热点12 二次函数几何综合10大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 a、b、c符号与多结论判断
题型02 解析式、图像与性质
题型03 线段、周长最值
题型04 面积最值、面积分割定值
题型05 等腰三角形存在性
题型06 直角三角形存在性
题型07 （特殊）平行四边形存在性
题型08 相似三角形存在性
题型09 二次函数含参数综合
题型10 二次函数动点压轴
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 a、b、c符号与多结论判断
例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，符合题意；
②∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴，
∴， 符合题意；
③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，不符合题意；
④∵图象与x轴有2个交点，
∴，不符合题意；
⑤∵时，，
∴，符合题意；
故答案为：①②⑤．
例2（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，
∴，故①错误；，故②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，即，故③正确；
由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等，
∴当时，，故④正确；
综上所述：正确的结论有②③④共3个．
例3（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（ ）
A．4个B．3个C．1个D．2个
【答案】C
【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定及相关代数式的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于负半轴，
，；，
∵对称轴在轴右侧，
，即；
，；
由图可知对称轴，且，
，即；
当时，，当时， ；
；
，，
，
；
综上所述，正数只有这1个．
【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】观察图象，根据图象与x轴有两个交点，即可判定①；二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，即可判定②；根据当时，，即可判定③；根据当时，，即可判定④．
【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点，
∴，
∴①正确；
∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，
∴，，
∴，
∴，
∴②不正确；
当时，，
即可得，
∴③正确；
当时，，
∴，
∴④不正确．
故选：B．
【变式2】（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知，可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
故，所以①不符合题意；
由图象知时，函数最大值是，故②符合题意；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∴当时，，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
由图象过点可得，
∵，
∴ ，
∴，
∴，故⑤不符合题意，
故正确的有②③④共3个．
【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有( )
A．①③④B．②④C．②③D．②③④
【答案】D
【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与轴交于负半轴得到，即可判断①；②由对称轴为直线，根据在抛物线上，得出，根据，即可得出，根据是直角三角形时，，，结合②的结论得出，进而可得是钝角三角形，即可判断③，根据分别将和，解方程得出方程的解，进而判断④
【详解】解抛物线开口向上，
，
对称轴为直线
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①不正确；
对称轴为直线，
在抛物线上，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，设直线与轴交于点，
依题意，，
当是直角三角形时，，
∴
∵对称轴为直线，
∴点的纵坐标为：
∵
∴
即
∴是钝角三角形，故③正确；
∵
∴时，，
∴方程为，
解得：
当时，
∴方程为，
解得：或
∴若方程的两根为、，则，．故④正确
题型02 解析式、图像与性质
例1（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式．
【详解】解：设抛物线为，
抛物线与的开口方向、形状大小完全相同，
，
将代入可得．
例2（2026·江苏徐州·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______．
【答案】
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为，
整理得，
所以平移后抛物线的顶点坐标为．
例3（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______．
【答案】/0.75
【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解．
【详解】解：，
当时，二次函数取最小值，最小值为，
故答案为：．
【变式1】（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________．
【答案】
【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可．
【详解】解：对原抛物线配方得，
可得原抛物线的顶点坐标为，
抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数，
根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
因此旋转后抛物线的顶点式为，
整理为一般式．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接）
【答案】
【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是，
∴点的对称点的坐标是．
∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且，
∴．
【变式3】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值．
二次函数图象经过点，
将代入解析式得：，
整理得，
解得或．
对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为，
，
解得，
因此舍去，得．
将代入二次函数解析式得：，
配方得，
因此该二次函数的最小值为．
【变式4】（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时．
【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以．
（Ⅰ）当时，可得
解不等式，得
（不符合题意，舍去）．
（Ⅱ）当时，可知且，可得
解不等式组，得
．
题型03 线段、周长最值
例1（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当线段最短时，求点的坐标；
(3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为；
(3)的值为或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵和
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
又∵轴，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴当时，最短，
∴当时，；
∴点P的坐标为；
（3）解：当时，；
当时，；
，
∴抛物线的对称轴为；
①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
③当时，即，此时最大值为，
∴最小值为，
若，则或（舍去）；
若，则或（舍去）；
故的值为或．
例2（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值．
【答案】(1)
(2)，29
(3)10
【分析】（1）易得抛物线过点，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）用含的代数式表示的长，对称性求出的长，根据矩形的周长公式，列出二次函数求最值即可；
（3）求出点坐标，待定系数法求出平移后的解析式，设经过点的直线解析式为，分别联立直线和两个抛物线的解析式，求出，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
当时，，
∵，
∴，
又∵抛物线过点，和，
∴，解得，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴矩形的周长为，
∴当时，矩形的周长最大为29；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴，
设经过点的直线解析式为，
联立，解得或；
∴，
联立，解得或；
∴，
∴．
例3（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若，求的值．
(3)直线与直线交于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系．
（1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则；
（2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得；
（3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为．
【详解】（1）解：当时，，即．
当时，，，即，，
抛物线的对称轴为直线．
将代入抛物线表达式得，即，
，
，得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
即，
设直线的表达式为，
将，代入，
则，解得，
则直线的表达式为，
同理可得直线的表达式为．
①如图1，当在右侧时，，
则，
．
②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得，
在中垂线上．
的坐标为．
设，
则，
解得，
即，
将点代入，得．
综上所述，的取值为或；
（3）解：设，，
设直线的表达式为，直线的表达式为．
将，坐标代入，有
则，，
∴
即．
直线的表达式为，
同理直线的表达式为，
则，，
即，，
即，
整理得，
联立直线与抛物线得到
整理得，
，．
．
即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，
．
当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为．
【变式1】（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点．
(1)求一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标；
(3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求．
（2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标．
（3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值．
【详解】（1）解：把、代入，得
，
解得，
∴．
设，
把代入，得，即，
∴．
∴．
（2）解：由题意得：
在中，，
∴；
在中，，
∴．
∵，
，
当点在第四象限时，
，
设，
∴，即：，
∴，
当点在第二象限时，
∵，，
∴，
∴轴，
∴，即：，
∴，
综上，点的横坐标为或；
（3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为，
中，，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键．
【变式2】（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标；
(3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点；
（3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答．
【详解】（1）解：把，代入，
可得，
解得，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：令，可得，
解得，
，
点到直线的距离为定值，
的面积为定值，
当的面积取最大值时，的值最大，
当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，解得，
所以直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
联立方程，
解得，
把代入，可得，
，
如图，作轴，作交于点，
，，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
，即；
（3）解：如图，过点作，截取，连接，
，四边形为平行四边形，
，
，
当三点共线时，取最小值，最小值为，
根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大，
，即，
，
，即的最小值为．
题型04 面积最值、面积分割定值
例1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
例2（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）
解：二次函数的图像经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
，
顶点；
（2）解：对称轴为直线，点，轴，
，
，，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
过作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时 ，为最大值，
四边形面积的最大值为；
（3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或，
理由：①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，，
，
，
∵，，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
．
过点作轴于点，
设，则，
∵，
，
．
，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．连接，
过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
设，则，
∵，
∴，
，
．
∴，．
综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．
【变式1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)填空：__________，__________；
(2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标；
(3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）把，代入，解出即可；
（2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论；
（3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得；
（2）解：，
∴此抛物线的对称轴是直线，
当时，，
，
设直线的表达式为，直线交直线于点M，
把，代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
，
，，，
，
，
∵的面积等于的面积，
，
，
，
或；
（3）解：，
∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，
，，，
，的半径为3，
∵直线经过点，有且只有一点满足，
∴直线与相切于点，
∴分两种情况：
当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
把，代入直线，得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
当点在x轴下方，且直线与相切于点时，
同理，，
同理，得出直线的函数表达式为；
综上，直线的函数表达式为或．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点．
(1)求抛物线的表达式及其对称轴；
(2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N．
①如图1，连接，若，求点P的横坐标；
②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)①或；②或
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可；
（2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可；
②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意．
【详解】（1）解：由题意得，将点，代入，
则
解得
∴抛物线表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B，
∴，
设直线，
则代入点得，，
解得，
∴直线
设（），
∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N
∴，，
∴，
∵，
则，
∴
∴
当时，解得或（舍去）；
当时，解得或（舍去）
综上：点P的横坐标为或；
②由题意得，，
∴四边形是矩形，
连接，当落在上时，如图：
此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意，
将点代入，
则
解得或（舍去）；
当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点，
∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点，
∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半，
∵，
∴设直线，
代入点得，，
解得，
∴直线，
∵，，
∴，即，
将点代入，
则，
解得或（舍去），
综上：点P的横坐标为或．
题型05 等腰三角形存在性
例1（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)点的横坐标为
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可.
（2）先求解，，结合，，再进一步计算即可.
（3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的结合，利用等腰三角形的性质求点的坐标，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，列一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法先确定一次函数的解析式，通过一次函数解析式确定点的坐标，然后将顶点坐标代入到顶点式中求解即可；
（2）设点，利用等腰三角形的性质，列出，然后进行求解即可；
【详解】（1）解：把，代入得，
，
，
，
当时，，
，
，
过，
，
，
抛物线的解析式为：，即；
（2）解：设点，
是以为底边的等腰三角形,
∴，
化简，得，，
，
当时，，
当时，，`
或
【变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)___________，___________．
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值．
(3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解；
（2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解；
（3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，解得．
故答案为：，
（2）解：∵，，
∴抛物线为，
令，则，
∴，
∴．
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
过点P作轴于点Q，交于点E，
设（），则，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∴当时，有最大值，为．
（3）解：∵点N在抛物线上，
∴设．
连接，
①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G，
∵，，
∴，，
∵轴，，
∴，
∴，
∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴
解得，
∴．
②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H，
∵，，
∴，，
同①同理可得，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴，
解得，
∴或．
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
题型06 直角三角形存在性
例1（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P．
(1)求该二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值；
(3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当是直角三角形时，的值或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点Q和点D的坐标，再表示出即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
该二次函数的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴点P的坐标为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
在中，
当时，，
当时，，
∴，，
∵点C的坐标为，点P的坐标为，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
，
，
当，则，即，
解得，不符合题意，舍去；
当，则，即，
解得（不符合题意，舍去）或；
此时，即，，即，
∴，水平距离为，垂直距离为，
∴；
当，则，即，
解得；此时，即，，即，
∴，水平距离为，垂直距离为，
∴；
综上所述，当是直角三角形时，的值或．
【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点、（）是该函数图像上两点．
①证明：；
②连接，若为直角三角形，求t的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可；
②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，解得，
则二次函数表达式为；
（2）①证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
②根据题意，得，
∵，
∴，，，
∵为直角三角形，
∴或，
当时，则，
则
或
解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）；
当时，
则，则
或
解得或或（舍去）；
综上，若为直角三角形，t的值为或或．
【变式2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为；
(2)有最大值，此时；
(3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解；
（）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设解析式为且过，，
∴，解得：，
∴解析式为，
∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，
∴设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
此时；
（3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由，
如图，
∵抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
∵点在对称轴上，
∴设，
∵，，
∴，，，
当时，
∴，
解得，
∴，
当时，
∴，
解得，
∴或；
当时，
∴，
解得，
∴；
综上：点的坐标为或或或．
题型07 （特殊）平行四边形存在性
例1（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）
解：二次函数的图像经过点，点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
，
顶点；
（2）解：对称轴为直线，点，轴，
，
，，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
过作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时 ，为最大值，
四边形面积的最大值为；
（3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或，
理由：①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，，
，
，
∵，，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
．
过点作轴于点，
设，则，
∵，
，
．
，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．连接，
过点作轴于点，设与交于点，如图，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
设，则，
∵，
∴，
，
．
∴，．
综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．
例2（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)则抛物线解析式中________，________；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
令，
解得或，
∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，
当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小，
此时，，解得（舍去）；
当时，即，此时，随的增大而减小，
此时，，即，
解得或（舍去）；
综上，当时，y的取值范围是，t的值为；
（3）解：存在；
将代入，则，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，
解得
∴，
设，则，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则，即，
解得（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则，即，
解得或（舍去），
此时菱形的边长为；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或．
例3（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）先求出直线的解析式为．过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，利用解析式分别求得E，F的坐标，利用抛物线平移的性质，列出不等式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点；
（2）解：设直线的解析式为，
∴．
解得：，
∴直线的解析式为．
过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图，
当时，，
∴．
∵将该二次函数图象向下平移个单位，
∴平移后的点M的坐标为，
∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），
∴，
∴；
（3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由：
①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴．
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴．
∴，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴，
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∴．
综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式．
（1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标；
②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标；
（2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：①令，则，
或，
，，
，
故答案为：；
②二次函数，
，对称轴，
，
平分，
点关于轴的对称点，在直线上，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
点是抛物线和直线的交点，
．
（2）解：设，
，．
以、、、为顶点的四边形是矩形，
①以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去，或，
，
②以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去或
，
③以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，此方程无解，
即：存在，或．
题型08 相似三角形存在性
例1（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标．
(3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，
(3)或
【分析】本题考查二次函数与几何的综上，涉及待定系数法、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键．
（1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分和两种情况，画出相应的图形求解即可；
（3）分和两种情况，分别画出图形，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
将，代入中，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，如图，则，
∴轴，
设，则，，
∵A与B关于y轴对称，
∴，
过D作轴于G，则，
∴，
∴，
∴，即，
解得（负值已舍去），
则；
当时，如图，则，延长交延长线于H，
则，又，
∴，
∴，
设，则点H的横坐标为t，点D横坐标为，纵坐标为，
∴，
过D作轴于G，同理可证，
∴，即，
解得（负值已舍去），则，
综上，满足条件的点E坐标为，；
（3）解：由题意，，
当时，，，如图，
∴点和点关于对称轴对称，
∵对于时，都有，
∴，则；
当时，，，如图，
点关于对称轴的对称点为，点和点关于对称轴对称，
∵对于时，都有，
∴且，则，
综上，t的取值范围为或．
例2（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧，
①当时，求点P的坐标；
②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可；
②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点，
∴对称轴为直线，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；①在中，当时，，当时，，
当时，解得或，
∴；
如图所示，过点C作于R，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
如图所示，取，作直线，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
②∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴
同理可得直线解析式为，
∵点Q在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式1】（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，即，
设直线的解析式可得，
将代入解析式可得，
解得：，
∴直线
设点，则点，点，
，，
∵，
∴，
，
，
，即，
解得：，（舍去），，（舍去），
，
【变式2】（2025·四川绵阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值；
(3)如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)P，Q两点的坐标分别为，或，
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN；用待定系数法求出直线BC的解析式为；设，其中，则，从而求得，用代数式表示出的面积，利用二次函数即可求得其最大值；
（3）由B，C两点的坐标得是等腰直角三角形，由得是等腰直角三角形，从而可求得其三边长，分∽及∽两种情况考虑，即可求解．
【详解】（1）解：将，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图③，在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN，
在中，令，则，
∴．
设直线BC的解析式为，
将，两点代入，
得，解得，
∴直线BC的解析式为．
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
（3）解：如图④，连接AP，AQ．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与x轴的交点为M．
∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形；
由勾股定理得：；
在中，，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，．
若∽，则，
∴，解得，
∴，
∴，．
若∽，则，
∴，解得，
∴，
∴，．
综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为，或，．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键．
题型09 二次函数含参数综合
例1（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
当三点在抛物线 上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
当三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过 三点；
当三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
例2（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可；
（2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可；
（3）根据当时，，即可证明．
【详解】（1）解：因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
（2）解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．
例3（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
【答案】(1)①②猜想，理由见解析
(2)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键：
（1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果；
②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果；
（2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意；
当时，，
∴当点在线段上时，，满足题意；
当时，，
∴直线上不存在点使，不满足题意；
综上：使该函数图像有生长点的的值是；
②猜想，理由如下：
∵点在直线上，
∴，
由（1）知：当时，此时，
∴当时，，此时直线上不存在点使，
∴；
又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，
而的最小值为，
∴；
∴；
（2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，
∴；
∵是该函数图像的生长点，
∴，
当时，则：，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，则：，
∴，
解得，
把代入，得：或，
当时，，满足题意；
当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；
∴；
②当点在点的左侧时，则：，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得：，
此时，符合题意；
∴；
③当点在点的右侧时，则：，
∴，
∴，
把，代入，得：，
∴
此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去；
综上：或．
【变式1】（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________．
【答案】0或4/4或0
【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点，
由，
将代入，得，
化简得，解得．
②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点，
将代入得：
，即．
此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件．
综上，的值为或．
【变式2】（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围．
【详解】解：点和在二次函数的图象上，
， ．
由题意得，，
，
解不等式 ： ，
两边同除以，不等号方向改变，得，
因式分解得 ，
解得；
解不等式 ： ，
两边同除以，不等号方向改变，得 ，
因式分解得 ，
解得；
解不等式： ，
两边同除以，不等号方向改变，得 ，
整理得 ，因式分解得 ，
解得或．
取三个不等式解集的交集，得．
23．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解．
【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此．
∵关于x的方程总有一正一负两个实数根，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，
∴．
题型10 二次函数动点压轴
例1（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出的面积，再分两种情况：①当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；②当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①点绕点逆时针旋转得到点，②点绕点顺时针旋转得到点，求出点的坐标，代入计算即可．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
所以该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴与抛物线交于点，
∴，轴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
将代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴的边上的高为，
∴的面积为，
由题意，设点的坐标为，
∵点在直线下方的抛物线上，
∴或，
①如图，当时，设直线与轴交于点，连接，
∴，
∴，，
∴的面积为
，
∵与的面积相等，
∴，
解得或（舍去），
此时，
∴此时点的坐标为；
②如图1和图2，当时，设直线与轴交于点，连接，
∵，
∴在图2中，的面积为，不符合题意，舍去，
∴如图1中，的面积为
，
∵与的面积相等，
∴，
解得或（舍去），
此时，
∴此时点的坐标为；
综上，存在这样的点，其坐标为或．
（3）解：由题意，设点的坐标为，
①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时，
设直线与轴交于点，过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
将点代入得：，
解得或，
∴此时点的坐标为或；
②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时，
同理可得：，
将点代入得：，
解得或（均不符合题意，舍去）；
综上，点的坐标为或．
例2（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若此抛物线上有一动点，其横坐标为，当在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为 时，求的值；
(3)设此抛物线与轴正半轴的交点为，点为抛物线顶点，连接，若点在线段上运动，连接，点为点关于直线的对称点，射线与抛物线交于点，当直线与直线所夹锐角为时，求点的横坐标．
【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为
(2)的值为或
(3)点的横坐标为
【分析】（1）根据对称轴得的值，由点得的值，即可得出结果；
（2）根据函数最值情况，对的范围进行分类讨论，即可得出的值；
（3）令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，根据题意情况判断出 轴，令点坐标为，则点，由对称的性质，得 ，，得出方程，求解出、的值，得出直线的函数表达式为，结合，即可求出点的横坐标．
【详解】（1）解：∵对称轴与轴交于点，
即抛物线对称轴为直线，
故 ，
∴，
∴，
将点代入 ，
得 ，
解得，
故抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线，
对的取值范围进行分类讨论，
①当时，当时，函数值最小，
故 ，
解得；
②当时，当时，函数值最小，
故 ，
化简得 ，
解得或（不满足，舍去）；
综上，的值为或．
（3）解：令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，如下图所示：
当时，得，
解得或，
故点，
当时， ，
∴点，
∵，，轴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵轴，
∴，
若直线与直线所夹锐角为，
则 ，
∴ 轴，
令直线表达式为，
将点，代入 ，
得，解得，
∴直线表达式为，
令点坐标为，则点，
由对称的性质，得 ，，
∴，解得，
故，
求得直线的函数表达式为，结合，
得 ，
解得或（舍去），
∴点的横坐标为．
【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最大值为，点D的坐标为；
(3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可．
（3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过作交于，
设直线的解析式为，将代入解析式得，
，解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，最大，最大值为，
∴，
∴．
（3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，
∴，
∴顶点坐标为：，
如图，
设，
当顶点在线段上时，
∴，
解得：，（舍去），
如图，当在上时，
∴，
解得：，
综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为．
【变式2】（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D．
(1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________；
(2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________；
(3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为．
①求m的值；
②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值；
（2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解；
（3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可；
②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴，
∵，交抛物线于点D，
∴C、D关于直线对称，
∴，
∵抛物线交x轴于点，点，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
过E作于F，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴；
（3）解：①由（1）知，
∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，
∴，
∴新抛物线的对称轴为，
当，即时，
∵，
∴新抛物线开口向下，
∴到对称轴的距离越大点的函数值越小，
∵，当时，的最小值为，
∴当时，的最小值为，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当，即时，
∵，
∴新抛物线开口向下，
∴到对称轴的距离越大点的函数值越小，
∵，当时，的最小值为，
∴当时，的最小值为，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
综上，；
②设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t，
∴M的纵坐标为，，
由①知：，
∵轴，
∴，
∴
，
∴当时，随t的增大而减小，
又，
∴，
即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小．
【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值；
(3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，
【分析】（1）根据待定系数，可得出点、、的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）设点的坐标为，由勾股定理得，得方程，求解出的值，得出点坐标，再求出直线、的表达式，通过函数表达式求交点坐标，得点的横坐标可为相对应点横坐标之差的比例，即可得出的值；
（3）通过直线平行，可得令直线的表达式为，设，，由韦达定理得，，用、、表示出直线、的表达式，通过求其交点坐标，得出点横坐标固定不变，始终为，令点坐标为，根据割补法求出其面积表达式，列出方程，求解出的值即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵点坐标，
∴，
∵，
∴，，
故，，
将点，，代入，
得，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：假设点的坐标为，
∵，，
∴，
，，
∵，
∴，
得方程，
化简得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴点的坐标为，
令直线的表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线的表达式为；
令直线的表达式为，
将点代入，
得，解得，
故直线的表达式为；
联合和，
得，
解得，
故点的横坐标为，纵坐标为，
分别过点、作轴于点，轴于点，如下图所示：
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：由（2）得直线的表达式为，
即对应，
∵，
故令直线的表达式为，
联立与，
得，
设，，由韦达定理得，，
设直线的表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线的表达式为；
设直线的表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线的表达式为；
联合和，
得，结合，，
求解出，
∴点横坐标固定不变，令点坐标为，
过点作轴交轴于点，如下图所示：
∴，
即，
解得，
故点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数表达式、韦达定理等知识点，综合性和代数计算量偏大，难度较高．
【变式4】（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可证明垂直平分，得到，利用勾股定理求出的长，则可得到点C的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）设点，然后分两种情况：点P在左侧和点P在右侧，列出以为顶点的四边形面积与p的二次函数关系式，根据S的取值使得相应的点P有且只有3个，那么所得的两个二次函数的值等于S时要满足一个方程有两个相等实数根，另一个方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，即，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴点B为的中点，
∴点B的坐标为，即，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，则，
设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：设点，
①若点在的左侧，延长交于，如图所示，
同理可得所在直线函数关系式为，
在中，当时，，即点纵坐标为，
∴，
∴
•
，
；
②若点在的右侧，延长交于，如图所示，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即点纵坐标为，
∴，
∴
；
∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个，
∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根；
当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则，
解得，
当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则，
解得；
当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则，
解得，
当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则，
解得；
综上所述，或（此种情况不成立，舍去），
∴．

（20分钟限时练）
1．（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴的公式，进行计算即可．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线；
故选B．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．函数有最大值B．
C．当时，随的增大而增大D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为，
故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意；
二次函数的对称轴为直线，
∴当时，；故B选项正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意；
由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选C．
3．（2025·江苏淮安·二模）抛物线与y轴的交点坐标是__________．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，正确理解y轴上点的坐标特征是解题的关键．根据y轴上点的坐标特征，将代入函数关系式求解即可．
【详解】解：令，则，
所以抛物线与y轴的交点坐标是．
故答案为：．
4．（2026·江苏徐州·一模）把二次函数向左平移2个单位后得到的图像表达式是_______．
【答案】
或
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换和二次函数顶点式，先将原二次函数化为顶点式，再根据平移规律即可得到平移后的函数表达式．
【详解】解：，
将二次函数图象向左平移个单位，得：
，
展开得：．
5．（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________．
【答案】
【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：联立得，即，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴；
联立得，即，
设方程的两个实数根分别为，
∴，，
∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根，
解方程得或，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，
∴不等式的解集为，
∴不等式的解集是．
6．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可.
【详解】解：联立两个函数的解析式得
，
整理，得，
∵两个图象至少有一个交点，
∴该一元二次方程有实数根，
∴，
解得.
7．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】(1)．
(2)；．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求直线的解析式，过作轴交于，交轴于点，得，进而得，再根据得关于的一元二次方程，配方即可得最值，根据点是抛物线在第一象限内的一点得取值范围，验证最值即可．
【详解】（1）解：抛物线过，代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：由解析式得，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，解得，
直线 的解析式为，
点在第一象限抛物线上，
，
过作轴交于，交轴于点，如图所示，
，
，
，
，
，当时，．
8．（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，
(3)和
【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可；
（2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系；
（3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，即，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点和是二次函数图象上的两点，
∴，，
∴，
结合，分三种情况讨论：
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点，
∴，，
设直线的解析式为，将，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
∵点是直线上的动点，
∴设，
∵、关于直线对称，
∴垂直平分，
又，
∴，
∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致，
设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为，
∴，
如图，中点在对称轴上，且，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
，
，
∴，
整理得，
∵点和点重合时无法构成平行四边形，故，
∴两边同时除以，得
，
∴，
设，则
，，
化简得，，
∴，
若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论：
①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴；
②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴此情况不成立；
③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴；
综上，点的坐标为和．
【点睛】四点平行四边形存在性问题，初中阶段最稳、零漏解的通法，就是“对角线中点重合三分类”：四个点中，任选两个点为对角线，仅有种不重复的组合，分别用中点坐标公式列方程，横纵坐标解一致则为有效解，自动舍去无效情况，完全避免了按边分类的漏解、错解问题．
9．（2026·江苏无锡·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若与的面积相等时，求的值；
(3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值）
【答案】(1)
(2)
(3)的值为或或或．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可；
（3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，
；
对称轴为直线，
，则；
将代入得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点，
令，则，
解得或，
点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
直线，
与相交，
过点作、过点作，与相交于点，如图所示：
与的面积相等，
，
则，
在和中，
，
，
，即点是线段的中点，
、，
的坐标为，即，
将代入直线得，
解得；
（3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况：
当交点、均在轴上方时，，如图所示：
设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧），
联立，
消去得，
，，
，
则以为直径的圆的圆心，
，
当与轴相切时，，
即，
，
解得或（负值舍去）；
当交点、均在轴下方时，，如图所示：
同理可知，
，
解得或（正值舍去）；
当点与点重合时，
将代入，得，
解得；
或点与点重合时，
将代入，得，
解得；
综上所述，的值为或或或．近三年：二次函数几何综合是江苏中考数学的压轴核心模块，是区分优等生的关键考点，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-16分，以压轴解答题形式出现，是全卷难度最高、综合性最强的题目。
1.高频考点分布：
基础性质：a、b、c符号判断、解析式与顶点对称轴求解，是压轴题的基础部分，占2-3分；
最值问题：线段/周长最值、面积最值，是中档设问高频考点，占3-4分；
存在性问题：等腰/直角三角形、平行四边形、相似三角形存在性，是压轴题核心设问，占4-6分；
含参数综合、动点压轴：是区分度最高的设问，占3-5分。
2.命题特点：
以二次函数图像为载体，结合三角形、四边形、相似等几何知识，考查数形结合、分类讨论、转化与化归思想；
设问层层递进，前两问为基础题，后两问为压轴设问，难度梯度明显；
江苏中考常结合 “存在性问题 + 最值问题” 的组合形式，考查综合应用能力。
3.高频失分点：
a、b、c符号判断时，忽略对称轴位置、特殊点函数值的综合分析；
最值问题中，未结合自变量的取值范围，直接套用顶点公式；
存在性问题中，分类讨论不全面，漏解或多解；
动点问题中，无法用含参数的代数式表示关键线段，导致无法列方程求解。
预测2026年：2026年本模块将继续保持压轴题的命题风格，更突出综合应用与核心素养：
1.基础设问仍以解析式、顶点、对称轴的求解为主，难度稳定；
2.最值问题、存在性问题仍为核心设问，背景更灵活，可能结合网格、实际情境；
3.含参数综合、动点问题的区分度增强，侧重考查分类讨论与代数推理能力；
4.对解题步骤的规范性要求进一步提高，需完整写出分类讨论的过程和结论。
解｜题｜策｜略
① 核心判断依据：
a的符号：开口向上a>0，开口向下a0，负半轴c0与a−b+c