去，那么两支演出队伍的人数比是5：9．如果每人只能参演一个表演节目，那么最终这次参加话剧表演和舞蹈表演的学生分别为多少人？
25．（2026春•静安区校级期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人．若买1台A型机器人、4台B型机器人，共需320万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价．
26．（2025秋•浦东新区校级期末）为传递爱心、助力贫困山区儿童改善学习与生活条件，某校六年级发起“奶茶暖冬•爱心助学”义卖活动，售卖摊位设置阶梯定价，方案如下：
（1）小薇同学购买了12杯普通杯奶茶，那么小薇同学需支付的费用为 元；
（2）预初2班购买了m杯超大杯，n杯普通杯（其中5＜m≤15，n＞15），求预初2班需支付的总费用（用含m、n的代数式表示）；
（3）在售卖奶茶时需要搭配吸管，已知1杯普通杯配1根吸管，1杯超大杯配2根吸管．若普通杯的数量是超大杯数量的53，且吸管的总数比两种奶茶的总数多30，若所有奶茶与吸管都刚好配套，求超大杯、普通杯各有多少？
27．（2025秋•杨浦区校级期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占25，桔子占剩下的25，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多13，苹果每千克的进价比桔子多14．
（1）求水果超市购进三种水果各多少千克？
（2）在销售过程中，三种水果分别提价34销售，因腐烂等原因有16的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？
28．（2025春•上海期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？
（续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．）
☆ 创新及压轴：齿轮传动、旋转扫过面积及最优方案
※方法总结
题29（齿轮传动比与方向）：外啮合齿数比 = 转速反比，方向相反；同轴联动转速相同方向相同。利用齿数计算转速比。
题30（旗帜翻动轨迹与扫过面积）：点A经过的路程是以B为圆心、AB为半径的圆弧；AC扫过的面积 = 扇形BCF面积－扇形BAE面积。
题31（长方形铁皮做圆柱形容器）：根据侧面与底面圆的关系，设未知数列方程求半径；比较不同方案体积，选择最大者并计算材料利用率。
题32（整体思想拓展）：通过方程组整体运算求代数式的值；对于新定义运算，利用已知条件构造整体求值。
✨ 思想：建模与优化、数形结合、整体代入。
29．（2026春•黄浦区期中）【综合与实践】
如图甲，这是地理模型中的“三球运动模型”，该模型是通过齿轮连杆传动来模拟地球、月球、太阳之间的运动关系．通过地理课的学习，我们知道地球绕太阳旋转的方向与月球绕地球旋转的方向是一致的．地球绕太阳公转一圈为一年，月球绕地球公转一圈为一月．
（1）通过图乙的结构介绍，我们发现该模型主要由两组齿轮模型组成，分别是图丙和图丁．
【剖析原理】
【制作模型】
（2）学生根据原理制作了以下A、B、C三种不同的齿轮传动模型．
根据展示的三种齿轮传动模型方案，请回答：
①根据A、B、C三张图中标注的齿轮齿数，在连杆逆时针转动时（轴MN固定在底座上），则B图中地球模型与月球模型的转速比为 ；
C图中地球模型与月球模型的转速比为 ；
②根据地、月公转比为1：12的地理知识，A、B、C三张图中既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向的是 （填字母）．
30．（2026春•虹口区校级期中）小海同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形ABC是一个直角三角形，角ABC等于60°，边AB＝10厘米，BC＝20厘米，旗帜把手DC＝10厘米．
（1）如图，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留π）
（2）求边AC扫过的阴影面积；（结果保留π）
（3）如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 厘米．（结果用含有a的式子表示）
31．（2025春•普陀区期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器
【任务一】如图1，已知长方形铁皮的长为16.56cm，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（π取3.14）
【任务二】如图2，用一块长为24cm，宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器．
方案A：如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图2上画出裁剪示意图．（标注尺寸，π取3）
方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图3上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，π取3）
【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3）
32．（2025春•闵行区校级月考）【阅读理解】已知方程组3x−y=5①2x+3y=7②，求x﹣4y的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入x﹣4y得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
（1）【模仿应用】已知方程组3x−y=5①2x+3y=7②，请用整体思想求7x+5y的值；
（2）【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
（3）【拓展延伸】对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28．求1*1的值．
随堂检测 · 精选练习
练习1（连比化简）：已知 x:y=20%:30%，y:z=15:14，求最简整数连比。方法：将百分数、分数化为整数比，再统一中间量y的份数。
练习2（扇形环形阴影面积）：已知大小扇形半径及圆心角，求阴影部分面积。方法：大扇形面积减小扇形面积。
练习3（圆柱圆锥倒置容器中的水）：先求水的体积；倒置后空白部分体积 = 整体体积－水的体积，再求空白圆柱的高，从而得到水面到圆锥顶点的高度。
练习4（篮球联赛胜负场）：设胜x场，负y场，根据总场数15和积分39列方程组求解。
练习5（换元法解分式方程组）：令 a=12x+y,b=1x−2y，化为整式方程组，解出后回代求x,y。
【练习1】（2026春•黄浦区期中）已知x：y=20%：30%，y：z=15：14，求x：y：z（结果写成最简整数比）．
【练习2】（2026春•崇明区期中）已知OB＝2cm，OA＝4cm，∠BOC＝112°，则图中的阴影部分的面积为多少平方厘米？（结果保留π）
【练习3】（2025春•崇明区期末）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）．
（1）容器中水的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？
【练习4】（2026春•长宁区校级期中）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加．
比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
【练习5】（2025春•闵行区校级期中）解方程组：22x+y+1x−2y=342x+y+3x−2y=7．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：连比化简（分数与小数统一）。
作业2：百分数应用——购房优惠方案比较（直接打折 vs 送物业费）。
作业3：利息计算（本息和 = 本金+本金×年利率×年数）。
作业4：四个等圆重叠的阴影面积（割补转化为两个120°扇形面积）。
作业5：扫地机器人沿地毯边缘行走，圆心轨迹 = 长方形两长 + 半径为（外半径）的圆周长。
作业6：圆形面积比较：12寸披萨与两个8寸披萨的面积大小。
作业7：帐篷的帆布面积（圆柱侧面积+圆锥侧面积）及容积（圆柱+圆锥）。
作业8：圆柱形水杯盛水，每日需水量转化为杯数。
作业9：换元法解分式方程组。
作业10：解三元一次方程组（加减消元）。
作业11：新定义“解距”及“单位差”，求参数或整数解。
作业12：明代数学问题——和尚分碗（一元一次方程）。
作业13：包车费用问题，判断订单数据合理性（整数解检验）。
作业14：草莓包装方案设计，利用二元一次方程组及不等式求可行方案。
【作业1】（2026春•上海校级月考）已知a：b=125：213，b：c=0.7：25，求a：b：c．
【作业2】（2026春•上海校级月考）某楼盘准备以每平方米9000元的平均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8050元的平均价开盘销售．
（1）李伯伯准备以开盘平均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择．如果你是李伯伯，会选择哪种方案？请说明理由；
（2）该楼盘其中一幢9号楼，开发商决定再让利于民，该楼的平均价为7800元/平方米，且每层价格不一，如下表（9号楼均为三室两厅，面积120平方米，买该号楼不享受优惠方案）．
陈叔叔家要买一套四楼的住房，请计算出购买这套房子的价钱．
【作业3】（2026春•金山区期中）小海的爸爸存入100000元准备三年后取出．如果小海的爸爸选择定期存款三年，年利率为1.25%，那么到期可以从银行取回多少元？
【作业4】（2026春•浦东新区校级月考）如图，4个圆的半径都是1厘米．求阴影部分的面积（结果保留π）．
【作业5】（2026春•普陀区校级期中）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，求扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？（扫地机器人圆形底面的半径是1分米）（π取3.14）
【作业6】（2026春•普陀区期中）小明在外卖软件中订购了一个12寸的圆形披萨，不久后他接到电话，商家称12寸披萨售罄，愿意用两个8寸同类型圆形披萨来代替，请通过计算说明这种方案是否可行，并得出此方案多（或少）拿到多少平方英寸的披萨．
（补充说明：披萨的寸数以直径计，单位为英寸，π取3.14）
【作业7】（2025春•崇明区期末）如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为28.26m2，母线AD＝2m，圆锥的高SO＝lm，母线SD＝3.16m．
（1）制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到0.1m2）？
（2）帐篷的容积大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1m3）？
【作业8】（2025春•闵行区期末）水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为30～35毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升＝1000立方厘米，π的值取3）
【作业9】（2025春•徐汇区校级期中）解方程组：5x−1+2y=13x−1+1y=2．
【作业10】（2025春•崇明区期末）解方程组：4x+y−3z=13①5x−y+z=7②x−2z=4③．
【作业11】（2025春•徐汇区校级期末）阅读材料；对于未知数为x，y的二元一次方程组，将|x﹣y|定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组x+y=22x−y=4的解为x=2y=0，由于|x﹣y|＝2，所以其解距为2；方程组2x+y=4x+2y=5的解为x=1y=2，由于|x﹣y|＝1，所以其解具有“单位差”．
（1）判断方程组3x+2y=282x+y=17的解是否具有“单位差”并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组2x−y=5ax+y=7的解具有“单位差”，求a的值；
（3）若关于x，y的二元一次方程组kx+2y=32x−y=k的解距是整数，写出所有满足条件的整数k．
【作业12】（2025秋•闵行区期末）明代《算法统宗》中记录着这样一个问题，“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座寺庙里、每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚分一碗汤，一共用了364只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题．
【作业13】（2025秋•嘉定区期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下：
观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆；
观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆．
某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元．
（1）求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？
（2）当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因．
【作业14】（2025春•闵行区校级期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务：
章节
核心公式/方法
常用技巧
典型题号索引
比与比例
化简比、连比、比例方程
统一中间量，十字交叉法解浓度
1-5
圆与扇形
弧长 l=nπr180，扇形面积 S=nπr2360
旋转轨迹长、齿轮齿数比与方向
6-11
统计图表
扇形圆心角 = 百分比×360°
由部分求整体，补全统计图
12-15
圆柱与圆锥
V柱=πr2h，V锥=13πr2h
等积变形，切面增面积，侧面展开图
16-19
二元一次方程组
消元法、整体思想
换元法解分式方程组，定义新运算
20-28
创新压轴
齿轮传动比、旋转扫过面积、最优方案
数形结合，方程建模
29-32
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．
重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【洗衣目标】．
级数
原来（每月）工资薪金
现行（每月）工资薪金
税率
0
3500元
5000元
免税
1
不超过1500元的部分
不超过3000元的部分
3%
2
超过1500元到4500元的部分
超过3000元到12000元的部分
10%
3
超过4500元到9000元的部分
超过12000元到25000元的部分
20%
4
超过9000元到35000元的部分
超过25000元到35000元的部分
25%
…
…
公民
工资薪金（元）
原应纳个税（元）
现应纳个税（元）
小王
9500
645

小张


1290
子女教育
赡养两位老人
住房贷款
继续教育
租房租金
大病医疗
每个子女每月扣除1000元
每个子女每月扣除1500元
每月扣除1000元
每月扣除400元或300元
每月扣除1200、1000或800元
每年扣除60000元限额（据实）
档位
购买数量
超大杯单价
普通杯单价
第一档
不超出5杯
12元/杯
8元/杯
第二档
超出5杯不超出15杯的部分
10元/杯
6.8元/杯
第三档
超出15杯的部分
8.5元/杯
5.5元/杯
齿轮传动方式
转动圈数比
转动方向
外齿合传动（图丙）
例如：大齿轮为120齿，小齿轮为10齿，则大小齿轮转动圈数比为
大小齿轮转动方向 （填“相同”或“相反”）
同轴联动传动（图丁）
大小齿轮转动圈数比为1：1
大小齿轮转动方向始终一致
实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分）
一楼
二楼
三楼
四楼
五楼
六楼
减5%
平均价
加10%
加5%
减5%
减10%
学习素材
素材一
某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
素材二
精包装
简包装
每盒2斤，每盒售价25元
每盒3斤，每盒售价35元
问题解决
任务一
在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二
现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．