专题02 函数与几何综合压轴26大题型（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题02 函数与几何综合压轴26大题型（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了，与y轴相交于点C等内容，欢迎下载使用。

考向01 各类存在性问题
题型1 各类角度的存在性问题
1．（2025•姑苏区校级二模）一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A作反比例函数y=kx的图象．
（1）求出a，k的值；
（2）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若不存在，请说明理由；若存在，求出点D的坐标．
2．（2025•沭阳县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x=32，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线BC，连接AC，CO＝4AO．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上直线BC上方的一动点，过点P作PD⊥x轴于D，交BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F．点N是线段DE上一动点，作NM⊥y轴于点M，取AC的中点G，连接GM，BN．当△PEF的周长取得最大值时，求点E的坐标和GM+MN+BN的最小值；
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线BC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠BKQ＝∠BCA时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

3．（2025•如皋市二模）如图，A，B两点分别在函数y=2x(x＞0)和y=kx(x＜0)的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接AC，AD，BD，若AC∥BD，且∠A＝2∠B，则k的值等于 ．
4．（2025•宿豫区二模）如图，二次函数y＝mx2+nx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点D是二次函数图象的顶点，连接BC、BD．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数图象上，且横坐标为t（1＜t＜3），过点P的直线l平行于y轴，与BD、BC、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是∠BEG的2倍，请求出此时t的值．
5．（2024•武进区校级一模）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB=12，AB＝2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，连接OC，求△AOC的面积．
6．（2025•锡山区一模）如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A（5，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
7．（2025•盱眙县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，点B的坐标为（3，0），且抛物线的对称轴是直线x=32．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形AMB的面积等于3？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且∠PAM＝90°，求△APM的面积．
8．（2025•高新区校级三模）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线 y=−12x2+bx+c 与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式和tan∠ABC的值；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E、F分别为△BDQ的边DQ、DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m，求m的值．
9．（2025•镇江模拟）如图①，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．下表给出了x与y的几组对应值．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴上，△ACD的面积为92，则点D的坐标为 ；
（3）如图②，点E位于第四象限且在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，若∠EBA+∠ACB＝90°，求点E的坐标．
10．（2025•丹徒区二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A（1，0）、B(0，3)，二次函数的图象经过点A、点B，且与x轴交于点C（﹣3，0）．
（1）求一次函数和二次函数的表达式；
（2）如图2，点D为直线AB上一点（不与点A、B重合），若∠BAC＝∠ADC+∠BCA，求点D的横坐标；
（3）如图3，点M在位于第二象限的抛物线上，过点M分别作ME⊥AB，MF⊥AC，ME+MF是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
题型2 全等三角形的存在性问题
11．（2025•徐州校级模拟）二次函数y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，它的对称轴是直线x＝1．
（1）求此二次函数的解析式和点B的坐标；
（2）如图1，P是y轴右侧的抛物线上一点，连接AP与抛物线的对称轴l交于点E，过点P作PD⊥l于点D，连接AC．是否存在点P，使△PDE与△AOC全等？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接BC，M（m，0）是x轴上正半轴上一点，以MA为半径作⊙M，若⊙M与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
题型3 相似三角形的存在性问题
12．（2025•宿豫区一模）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2＝k2（x﹣1）+3的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是1，点B的纵坐标是﹣2．
（1）求k1，k2的值；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）若直线AB与x轴、y轴分别交于C、D两点，在y轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OCD相似，请直接写出P点坐标．
13．（2025•梁溪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于C．一次函数y＝x﹣3的图象经过B、C两点，点D（0，﹣2）．
（1）求b，c的值；
（2）点E在直线BC上，直线DE交x轴于点F，将点D绕点E逆时针旋转90°得到点G．连接GD、GF，当△GDF和△ABC相似时，求点G的坐标．
14．（2025•惠山区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点E（1，0）且与BC交于点F，CF：BF＝1：3．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧．
①当∠PAB+∠CBA＝∠DCB时，求点P的坐标；
②连接AC，点Q是直线BC上一点，当Rt△PEQ∽Rt△COA时，求点P的坐标．
题型4 直角三角形的存在性问题
15．（2025•锡山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
16．（2025•泰州模拟）如图1，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=kx上经过C，D．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形且AB不为斜边，直接写出满足要求的所有点P的坐标．
题型5 等腰三角形的存在性问题
17．（2025•无锡）已知二次函数y=−12x2+mx+33m（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
（1）若该函数图象经过点(0，3)，求点A的横坐标；
（2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2；
（3）若△ABC是等腰三角形，求m的值．
18．（2024•高新区校级三模）如图，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，以点A为直角顶点作等腰Rt△AEF，若点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
19．（2024•南京模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=−12x+n经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
题型6 等腰直角三角形的存在性问题
20．（2025•邗江区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ．
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PO交BC于点D，求PDOD的最大值．
（3）点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．
21．（2025•沭阳县校级一模）如图，直线y=−33x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−36x2+bx+c经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b，c的值．
（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝t，△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．
题型7 平行四边形的存在性问题
22．（2025•江都区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，已知点A（0，m），C（n，0），且m，n是关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个根（m＜n），点D是OC的中点，连接AD．
（1）求点B的坐标；
（2）若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图象上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在线段OC上取点E，使得CE＝1，G是线段BC上的一动点，F是双曲线y=ax（x＞0）与线段AB的交点，且满足AF＝2CG，当2GE+EF取得最小值时，求a的值．
题型8 菱形的存在性问题
23．（2024•淮安区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜mx的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
24．（2025•滨湖区一模）已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点(12，0)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E．
①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值；
②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．
题型9 矩形的存在性问题
25．（2024•沛县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴为直线x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点Q的坐标为（n，5）．连结OQ，CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
26．（2025•滨湖区二模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
（1）①线段AB的长为 ．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
题型8 正方形的存在性问题
27．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由．
28．（2025•铜山区一模）已知二次函数y＝ax2+4ax+a﹣2的图象经过点A（﹣3，0），与y轴交于点B．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点E（x1，n）、F（x2，n）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤4，求n的最大值；
（3）若点M，N是直线AB上的点，二次函数图象上是否存在点P，Q（点P在点Q的左侧），使得四边形MNPQ是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型11 线段比存在性问题
29．（2025•东海县校级二模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5−12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．
（1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值；
（2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P的坐标．
30．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．
（1）求b，c的值．
（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值
（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有 个；当mn＝2时，对应的t值有 个；当mn=1时，对应的t值有 个．
题型12 面积的存在性问题
31．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A（0，4），B（4，0）．
（1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
（2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标．
（3）若点M坐标固定为（1，6），Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．
32．（2024•沭阳县校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝3S2，求点F的横坐标．
33．（2025•苏州二模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，二次函数上第一象限内有一点D，第三象限有一点E，线段OB上有一点G，连接DE交BC于F，连接FG．
（1）请求出直线BC对应函数的表达式；
（2）当四边形ABCD的面积最大时，求D点的坐标．
（3）在（2）的条件下，当△ECD和△EBD的面积比为1：3时，猜想2FG+BG有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
考向02 各类最值问题
题型13 各类线段最值
34．（2025•淮安区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+52与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；
（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
35．（2025•广陵区一模）在二次函数y＝x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（p，﹣p）在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足a≤p≤b．
（1）求p的值；
（2）记a≤x≤b时，二次函数y＝x2的最大值为y1，最小值为y2．若b﹣a＝3，求y1﹣y2的取值范围；
（3）连接PA，PB，AB．当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH是否存在最大值？若存在，求PH的最大值；若不存在，请说明理由．
36．（2024•盐城三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+14CE的最小值．
37．（2025•梁溪区一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°．
（1）请求出a的值；
（2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由．
38．（2025•锡山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
39．（2025•新沂市二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，EF=22．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标；
（3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值．
40．（2025•大丰区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，请直接写出点P的坐标．
41．（2025•邗江区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ．
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PO交BC于点D，求PDOD的最大值．
（3）点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．
题型14 面积最值
42．（2024•锡山区校级一模）如图，抛物线y＝ax2−103x+4与直线y=43x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
43．（2024•南京模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=−12x+n经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
44．（2025•姑苏区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点D（1，4），对称轴交x轴于点G．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接PC、PA，分别交对称轴于点E、F．
①在点P的运动过程中，DE、EF、FG这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由；
②如图2，连接AC、BC，AP与BC相交于点H，若△PCH的面积为S1，△ACH的面积为S2，求S1S2的最大值．
题型15 角最大问题
45．（2025•沛县二模）如图，二次函数y=3x2﹣63x+53的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）直接写出点B、C的坐标，B ；C ．
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积153，求点P的坐标．
（3）设E为线段BC上一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动中用时最少，最少用时是 秒．
（4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 ．
考向03 各类点的问题
题型16 交点个数问题
46．（2025•苏州二模）如图，以矩形ABCD的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，AB＝4，BC＝8，反比例函数y1=k1x的图象与矩形的边AB，BC分别交于点P，Q，且AB＝8EP，直线l：y2＝k2x+b经过P，Q两点．
（1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式；
（2）连接EN．
①求证：EN∥PQ；
②线段EN与反比例函数图象是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
47．（2025•梁溪区三模）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝45°，AD∥BC，AD＝4，AB=52，BC＝12，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段AB上的运动速度为每秒2个单位长度，在线段BC上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（0＜x＜9），△DPC的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线y＝3x+m与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围．
题型17 整数点问题
48．（2025•清江浦区模拟）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．
（1）当AB＝12时，
①求直线a：y＝x+m与抛物线y＝x2+mx的解析式；
②在抛物线y＝x2+mx对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小，且写出最小值；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
题型18 点落在某个几何图形上或函数上
49．（2024•苏州模拟）如图，直线y=−12x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
50．（2025•宜兴市二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此二次函数的图象上有且只有3个点到直线y＝n的距离等于34，求此3个点的坐标；
（3）以M（a，0），N（a+2，0），P（a+2，﹣3），Q（a，﹣3）四个点为顶点作矩形MNPQ，若此二次函数的图象在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差为54，直接写出a的值．
51．（2025•梁溪区校级一模）已知，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问S△PECS△PCF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，点G为y轴上的一点，纵坐标为﹣m，以GQ、PQ为邻边构造矩形PQGH，当抛物线在矩形PQGH内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
考向04 定点定值恒成立问题
题型19 定点问题
52．（2025•扬州校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为（1，4），点P是第一象限抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图2，连接AC、BC、PC，线段BC与AP相交于点E，设W=S△PECS△ACE，则w有最大值还是最小值？请作出判断，并求出w的最值．
（3）如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接AQ交y轴于点H，线段AP与y轴的交点记为G，用m表示OG的长，用n表示OH的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式m=4n，试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
53．（2024•亭湖区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
题型20 定值问题
54．（2025•栖霞区校级三模）（1）如图①，在四边形ABCD中，E为AB的中点，点F在CD上，AD∥BC∥EF．求证：EF=AD+BC2．
（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象U在x轴的上方，过x轴上的A，B，C三点分别作x轴的垂线交图象U于点D，E，F，延长BE交DF于点G，若AB＝BC．
（I）求证：GEAB2的值是定值．
（Ⅱ）点P是图象U上的一动点，当点P在直线段DF下方从D运动到F时，则△DPF的面积 ．（填下列结论中所有正确结论的序号）①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大；⑤当P运动到点E处时最大．
（Ⅲ）已知某一次函数的图象L与图象U有唯一公共点Q（m，n），若点（m+2，q），（m+2，q+7）分别在图象L，图象U上，则a的值是 ．
55．（2025•宿城区一模）已知，抛物线C1：y=−mx2−2mx+3m(m＞0)交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，连接AC，设点B到直线AC的距离为d1，点P到直线直线AC的距离为d2，请问d1d2是否为定值？如果是，请求出d1d2的值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，将抛物线C1绕点O（0，0）旋转180°，得到抛物线C2，抛物线C1，C2相交于D，E两点，抛物线C1、C2位于D，E两点之间的部分图形记作W，过点O的直线与W相交于F，G两点，若△EFG面积的最大值为4，请直接写出满足条件的m的值．
题型21 恒成立问题
56．（2025•泰兴市校级三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，点A为函数y=kx（x＞0，k＞0）图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于点B，点P坐标为（a，a）（a＞0）．当a＝22时，点P恰好落在y=kx的函数图象上．
（1）求函数y=kx（x＞0）的关系式；
（2）若△ABP是以BP为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）在点A运动过程中始终存在一点P，使AB＝AP恒成立，求a的值．
57．（2025•连云港校级一模）如图，二次函数y＝mx2+nx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点D是二次函数图象的顶点，连接BC、BD．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求∠CBD的正切值；
（3）若点P在二次函数图象上，且横坐标为t（1＜t＜3），过点P的直线l平行于y轴，与BD、BC、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形．
考向05 几何变换问题
题型22 平移
58．（2025•武进区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=12x2+bx−4的图象与x轴交于点A（2，0），点B，与y轴交于点C，点D是抛物线上一点，且横坐标是1，连接AD，BD．点P是第三象限内抛物线上一动点．
（1）填空：b＝ 1 ；
（2）如图1，过点P作PM∥AD交BD于点M，连接AP交BD于点N，当MNND最大时，点Q是x轴上一个动点，求|PQ﹣DQ|的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线PD方向平移，使平移后的抛物线经过点A，点F（6，n）是平移后的抛物线上一点，E（4，0），连接EF．将线段EF平移到线段GH（点G、H分别与点E、F对应），若点G、H同时落在平移后的抛物线上，求点G的坐标．

59．（2024•南通模拟）如图1，抛物线C1：y＝ax2+10ax+16a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）当OA＝2OC时，若点P是抛物线上一点，且∠PCA＝∠BAC，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若将抛物线C1沿着x轴向右平移m（0＜m＜6）个单位后得到抛物线C2，如图2，C2与原直线BC交于M、N两点（M在N的左侧），且CN＝3BM，求m的值．
题型23 旋转
60．（2024•梁溪区校级一模）等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k＝ ．
61．（2025•高新区校级三模）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 （点C'不与点A重合）．
62．（2024•玄武区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围；
（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标．
题型24 翻折
63．（2023•鼓楼区校级三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k＝ ；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
64．（2024•盐城模拟）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y轴交于点A．
（1）点A的坐标为 ；对称轴为 x= （用含a的代数式表示）；
（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为 ；
（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；
（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．
考向06 新定义题型
65．（2025•盐城）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务．
66（2025•沛县模拟）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3，3），请判断点A，B是否为直线y＝﹣2x+4上的点C的“共圆点”？并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y=kx的图象上，点A与点B是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点B的坐标；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为点C，点D在抛物线的对称轴上，且在点C的上方，点P在对称轴右侧的抛物线上，DP∥x轴，点P与点C是抛物线上的点D的“共圆点”．
①求点P的坐标；
②将抛物线y＝x2﹣2x﹣3平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，点M在y轴上，当△MPE的周长最小时，求点M的坐标．
67．（2025•沛县二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（3，3），中，是矩形ABCD“梦之点”的是 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ，直线GH的解析式是y2＝x ．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
（3）如图②，已知点A，B是二次函数y=−12x2+x+92图象上的“梦之点”，点C为二次函数y=−12x2+x+92图象上的动点，且位于直线AB上方，连接CA，CB．求△ABC的面积的最大值．
考向07 其他综合题型
68．（2025•宿豫区三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12x2+mx−12m2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当n＝2时，若点A在第一象限内，求此二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q，若p+q＝2，试说明P+Q的值恒小于4；
（3）作直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【答案】（1）y=−12x2+3x−12；
（2）理由见解析；
（3）0≤m＜1或1＜m＜22．
69．（2025•姑苏区校级一模）如图，已知关于x的二次函数y=4m(x+1)(x−m)图象交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD．
（1）求tan∠ABC的值；
（2）若点D恰好在二次函数y=4m(x+1)(x−m)的图象上，求此时m的值；
（3）过点B作∠CBD的平分线交二次函数y=4m(x+1)(x−m)图象于点E，过点E作线段EF∥BD交x轴于点F，请直接写出BFEF= ．
70．（2024•海州区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=−12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴上一点，以P为圆心，32为半径的圆与直线AB相切，求圆心P的坐标；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
（建议用时：120分钟）
1（2025•宿豫区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，连接AC，BC，抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接AD，交y轴于点E，交BC于点F，连接BD，如图1所示，若△BDF的面积记为S1，△CEF的面积记为S2，试问：是否存在这样的点D，使得S2﹣S1=114，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接PB，点M为抛物线的对称轴上一点，连接AM，CM，若∠AMC＝2∠PBC，请直接写出点M的坐标．
2．（2025•仪征市校级三模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点．
【概念理解】
（1）点P（3，4），点N为点M关于点P的二次对称点，则MN＝ ．
（2）若点Q（﹣2，0），A（t，0），点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示）
【形成技能】
（3）点D为点C关于点P（3，4）的二次对称点，且PC、PD都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标．
【灵活运用】
（4）如图2，点F为点E关于点P（3，4）的二次对称点，连接FP，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为y=12x+b(b＞0)，若在运动过程中，一定存在∠EPF＝90°的情形．求b的取值范围．
3．（2025•无锡校级二模）平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0，且a为常数）图象顶点为P，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（A在B的左侧）；
（1）试用含a的代数式表示P的坐标；
（2）设M（m，y1），N（4﹣m，y2）（m＜2）为抛物线上的两点．试比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若B点坐标为（3，0），直线y＝4x+b（b≠0，且b为常数）与y轴交于点D（异于点C），与抛物线交于点E，F，其中点E在第一象限，若∠DEB＝45°，请求出b的值．
4．（2024•泗阳县三模）已知，如图，直线y＝﹣2x+m与x轴、y轴相交于点A、点C，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ；
（2）延长CA至点D，作∠DAB、∠ACB的平分线，两条角平分线相交于点G，求tan∠G的值；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得∠BPC＝∠G，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2024•梁溪区二模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同．CD＝AC，tan∠OAC=34．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得∠NMO+∠ACO＝90°，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
6．（2024•连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、D(1，a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
7．（2024•仪征市二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【结论探究】
（1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab；
（2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，a2+b2≥2ab；
【结论应用】
（3）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，AB经过原点O．
①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC；
②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小．
7．（2025•镇江模拟）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F．连接AD，交直线BC于点G．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
（2）试探究DGAG是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若点P在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象上且位于第一象限，连接AP，交直线BC于点Q，试求PQAQ的最大值，并求出此时点P的横坐标．
8．（2025•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），该抛物线的对称轴为直线 x＝1，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段BC上的一动点．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，连接OD，并延长OD交抛物线于点E，若OE垂直平分BC，求点E的坐标；
（3）如图②，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值．
9．（2025•锡山区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+4ax+3的图象分别交x轴于A、B两点且AB＝2（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点（0，﹣2）且平行于x轴，P为直线l上的动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点P作平行于y轴的直线交抛物线于点D，点E与点D关于抛物线的对称轴对称，连接PE、DE，
①若sin∠DEP=255时，求点E的横坐标；
②是否存在某一位置的点P，使得∠DPE最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2025•盐都区二模）【背景资料】1638年伽利略斜面实验，如图1，三个质量、大小完全相同的小球从A点分别沿①、②、③轨道同时滚落，谁先到达终点P？结果令人惊讶，是轨道②．
【提出问题】伽利略通过反复实验发现此轨道曲线的存在，并命名为“最速曲线”．
问题：该曲线是如何形成的？（终其一生未解）
【问题解决】50多年后牛顿破解：如图2，将一枚硬币⊙O，做好半径OA标记，并放置在直线l上（此时点A处在切点），沿直线l滚动一周至⊙On，A点运动的摆线即为“最速曲线”．
提示：1．Ai，An为点A运动过程中的某一位置点，Oi，On及后面题中的B1i，Bn也如此；
2．图2中，线段AT的长＝弧AT的长．
【深入探究】（1）如图3，若硬币的半径为1cm，当A点滚动到线段OO1上A1处，则OA1的长为 cm．
（2）如图4，半径分别为1cm、1.5cm的两圆⊙O、⊙G从同一点A（B与之重合）出发，沿直线l滚动形成两条“最速曲线”．过程中，当A、O2、G2在同一直线上时，标记点A、B分别滚到A2、B2处．
①求证：O2A2∥G2B2；
②AA2：AB2＝ ．（直接写出结论）
【迁移拓展】（3）如图5，抛物线C1：y＝3mx2+t，C2：y＝mx2+t，（m、t均为小于0的常数），过公共顶点A作直线分别交两抛物线于点E、F．求：AE：AF的值．
11．（2024•梁溪区校级一模）某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N，连接BM、BC、AC，试探究CM、CN、OA、OB之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：
（1）设a＝1，b＝﹣3，c＝2．
①若点P的横坐标为3，请计算CMCN= ；比较大小：OAOB CMCN（填“＜”，“＞”或“＝”）．
②若点P的横坐标为m，上述OAOB与CMCN之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为x1，x2（x1＜x2）时，将抛物线变形为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），研究此问题更加方便，请借助小明的发现验证你的猜想．
（3）请利用上述经验，解决项目式问题，若S△BCM−S△ACMS△BCM=k，请直接写出k的取值范围 ．
12．（2025•南通模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）顶点M的坐标为（2，﹣5），点P、点Q均在这个抛物线上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为2﹣m，将此抛物线上P、Q两．点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．
（1）求b和c的值；
（2）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）矩形ABCD的顶点分别为A（3m﹣2，2）、B（2﹣m，2）、C（2﹣m，﹣4），当图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
13．（2024•泰兴市二模）如图1，点A在抛物线y＝mx2对称轴右侧图象上，点B在y轴正半轴上，AB⊥OA，过B作BC⊥y轴交抛物线对称轴右侧的图象于点C，设∠BOA＝α．
（1）当m＝1时
①若α＝45°，求BC的长；
②若α＝30°，求AOBC的值；
（2）在α变化的过程中，图中始终有2条线段相等，请指出相等的线段并说明理由；
（3）如图2，点E为抛物线y＝m（x﹣c）2+k顶点，F、G分别为对称轴左侧图象和对称轴上一点，且EF⊥FG，用无刻度的直尺和圆规过点G作x轴平行线．
（直尺和圆规都限用一次，不写作法，保留作图痕迹）
14．（2025•兴化市二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点为B，其对称轴与x轴交于点C．
（1）若二次函数的图象经过点A，B（1，4）．
①求函数的表达式；
②将点B绕点O逆时针旋转90°，求旋转后对应点B′的坐标；
（2）当b＝﹣2a时，将△ABC沿y轴向下平移使点A与原点O重合，再将平移后的三角形绕点O逆时针旋转90°，点B′，C′是点B，C旋转后的对应点，若B'，C'恰好落在二次函数图象上，求BC的长度；
（3）当b＝a+2时，二次函数满足当x≤1时，y随x的增大而增大，且关于x的方程ax2+bx+c＝ax+n有两个相同的实数根，若以方程的根为横坐标的点D在二次函数的图象上时，OD≥32始终成立，求c的取值范围．
15．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
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近三年：中考数学中二次函数的各种代数考点主要考向分为7类：
一、各类存在性问题（每年1~2道，12~15分）；
二、各类最值问题（每年1~2道，12~15分）；
三、交点问题（每年1~2道，12~15分）；
四、定值定点恒成立问题（每年1~2道，12~15分）；
五、几何变换（每年1~2道，12~15分）；
六、新定义问题（每年1~2道，12~15分）；
七、其他综合题型（每年1~2道，12~15分）；
考查内容稳定，命题形式多样，以解答题压轴题为主，偶尔出现在选择和填空
预测2026年：必考。
1.相等角的存在性问题
三角函数法（首选）：若两个角相等（且同为锐角或同为钝角），则它们的正切值相等。在坐标系中，过角的顶点作坐标轴垂线，构造直角三角形，利用 tanα=竖直距离水平距离=y2−y1x2−x1 计算，无需复杂辅助线，适配绝大多数与坐标轴相关的等角题型。
相似三角形法：针对无坐标轴关联的等角，通过构造“双垂线”形成K型相似模型，利用相似三角形对应边成比例列方程，破解非特殊位置的等角问题。
对称变换法：针对顶点在抛物线对称轴上的等角，结合抛物线轴对称性、角平分线的对称性质，将等角转化为对称点共线问题，大幅简化计算量。
全等三角形法：适用于含直角、定线段的等角题型，构造全等直角三角形，把等角关系转化为对应边相等，进而求解动点坐标。
2.倍角的存在性问题
计算二倍角的正切值，可利用直角三角形推导；
相似三角形法：通过倍角构造等腰、作角平分线，生成相似三角形，利用对应边成比例列方程，适配几何特征明显、角度特殊的题型。
垂直平分线+等腰法：结合线段垂直平分线性质，构造等腰三角形实现倍角转化，适配对称轴、直角相关的倍角题型。
3.45°角的存在性问题
处理45°角存在性问题，核心是围绕45°角构造等腰直角三角形，搭配坐标系辅助线，实现几何到代数的转化，常用3种构造方式：
横平竖直接垂线法：过角的顶点或边上定点，作x轴、y轴的垂线，构造直角，结合45°角形成等腰直角三角形，利用直角边相等列方程，适配绝大多数与坐标轴关联的45°角题型。
K型全等（一线三等角）：构造“一线三直角”模型，借助45°角衍生全等三角形，通过对应边相等转化坐标关系，适配无坐标轴关联的45°角题型。
正切值法：45°角的正切值为1，即tan45∘=1=竖直距离水平距离，直接用坐标差列等量关系，计算最简，首选使用。
4.直角的存在性问题
斜率垂直法（首选）：若两条直线斜率均存在，且互相垂直，则斜率乘积为-1，即k1⋅k2=−1。设两点坐标即可表示斜率，计算量小，适配定点+动点的直角题型。
勾股定理法：若三角形为直角三角形，满足a2+b2=c2（斜边平方等于两直角边平方和）。用距离公式表示三边长度，列方程求解，无斜率不存在的特殊情况，适配任意直角顶点场景。
K型全等（一线三直角）：构造“横平竖直”双垂线，形成一线三直角模型，借助全等三角形对应边相等转化坐标关系，适配无坐标轴关联、动点位置灵活的场景。
5.角度和差关系
利用题目中的条件进行转化，基本上可以转化成以上4类角。
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
…
1.解题全程遵循“先定角、再定边、先几何、后代数”的思路
2.关键点是按照顶点一一对应的关系进行分类讨论，例如
已知定△ABC，找动点P、Q构成△PQM≌△ABC，分三类核心情况：
情况一：点A对应点P，点B对应点Q，点C对应点M（边AB=PQ，AC=PM，∠A=∠P）；
情况二：点A对应点Q，点B对应点P，点C对应点M（边AB=QP，AC=QM，∠A=∠Q）；
情况三：点A对应点M，点B对应点P，点C对应点Q（边AB=MP，AC=MQ，∠A=∠M）。
1.解题全程遵循“先定角、再定边、先几何、后代数”的思路
2.分类定对应关系：围绕相等角的顶点，分情况讨论三角形顶点对应顺序（核心步骤，杜绝漏解）。
解题思路参照直角的存在性问题
1.两定一动型，可以用两圆一中垂，找出所有满足条件的点后再求解；
2.一定两动或三动点，先将所有点的坐标表示出来，然后分3类进行讨论，用两点间的距离公式进行求解。
①锁定定点，设出动点
先根据函数解析式求出已知定点坐标，再按照设参规则，用单参数表示未知动点坐标。
②分类讨论，确定直角顶点
等腰直角三角形直角顶点不确定，必须分三种情况逐一分析（设三点为A、B、P）：
∠A=90°：A为直角顶点，满足AB⟂AP且AB=AP；
∠B=90°：B为直角顶点，满足BA⟂BP且BA=BP；
∠P=90°：P为直角顶点，满足PA⟂PB且PA=PB。
③几何转代数，列方程求解
优先用一线三垂直构造全等，推导坐标差等量关系；斜率法作为辅助，列出方程求解参数。
④验证取舍，确定坐标
检验参数解是否符合函数定义域、动点位置要求，舍去增根、无效解，保留有效坐标。
1. 分类讨论（两大场景）
设已知两点为A、B，动点为P、Q，分两类讨论：
AB为边：AB与PQ平行且相等，中点分别为两组对角线；
AB为对角线：AB与PQ互相平分，AB中点=PQ中点。
2. 解题步骤
①锁定已知定点，设出动点坐标（单参数）；
②按“AB为边/对角线”分类，列中点坐标等式；
③解方程求参数，代入得动点坐标；
④验证动点是否在函数图象上，舍去重合、越界解。
秒杀技巧：三定一动型平行四边形，用“平移法”快速找点，结合中点公式验算，效率远超距离法。
1.在平行四边形的基础上，增加邻边等长条件：利用两点间距离公式，列邻边相等的等式；
2.若涉及对角线，需满足对角线垂直且平分。
1.在平行四边形的基础上，增加垂直条件：邻边斜率乘积为−1；
2.其他解题思路参照直角三角形的存在性问题。
先按矩形思路证直角，再按菱形思路证邻边相等，或直接利用“一线三垂直”全等模型，构造等腰直角三角形补全正方形。
直接表示线段后，利用函数的性质求最值；
利用8字型相似转化，化斜为直，利用点坐标表示线段；
1. 铅锤法（割补法进阶，二次函数压轴首选）
又名“宽高法”，专门解决坐标系中斜三角形、不规则四边形面积，步骤固定、计算简便。
S=12×水平宽×铅锤高
2. 函数割补法
结合函数解析式，用“大规则图形面积减去周围小三角形/梯形面积”，适合动点在函数图象上的题型，配合设参法使用
1.单线段最值：图1，2：表示出P、Q的坐标，然后得到PQ长度；图3：化斜的为直

图1 图2 图3
2.线段比最值问题：同上线段比的存在性问题；
3.多线段和差最值：
①利用坐标将各线段表示出来，再求最值；
②将军饮马模型；
③胡不归和阿氏圆模型；
④逆等线构造全等；
直接表示出面积，求面积的方法同面积的存在性问题，再利用函数的性质求最值；
利用相似三角形相似比转化面积比，再利用函数的性质求最值；
米勒最大张角模型
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

（一）抛物线与动直线的交点问题
（二）抛物线与动线段交点问题
函数已知，找整点个数
根据整点情况求未知参数。
第一步
寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线)
分类讨论，找临界状态时未知参数的取值。
第二步
准确画图，确定区域
画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况。
第三步
关注是否包含边界上的整点
关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围。
注意事项
规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生.
找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态。
解题思路参照题型16
方法1:消掉待定系数k
方法2:特殊值法
第
一
步
先找出所有含k的项，再提公因式k
y=x²+kx-3k
=x²+k(x-3)
取两个k的任意值，代入函数解析式
令k=1,y=x²+x-3.
令k=0,y=x²
第
二
步
令与k相乘的因式为0,求出x,再回代函数解析式求出y
令x-3=0,则x=3,求出x,再回代函数解析此时y=x²+k(x-3)=9
列方程组
y=x2+x−3y=x2
令x-3=0,则x=3,此时y=x²+k(x-3)=9
第三步
在一个函数中，知x可求y,即可求出定点
无论k取何值，抛物线都经过定点(3,9)
解得定点坐标x=3y=9
无论k取何值，抛物线都经过定点(3,9)
总
结
k取任意值，抛物线都会经过同一定点，所以此定点与k值无关.先提出参数k,再令k的系数为0,则k被消掉，不起作用，此时x、y值即为该定点坐标!
k取任意值，抛物线都会经过同一定点，所以任取两k值代入所形成的两个二元一次方程组成的方程组的解即为该定点坐标!
一．函数面积定值
问题的核心是：无论函数图像上的动点如何移动，其与坐标轴 / 定点围成的图形面积始终为定值，解题关键是消去变量，证明面积表达式为常数。
核心步骤（以一次函数为例）
1）设点：设函数上的动点坐标（如一次函数y=kx+b上动点P(t，kt+b)）。
2）定图形：明确动点与坐标轴 / 定点围成的图形（多为三角形、梯形）。
3）列面积公式：用动点坐标表示图形的底和高，代入面积公式。
4）化简消参：化简面积表达式，消去变量t，证明结果为常数。
面积比值为定值
1）若两个图形同高（或同底），面积比可直接转化为底（或高）的比，简化计算。
2）涉及函数交点时，先联立解析式求交点坐标，再确定图形的边长或高。
三．线段长为定值
1）优先利用函数解析式代换消去变量，比如用y=kx+b将纵坐标转化为横坐标的表达式。
2）若线段两端点都在函数图像上，联立两点坐标特征，寻找隐含的等量关系简化计算。
四．线段和为定值
1）几何转化简化计算：若线段和涉及动点到两定点的距离，可利用轴对称将折线段转化为直线段（如将军饮马模型），直接求直线段长度即为定值。
2）利用函数性质代换：用函数解析式把纵坐标转化为横坐标的表达式，减少变量个数，方便消参。
3）关注特殊位置验证：可先代入动点的特殊位置（如与坐标轴交点）计算线段和，预判定值，再进行一般情况的证明。
五．加权线段和为定值
1）权重转化优先于代数计算：直接用两点间距离公式计算加权和会出现根号，计算复杂，优先通过几何方法转化权重（如三角函数、相似），简化表达式。
2）特殊位置验证定值：先取动点的特殊位置（如与坐标轴交点、函数顶点），计算加权线段和，预判定值，再推导一般情况。
3）结合函数性质消参：利用函数解析式将纵坐标转化为横坐标的表达式，减少变量个数，方便约分消参。
六．线段乘积为定值
1）利用韦达定理简化计算：若线段端点是函数与某条动直线的交点，联立解析式得到一元二次方程，用韦达定理直接表示两根之和 / 积，避免求解具体交点坐标。
2）相似三角形转化线段：当线段为斜线时，构造相似三角形，将线段长度比转化为坐标比，消去根号和复杂表达式。
3）特殊位置验证定值：先取动点的特殊位置（如顶点、与坐标轴交点）计算线段乘积，预判定值，再推导一般情况，减少计算失误。
七．线段比值为定值
1）优先用相似三角形：若两条线段所在直线平行或共线，构造相似三角形可直接将线段比转化为对应横坐标 / 纵坐标的比，大幅简化计算。
2）特殊位置验证：先取动点的特殊位置（如与坐标轴交点、函数顶点）计算比值，预判定值，再推导一般情况，减少计算错误。
3）利用比例性质：若线段共线，可利用 “线段的比例等于对应坐标差的比例” 直接化简。
“θ变换”
研究内容
提出概念
已知点P（x，y），如果点P′（x′，y′）满足x′=x⋅csθ−y⋅sinθy′=x⋅sinθ+y⋅csθ，那么称点P′是点P的“θ变换”点．
理解概念
已知点P(33，3)，θ=60°，求点P的“θ变换”点P′（x′，y′）．
探究性质
如图1，已知点P(33，3)和点Q(−2，23)，当θ＝60°时，
①请在图1中分别画出点P，Q对应的“θ变换”点P′，Q′．
②研究发现：线段P′Q′可由线段PQ通过一次图形变换得到，点P′是点P的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出对称轴或旋转中心．（不写作法，保留作图痕迹）
运用性质
如图2，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为A(−2，2)，B(−32，−32)，C(2，−2)，曲线l是反比例函数y=2x(x＜0)图象的“θ变换”线，θ＝45°，l交边BC于点M，N，直线OM，ON分别交边AD于点E，F，记△BOM，△CON，△DOE，△AOF的面积分别为S1，S2，S3，S4，求S1+S2+S3+S4的值．