热点18 圆压轴综合4大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 圆与三角形四边形综合
题型02 高阶切线证明、线段求值
题型03 圆内折叠、旋转、动点（含隐圆）
题型04 扇形/弧长与实际应用压轴
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 圆与三角形四边形综合
例1（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________．
例2（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点．
(1)求证：．
(2)若，，求和半径的长．
【变式2】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N，
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；
(3)当时，求的长．
题型02 高阶切线证明、线段求值
例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为10，，求的长．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：为的切线：
(2)若，，求的长．
题型03 圆内折叠、旋转、动点（隐圆）
例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________．
例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．
例3（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（ ）
A．4B．C．D．
【变式2】（2025·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点，分别落在点，处，点为上一点，且，则的最大值为______．
【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______．
【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为．
(1)当点在边．上运动时，证明：；
(2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由；
(3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围．
题型04 扇形/弧长与实际应用压轴
例1（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．
(1)的长为____________，____________；
(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．
①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；
③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．
【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．

（20分钟限时练）
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接．
①点E在的内部；
②的长为；
③若P与C重合，则；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．
则正确的选项为（ ）
A．①②④B．②③④C．②③⑤D．③④⑤
2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________．
4．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径及的长．
6．（2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】
在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点．
例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点．
【基础理解】
(1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________；
【探索应用】
(2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长．
【拓展延伸】
(4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度．
近三年：圆压轴综合是江苏中考数学的几何压轴核心模块，是区分中上游学生的关键考点，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题或填空压轴题形式出现，侧重考查圆的性质、几何变换与综合推理能力。
1.高频考点分布：
圆与三角形四边形综合：基础压轴题高频考点，考查圆与常规几何图形的结合，占3-4分；
高阶切线证明、线段求值：核心设问，考查切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，占3-4分；
圆内折叠、旋转、动点（含隐圆）：高区分度设问，考查图形变换与圆的性质结合，占3-4分；
扇形/弧长与实际应用压轴：情境化创新考点，占2-3分。
2.命题特点：
以圆为载体，结合三角形、四边形、相似三角形，层层递进设问；
设问梯度明显，前两问为切线证明、基础线段求值，后两问为图形变换、动点探究；
江苏中考常以 “切线 + 相似 + 折叠 / 旋转 + 隐圆” 的组合形式命题，综合性极强；
对圆的性质、模型识别能力要求高，如圆周角定理、垂径定理、切线长定理是解题关键。
3.高频失分点：
切线证明时条件不充分，或线段求值时相似三角形对应边找错；
圆内折叠、旋转问题中，无法利用折叠 / 旋转的性质转化线段；
隐圆问题中，无法识别轨迹圆，无法利用圆的性质求最值；
实际应用问题中，无法将实际情境转化为圆的相关问题。
预测2026年：2026年本模块将继续保持压轴题的高区分度命题风格：
1.切线证明与线段求值仍是核心设问，背景更灵活，可能结合特殊三角形、四边形；
2.圆内折叠、旋转、隐圆问题的区分度增强，侧重考查图形分析与转化思想；
3.扇形/弧长实际应用压轴题的情境更丰富，侧重考查建模与应用能力；
4.圆与相似三角形、三角函数的结合更紧密，对综合应用能力要求更高。
解｜题｜策｜略
① 核心解题思想：将圆的性质与三角形、四边形的性质结合，利用圆周角定理、垂径定理、切线性质转化边与角的关系。
② 通用解题步骤：
标记圆上的点、弧、圆心角、圆周角，利用圆周角定理转化角度；
结合三角形、四边形的性质（如等腰、直角、平行、矩形、菱形），寻找相等的边或角；
利用全等三角形、相似三角形、勾股定理，证明线段相等或求解线段长度；
完成证明或计算，注意步骤的规范性。
③ 解题技巧：
看到直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形；
看到弧相等，优先考虑对应的圆心角、圆周角、弦相等；
四边形与圆结合时，优先考虑圆内接四边形的对角互补性质。
④ 易错点：圆周角定理应用时，忽略 “同弧或等弧” 的前提条件；或相似三角形的对应边找错，导致比例式列错。
解｜题｜策｜略
① 切线证明的核心方法：
有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直（需证明角为 90°，可通过全等、相似、等腰三角形三线合一等方法）；
无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。
② 线段求值的常用方法：
勾股定理：在圆中构造直角三角形，直接求解；
相似三角形：利用圆周角定理找到相等的角，证明三角形相似，列比例式求解；
三角函数：利用特殊角的三角函数值，结合直角三角形求解；
垂径定理：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理求弦长或半径。
③ 通用解题步骤：
完成切线证明，确定切线与圆的位置关系；
结合已知条件，构造直角三角形或相似三角形；
列方程或比例式，求解线段长度；
回代验证，确定结果的合理性。
④ 解题技巧：
切线证明后，优先连接圆心与切点，利用切线垂直于半径的性质，得到直角；
线段求值时，优先利用圆的对称性，构造等腰三角形或全等三角形；
涉及多条线段时，可利用切割线定理（PA2=PB⋅PC）或相交弦定理简化计算。
⑤ 易错点：切线证明时条件不充分；或线段求值时，勾股定理的直角边判断错误。
解｜题｜策｜略
① 圆内折叠问题：
核心性质：折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；
解题技巧：设未知数，利用勾股定理列方程；利用圆周角定理转化角度，构造相似三角形。
② 圆内旋转问题：
核心性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角相等，旋转角等于圆心角；
解题技巧：利用旋转的性质，将分散的线段集中到同一三角形中；利用圆周角定理，证明三角形全等或相似。
③ 圆内动点问题：
核心方法：设动点的位置，构造直角三角形或相似三角形，列方程求解；
解题技巧：利用圆的对称性，分析动点的特殊位置（如直径端点、切点）；利用垂线段最短或两点之间线段最短求最值。
④ 通用解题步骤：
分析图形变换的性质，标记对应边、对应角；
设未知数，表示相关线段的长度；
利用圆的性质、勾股定理、相似三角形列方程求解；
结合自变量的取值范围，舍去不符合题意的解。
⑤ 易错点：折叠、旋转中的对应边、对应角找错；动点问题中，无法构造合适的三角形列方程。
解｜题｜策｜略
① 核心公式速记：
弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数，r为半径）；
扇形面积公式：S=nπr2/360=1/2lr（l为弧长）；
圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）。
② 实际应用问题解题步骤：
分析实际情境，提取关键数据，将问题转化为圆的相关问题；
明确问题对应的弧长、扇形面积或圆锥侧面积公式；
代入数据计算，注意单位的统一；
结合实际意义，解释结果。
③ 解题技巧：
实际应用问题中，优先将实际情境转化为几何图形，如车轮转动、扇形零件、圆锥模型等；
涉及扇形与圆锥的转化问题，利用 “底面周长等于侧面展开图的弧长” 建立等式；
阴影面积问题，利用割补法转化为规则图形的面积和或差。
④ 易错点：记错弧长、扇形面积公式，或圆心角单位未统一；实际应用问题中，无法将情境转化为数学问题。