热点08 圆基础专题7大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 圆基础性质、圆心角圆周角
题型02 圆内接四边形性质
题型03 垂径定理、弦长几何计算
题型04 点、直线和圆的位置关系
题型05 切线基础判定与性质
题型06 弧长、扇形、阴影面积
题型07 正多边形与圆
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 圆基础性质、圆心角圆周角
例1（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示：
∵扇形的圆心角为
∴圆心角，
根据圆周角定理得：，
当点在扇形内部延长线上时，则；
当点在扇形内部线段上时，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
例3（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______．
【答案】40
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：∵点在上，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
例4（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴劣弧，
故答案为：．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
∴．
【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°．
【答案】100
【分析】在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，据此求解即可．
【详解】解：由圆周角定理可得，．
【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________．
【答案】
【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可．
【详解】解：点是劣弧的中点，
，
，
，
．
【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解．
【详解】解：，，
，
是的直径，
，
．
题型02 圆内接四边形性质
例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____．
【答案】140
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：140．
例2（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形内接于圆，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，可证明是等边三角形，得到，再由圆内接四边形对角互补即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴点O在上，
∴，
∵四边形内接于，
∴．
【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先，根据四边形是的内接四边形，得出，再由，， 证得，即可得出；
（2）首先，添加辅助线，然后，由，得是等腰三角形，再证得，得出，，再证得，得出，即可得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴；
（2）解:连接．
由（1）知，
∴，
∴是等腰三角形，
∵是的直径，
∴．
∴，．
由（1）知，又知，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，证得，再运用相似三角形的性质得出对应边成比例是本题解题的关键．
【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
题型03 垂径定理、弦长几何计算
例1（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ．
【答案】13
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接，
依题意，，
∵，
∴，，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴，
在中，，
即这枚古钱币的半径为，
故答案为：13
例2（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值．
【详解】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：
由垂径定理得：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
故答案为：6．
【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵为的直径，弦于，且，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴的面积为．
【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______．
【答案】5
【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】解：连接，设，
∵，点E是的中点，，
∴，
由勾股定理得，
则
解得．
【变式3】（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____．
【答案】2
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∵是的弦，于点E，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：2．
题型04 点、直线和圆的位置关系
例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切；
（2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，由，，推出，根据弧长公式可得，利用三角形的外角性质可得，即可判断；
（2）连接，根据含的直角三角形的性质可求出，进而得到，由可得，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
，，
，，
，
，
的半径为，
长为，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切；
（2）如图，连接，
由（1）得，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，．
(1)判断与的位置关系并证明；
(2)若的半径为4，求的面积．
【答案】(1)与相切，见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，再结合三角形外角的性质可得，即可解答；
（2）过点B作于点H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可，，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：与相切，证明如下：
连接，
，
，
∵，
．
，
∴
，
，即，
与相切．
（2）解：过点B作于点H，
∵，
∴，
，
，
∴，
，
，，
∴，
又，
，
．
题型05 切线基础判定与性质
例1（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)．
【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线；
（2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图，过点D作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为10，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由题意可得，即，从而可得，由等边对等角并结合对顶角相等得出，即，即可得证；
（2）由题意可得，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图：连接，，
∵D为所对的下半圆中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为10，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，
∴，
解得：，
∴．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线．
（2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径．
【详解】（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作，垂足为点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在中，，
，
的半径为．
题型06 弧长、扇形、阴影面积
例1（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
例2（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
例3（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________．
【答案】
【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键．
根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得母线长为，
∴其侧面积为，
故答案为：．
例4（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键．
【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，设、的交点为，
∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点，
∴，，，
∴四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是________．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积和母线长求得圆锥侧面展开扇形的弧长，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，即可求得圆锥底面圆的半径．
【详解】解：圆锥的母线长是，侧面积是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
．
【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留）
【答案】/
【分析】由切线的性质得到，从而得到，根据直角三角形的性质得到，再利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵与半圆相切，
∴，
∵，，
∴，，
∴的长度．
【变式4】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______．
【答案】
【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解．
【详解】解：连接，作于，于，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，即，
∵在中，，，D是的中点，
∴，，，
∴平分，
∴，
∴，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴．
【变式5】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面圆的周长即为的长度，根据正多边形的性质求出的长度和，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，
∴圆锥的底面圆的周长即为的长度．
∵正六边形的边长为6，
∴，．
∴．
∴圆锥的底面圆的周长为．
【变式6】（2026·江苏徐州·一模）一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______．
【答案】10
【分析】根据圆锥侧面积公式，设出母线长，列一元一次方程即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的母线长为，
∵圆锥底面半径，
∴圆锥底面周长为，
根据圆锥侧面积公式，代入，，得，
解得．
题型07 正多边形与圆
例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
【答案】
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
例2（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°．
【答案】
【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可．
【详解】解：正九边形中心角度数为．
【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为．
【变式2】（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交于 ，交于，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解．
【详解】解：如图：连接、，令交于 ，交于，作交于，
，
∵点是边长为1的正六边形的中心，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为_______．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键
根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解．
【详解】解：∵正六边形的边长为6，
∴，，
∴弧的长为： ，
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，
∴弧的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为，则，
解得：，
∴圆锥的高 ．
故答案为：．

（20分钟限时练）
1．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
∵扇形半径，弧长，
∴，
解得，
∴此扇形的圆心角为．
3．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________．
【答案】50
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解．
【详解】解：如图，连接．
，
．
是的直径，是的弦，且，
，
．
4．（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________．
【答案】48
【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径．
【详解】解：设该扇形的半径为.
解得．
5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______．
【答案】
【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案．
【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
6．（2026·江苏苏州·一模）圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________．
【答案】8
【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合侧面展开图是半圆的条件，可列方程求解母线长。
【详解】解：设圆锥的母线长为，
已知圆锥底面半径为，可得圆锥底面周长为
，
因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的半径等于圆锥的母线长，且半圆的弧长等于圆锥底面的周长，因此半圆的弧长为，
列方程得：，
解得．
7．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
【答案】140
【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为，
弧的长为，弧的长为，
，，
，即．
，
，
解得，
，
该砖雕的面积为
．
8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ．
【答案】/
【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，，，，，
∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点，
∴，是直径，点B和点F关于对称，
∴，
∴的周长，
∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，
∵的直径为4，
∴，
，，
是等边三角形，
，，
∵点G为弦的中点，
∴，
∴，
在中，，
是直径，
，
，
在中，，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长最小值为．
9．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，F是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论；
（2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，弦直径，
∴，
∴；
（2）解：∵在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
10．（2026·江苏徐州·一模）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F；
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论；
（2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于C，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
是直径，
，
，
，
在中，，
阴影部分的面积．近三年：圆是江苏中考数学的核心几何中档题模块，是几何综合题的重要背景，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，以选择、填空和中档解答题为主，是区分度考点的重要来源。
1.高频考点分布：
圆的基础性质：圆心角、圆周角定理为必考考点，以选择、填空形式考查，占2-4分；
圆内接四边形、垂径定理：基础计算高频考点，占2-4分；
点、直线与圆的位置关系：基础判定考点，占2-3分；
切线的判定与性质：解答题高频考点，常以中档解答题形式出现，占4-6分；
弧长、扇形、阴影面积计算：基础计算高频考点，占2-4分；
正多边形与圆：基础考点，占1-2分。
2.命题特点：
基础题以圆的性质、弧长/扇形面积计算为主，侧重公式的直接应用；
解答题以切线的判定与性质为核心，常结合垂径定理、全等三角形、勾股定理考查；
阴影面积计算常结合割补法，考查图形转化思想；
圆与几何综合题常作为中档题，结合三角形、四边形背景，考查综合推理能力。
3.高频失分点：
圆周角定理应用时，忽略 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 的前提条件；
垂径定理应用时，未构造直角三角形，无法用勾股定理计算弦长；
切线判定时，条件不充分（未证明直线与半径垂直），或混淆切线的判定与性质；
弧长、扇形面积计算时，记错公式或圆心角单位未统一；
阴影面积计算时，无法正确使用割补法，导致计算错误。
预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何推理与综合应用：
1.基础题难度不变，仍以圆的基础性质、弧长 / 扇形面积计算为主；
2.切线的判定与性质仍为解答题高频考点，可能结合圆内接四边形、垂径定理背景；
3.阴影面积计算的灵活性增强，侧重考查割补法与图形转化思想；
4.圆与几何综合题的区分度增强，侧重考查数形结合与几何直观。
解｜题｜策｜略
① 核心性质速记：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论 2：直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
② 解题技巧：
遇到弧、弦、圆心角的关系问题，优先利用 “同圆或等圆中，弧、弦、圆心角知一推二”；
遇到圆周角问题，优先找同弧所对的圆心角，或构造直径所对的圆周角（直角）；
圆中角度计算，优先用圆周角定理转化角度，简化计算。
③ 易错点：忽略 “同圆或等圆” 的前提条件，直接套用弧、弦、圆心角的关系；或圆周角定理应用时，误将不同弧的角直接转化。
解｜题｜策｜略
圆内接四边形核心性质：对角互补，任意一个外角等于它的内对角。
② 解题技巧：
已知圆内接四边形的一个内角，可直接求其对角的度数；
遇到圆内接四边形的外角，优先利用 “外角等于内对角” 转化为圆内的圆周角；
结合圆周角定理，可进一步转化为圆心角，解决角度计算问题。
③ 易错点：混淆圆内接四边形的对角与邻角，或误将外角与内对角的关系记错。
解｜题｜策｜略
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。
② 通用解题步骤：
过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，构造直角三角形；
利用垂径定理，直角三角形的一条直角边为弦长的一半，另一条直角边为圆心到弦的距离，斜边为圆的半径；
利用勾股定理列方程，求解弦长、半径或圆心到弦的距离。
③ 解题技巧：
已知半径、弦长、圆心到弦的距离中的任意两个，可直接用勾股定理求第三个；
遇到圆中弦的问题，优先作圆心到弦的垂线，构造直角三角形；
多个弦的问题，可利用垂径定理分别计算，再结合几何关系求解。
④ 易错点：应用垂径定理时，忽略 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦” 的前提条件，或未构造直角三角形直接计算。
解｜题｜策｜略
① 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
d>r：点在圆外；
d=r：点在圆上；
dr：直线与圆相离，无交点；
d=r：直线与圆相切，有一个交点；
d