专题02 整式及其运算（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 整式的相关概念
题型02 整式的运算
题型03 乘法公式的应用
题型04 因式分解
题型05 整式的化简求值
题型06 整式的规律探究
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 整式的相关概念
典例引领
【典例01】（2025•无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a4＝a6C．（a2）4＝a6D．a4÷a＝a4
【答案】B
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵a2与a4不是同类项，不能合并，
∴A选项运算不正确，不符合题意；
∵a2•a4＝a6，
∴B选项运算正确，符合题意；
∵（a2）4＝a8，
∴C选项运算不正确，不符合题意；
∵a4÷a＝a3，
∴D选项运算不正确，不符合题意．
故选：B．
【典例02】（2025秋•市北区期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．53x2y的次数为5
B．πR2+2πR是三次二项式
C．xy5−1是整式
D．3xy5的系数是3，次数是2
【答案】C
【分析】根据定义判断各选项的正确性．
【详解】解：根据单项式的次数和系数、多项式的次数的概念逐项分析判断如下：
A、53x2y的字母部分指数和为2+1＝3，次数为3，不是5，选项说法错误，不符合题意；
B、πR2+2πR的最高次项πR2的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意；
C、xy5−1是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意；
D、3xy5的系数为35，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【典例03】（2026•东台市一模）若﹣2xym 和xny3是同类项，则 m+n 的值是 ．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：1＝n，m＝3
∴m+n＝4
故答案为：4
方法透视
变式演练
【变式01】（2025•苏州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．a6÷a2＝a3
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：a•a3＝a4，则A不符合题意，
a6÷a2＝a4，则B不符合题意，
（ab）2＝a2b2，则C符合题意，
（a3）2＝a6，则D不符合题意，
故选：C．
【变式02】（2026春•青秀区校级月考）单项式﹣2πxy3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，5B．﹣2π，4C．2π，4D．﹣2，4
【答案】B．
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣2πxy3的系数与次数分别是﹣2π，4．
故选：B．
【变式03】（2026•锡山区一模）下列式子中，与单项式﹣3x2y是同类项的是（ ）
A．﹣3x2zB．xy2C．3a2bD．2x2y
【答案】D
【分析】根据同类项的定义进行作答即可．
【详解】解：2x2y与单项式﹣3x2y是同类项．
故选：D．
题型02 整式的运算
典例引领
【典例01】（2025•连云港）计算：5a﹣3a＝ ．
【答案】2a
【分析】直接利用合并同类项法则求出答案．
【详解】解：5a﹣3a＝2a．
故答案为：2a．
【典例02】（2026•启东市模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．a3•a2＝a6
C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．a3•（﹣a）2＝a5
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：A、a2+a2＝2a2，故该项不正确，不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故该项不正确，不符合题意；
D、a3•（﹣a）2＝a5，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【典例03】（2026•泗阳县校级一模）已知an＝5，am＝7，则am+n的值为 ．
【答案】35．
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：∵an＝5，am＝7，
∴am+n＝an•am＝5×7＝35，
故答案为：35．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025•苏州）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为 5 ．
【答案】5
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，
∵y＝x+1，
∴y﹣x＝1，
∴当y﹣x＝1时，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
【变式02】（2025秋•市南区期末）已知A＝2x2+ax﹣7，B=bx2−32x−52．当A﹣4B的值与x无关时，a+b的值为（ ）
A．6.5B．﹣6.5C．﹣5.5D．5.5
【答案】C
【分析】先代入计算A﹣4B的表达式并合并同类项，再根据“多项式的值与x无关则含x的项的系数为0”的性质求出a、b的值，最后计算a+b即可．
【详解】解：∵A＝2x2+ax﹣7，B=bx2−32x−52，
∴A−4B=(2x2+ax−7)−4(bx2−32x−52)
＝（2﹣4b）x2+（a+6）x+3
∵A﹣4B的值与x无关，
∴含x的项的系数为0，即2−4b=0a+6=0，
解得：b＝0.5，a＝﹣6，
∴a+b＝﹣6+0.5＝﹣5.5，
故选：C．
【变式03】（2025•扬州）计算：a（a+2）﹣a3÷a．
【答案】2a．
【分析】利用单项式乘多项式，同底数幂除法法则计算后再合并同类项即可．
【详解】解：原式＝a2+2a﹣a2＝2a．
题型03 乘法公式的应用
典例引领
【典例01】（2026•沛县一模）若x+y＝8，x2y2＝4，则x2+y2＝ 60或68 ．
【答案】60或68
【分析】先根据已知条件求出（x+y）2和xy的值，再根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2的特点，利用整体代入思想代入数据计算即可．
【详解】解：∵x+y＝8，x2y2＝4，
∴（x+y）2＝64，xy＝±2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
当xy＝2时，原式＝60，
当xy＝﹣2时，原式＝68．
故填60或68．
【典例02】（2026春•大丰区校级月考）设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024．若a2+b2＝56，则c2＝（ ）
A．27B．24C．22D．20
【答案】A
【分析】观察到a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024三个表达式之间存在连续整数关系，可将a、b用c表示，再代入 已知等式求解．
【详解】解：将a＝c+1、b＝c﹣1代入a2+b2＝56，
（c+1）2+（c﹣1）2＝56，
（c2+2c+1）+（c2﹣2c+1）＝56，
2c2+2＝56，
c2＝27．
故选：A．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026春•青岛月考）已知a+b＝7，ab＝12，那么a2+b2＝（ ）
A．19B．25C．31D．73
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解a2+b2的值，无需单独求出a、b的具体值．
【详解】解：∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
∵a+b＝7，ab＝12．
∴代入得a2+b2＝72﹣2×12＝49﹣24＝25．
故选：B．
【变式02】（2026•扬州一模）已知代数式x﹣2y的值为3，则代数式x2﹣4y2﹣12y的值为 ．
【答案】9
【分析】因为x﹣2y＝3，x2﹣4y2﹣12y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣12y，代入化简原式，求出结果即可．
【详解】解：因为x﹣2y＝3，
x2﹣4y2﹣12y
＝（x﹣2y）（x+2y）﹣12y
＝3（x+2y）﹣12y
＝3x+6y﹣12y
＝3x﹣6y
＝3（x﹣2y）
＝3×3
＝9．
故答案为：9．
题型04 因式分解
典例引领
【典例01】（2025·江苏扬州·一模）因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：
．
【典例02】（2026·北京·一模）分解因式：________
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：．
方法透视
变式演练
【变式01】（25-26九年级下·江苏连云港·月考）因式分解：______．
【答案】
【详解】解：．
【变式02】（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
题型05 整式的化简求值
典例引领
【典例01】（2026•连云港校级一模）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1），其中x＝﹣1．
【答案】﹣5x+6，原式＝11．
【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可详解．
【详解】解：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣x+2x﹣2）
＝x2﹣4x+4﹣x2+x﹣2x+2
＝﹣5x+6，
当x＝﹣1时，原式＝﹣5×（﹣1）+6＝5+6＝11．
【典例02】（2026春•苏州校级月考）先化简，再求值：（x+2y）2﹣2x（x+3y）+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝3，y＝﹣1．
【答案】﹣2xy；原式＝6．
【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，多项式乘以多项式，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
【详解】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣2x2﹣6xy+x2﹣4y2
＝﹣2xy，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝﹣2×3×（﹣1）＝6．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026•长沙一模）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2）2+4，其中x=2，y=−12．
【答案】﹣4y2+4x，原式＝7．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可详解．
【详解】解：原式＝x2﹣4y2﹣（x2﹣4x+4）+4
＝﹣4y2+4x，
当x=2，y=−12时，原式=−4×(−12)2+4×2=7．
题型06 整式的规律探究
典例引领
【典例01】（2026•长葛市模拟）按照一定规律排列的式子：x23，x45，x67，x89，…，第6个式子是 ．
【答案】x1213．
【分析】找到规律第n个式子是x2n2n+1，据此即可求解．
【详解】解：观察发现第n个式子是x2n2n+1，
∴第6个式子是x1213．
故答案为：x1213．
【典例02】（2026春•锦江区校级月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．若（x+1）6•（2x2﹣ax+3a）的展开式中不含x2的项，则a的值为 −239 ．
【答案】−239．
【分析】先确定（x+1）6的展开式形式，再根据展开式中不含x2的项得到45a﹣6a+2＝0，再解方程求解即可．
【详解】解：先确定（x+1）6的展开式形式如下：
第三行的系数为：1，2，1，
第四行的系数为：1，3，3，1，
第五行的系数为：1，4，6，4，1，
第六行的系数为：1，5，10，10，5，1，
第七行的四系数为：1，6，15，20，15，6，1，
∴（x+1）6＝x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1，
∴（x+1）6•（2x2﹣ax+3a）
＝（x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1）•（2x2﹣ax+3a），
展开式中x2项为：45ax2﹣6ax2+2x2＝（45a﹣6a+2）x2，
∵展开式中不含x2的项，
∴45a﹣6a+2＝0，
解得a=−239．
故答案为：−239．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026•沛县一模）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2025B2025A2026的边长为 ．
【答案】22024．
【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，则可计算出∠A1B1O＝30°，所以A1B1＝A1A2＝OA1，利用同样的方法得到A2B2＝A2A3＝OA2，A3B3=A3A4=22⋅OA1，A4B4=A4A5=23⋅OA1，利用此规律得到AnBn=AnAn+1=2n−1⋅OA1，即可求解．
【详解】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∵∠MON＝30°，
∴∠A1B1O＝30°，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1=A1A2=OA1=20⋅OA1，
同理可得A2B2=A2A3=OA2=21⋅OA1，
∴A3B3=A3A4=22⋅OA1，A4B4=A4A5=23⋅OA1，
…，
∴AnBn=AnAn+1=2n−1⋅OA1．
∵OA1＝1，
∴当n＝2025时，A2025B2025=22025−1⋅OA1=22024，
故答案为：22024．
题●型●训●练
1．（2025•宿迁）下列计算结果为a3的是（ ）
A．a+a2B．（a2）3C．a•a2D．a9÷a3
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、a与a2不能合并，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、a•a2＝a3，故此选项符合题意；
D、a9÷a3＝a6，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2026•扬州一模）下列算式计算结果为a6的是（ ）
A．a3+a3B．a2•a3C．a12÷a2D．（a3）2
【答案】D
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、a12÷a2＝a10，故此选项错误；
D、（a3）2＝a6，故此选项正确．
故选：D．
3．（2025秋•巨野县期末）式子：x3−y2+1，1x，a﹣3，﹣5xy，ab2c，0中，是整式的有（ ）个．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】单项式和多项式统称为整式，由此判断即可．
【详解】解：整式有：：x3﹣y2+1，a﹣3，﹣5xy，0，共4个，
故选：C．
4．（2026•海门区校级模拟）已知a﹣b＝3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】由a﹣b＝3，得到a＝b+3，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由a﹣b＝3，得到a＝b+3，
则原式＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9，
解法二：原式＝（a+b）（a﹣b）﹣6b＝3a+3b﹣6b＝3（a﹣b）＝9，
故选：C．
5．（2026•沭阳县校级一模）设M=20212−2020×2022，N=20212−4042×2022+20222，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．M＝±N
【答案】C
【分析】根据平方差和完全平方公式进行化简，再比较即可．
【详解】解：∵M=20212−2020×2022=20212−(2021−1)×(2021+1)=20212−(20212−1)=20212−20212+1=1，
N=20212−4042×2022+20222=20212−2×2021×2022+20222=(2021−2022)2=1，
∴M＝N，
故选：C．
6．（2025秋•随县期末）设a，b是实数，定义关于“※”的一种运算：a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，若a※b＝8，则10ab3÷5b2＝ ．
【答案】4．
【分析】先根据已知条件中的新定义和完全平方公式求出ab，再根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则化简所求式子，最后把ab的值代入进行计算即可．
【详解】解：∵a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，a※b＝8，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝8，
（a+b+a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）]＝8，
2a（a+b﹣a+b）＝8，
2a•2b＝8，
4ab＝8，
ab＝2，
∴10ab3÷5b2
＝（10÷5）•a•（b3÷b2）
＝2ab
＝2×2
＝4，
故答案为：4，
7．（2026春•长寿区校级月考）化简求值：
已知|x+2|+（y﹣3）2＝0，化简求值：3x2y−[2xy2−2(xy−32x2y)+xy]．
【答案】﹣2xy2+xy；30．
【分析】先根据整式的加减相关运算法则化简，再根据“|x+2|+（y﹣3）2＝0”得到x、y的值，代入化简的结果计算即可．
【详解】解：3x2y−[2xy2−2(xy−32x2y)+xy]
＝3x2y﹣（2xy2﹣2xy+3x2y+xy）
＝3x2y﹣2xy2+2xy﹣3x2y﹣xy
＝﹣2xy2+xy，
∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝﹣2×（﹣2）×32+（﹣2）×3＝30．
8．（2026•溧水区一模）计算：
（1）38+4cs60°−(13)−2；
（2）（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）．
【答案】（1）﹣5；
（2）﹣2x+10．
【分析】（1）先计算立方根，负整数指数幂，代入特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）原式=2+4×12−9
＝2+2﹣9
＝﹣5；
（2）原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣9）
＝x2﹣2x+1﹣x2+9
＝﹣2x+10．
9．（2026•溧水区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝ ．
【答案】122025．
【分析】根据三角形的中位线求解C1=4×12，找规律可得Cn=4×12n，据此规律可求解．
【详解】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC边中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=12，AD=12AC=12，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×12，
同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的12，
即C2=4×12×12=4×122，C3=4×12×12×12=4×123，……，Cn=4×12n，
∴C2027=4×122027=22×122027=122025．
10．（2025秋•两江新区期末）定义：如果多项式M＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）与N＝mx2+nx+k（m≠0，m，n，k是常数），满足a+m＝1，b+n＝2，c+k＝3，则称这两个多项式互为“顺续式”，有下列三个结论：
（1）若2x2﹣3x+c与mx2+nx﹣2互为“顺续式”，则（m+n﹣c）2026的值为﹣1；
（2）当x＝﹣2时，多项式M的值为10，则它的“顺续式”N的值是﹣7；
（3）设T＝M+N，当x＝﹣1时，T的值为4．
其中正确的结论个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】（1）根据题意得到2+m＝1，﹣3+n＝2，c﹣2＝3，求出m＝﹣1，n＝5，c＝5，然后代入（m+n﹣c）2026求解即可判断；
（2）首先根据题意得到4a﹣2b+c＝10，然后由“顺续式”的定义得到m＝1﹣a，n＝2﹣b，k＝3﹣c，然后将x＝﹣2代入N＝4m﹣2n+k整理后整体代入即可求解判断；
（3）首先表示出T＝x2+2x+3，然后将x＝﹣1代入求解即可判断．
【详解】解：（1）根据题意可知，2+m＝1，﹣3+n＝2，c﹣2＝3，
∴m＝﹣1，n＝5，c＝5，
∴（m+n﹣c）2026＝（﹣1+5﹣5）2026＝1，选项计算错误，不符合题意；
（2）根据题意可知，4a﹣2b+c＝10，
∵M和N互为“顺续式”，
∴a+m＝1，b+n＝2，c+k＝3，
∴m＝1﹣a，n＝2﹣b，k＝3﹣c，
∴当x＝﹣2时，
N＝4m﹣2n+k
＝4（1﹣a）﹣2（2﹣b）+（3﹣c）
＝4﹣4a﹣4+2b+3﹣c
＝﹣4a+2b﹣c+3
＝﹣（4a﹣2b+c）+3
＝﹣10+3
＝﹣7，选项计算正确，符合题意；
（3）T＝M+N
＝ax2+bx+c+mx2+nx+k
＝（a+m）x2+（b+n）x+c+k
＝x2+2x+3，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝2≠4，选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
11．（2026春•渝中区校级月考）已知整式M＝anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0（an≠0），其中n为正整数，ai（i为整数，0≤i≤n）均为整数，a0＜a1＜⋯＜an﹣1＜an，记P=an2+an−12+⋯+a12+a02，且P≤20，下列说法中，正确的个数为（ ）
①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式；
②当n＝2，P＝20时，所有满足条件的整式M之和的最小值为−6110；
③当n＝4时，满足条件的整式M共有12种．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据条件得到系数为严格递增整数，结合平方和条件，分情况讨论逐一验证三个说法即可．
【详解】解：①an≠0，且M是单项式，所以只有an不为0，其余系数都为0．
P：P=a12≤20，且a1是正整数，
当n＝1时，M＝a1x+a0，此时a0＝0满足α0＜a1（0＜a1）．
当n≥2时，若M是单项式，则不满足a0＜a1＜…＜an﹣1＜an的严格递增条件，
故n≥2时无满足条件的单项式．
∴a1可取1，2，3，4（42＝16≤20，52＝25＞20）．
对应得到4个单项式：1x、2x、3x、4x，
故“有且只有4个单项式”的说法正确．结论满足条件的单项式共个，
∴①的说法正确；
②当n＝2，P＝20时，
M=a2x2+a1x+a0，P=a22+a12+a02=20，
∵ai（i为整数，0≤i≤n）均为整数，a0＜a1＜a2，且02+22+42＝20，
∴a0=−2a1=0a2=4或a0=0a1=2a2=4或a0=−4a1=0a2=2，
∴M=a2x2+a1x+a0=4x2−2或4x2+2x或2x2﹣4
∴所有满足条件的整式M之和为4x2﹣2+4x2+2x+2x2﹣4＝10x2+2x﹣6
∵10＞0
∴抛物线开口向上，
∴二次函数10x2+2x﹣6的最小值为4×10×(−6)−224×10=−6110，
故②正确；
③当n＝4时，M=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，P=a42+a32+a22+a12+a02≤20，
∵ai（i为整数，0≤i≤n）均为整数，
严格递增：a0＜a1＜a2＜a3＜a4•平方和≤20．
通过穷举可能的整数序列（从负数到正数），
筛选出平方和不超过20的组合．
如：（﹣3，﹣2，﹣1，0，1）：平方和＝9+4+1+0+1＝15≤20；
（﹣3，﹣2，﹣1，0，2）：平方和＝9+4+1+0+4＝18≤20；
（﹣2，﹣1，0，1，2）：平方和＝4+1+0+1+4＝10≤20；
……（共12种符合条件的组合），
∴满足条件的整式M共有12种．
故③正确．
综上，正确个数为3．
故选：D．
12．（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知整式Q=xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，其中n为正整数，a0，a1，a2，⋯，an﹣1为自然数，且a0+a1+⋯+an﹣1＝5．下列说法：
①当n＝4时，满足a0≥a1≥a2≥a3的整式Q共有5个；
②当n＝3时，满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为120；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
【详解】解：①当n＝4时，a0+a1+a2+a3＝5，
∵a0≥a1≥a2≥a3，且a0，a1，a2…，an﹣1为自然数，
∴有a1＝a2＝a3＝0，a0＝5，Q＝x4+5，
有a2＝a3＝0，a1＝1，a0＝4，Q＝x4+x+4，
有a2＝a3＝0，a1＝2，a0＝3，Q＝x4+2x+3，
有a3＝0，a1＝a2＝1，a0＝3，Q＝x4+x2+x+3，
有a3＝0，a2＝1，a1＝2，a0＝2，Q＝x4+x2+2x+2，
有a3＝1，a2＝1，a1＝1，a0＝2，Q＝x4+x3+x2+x+2，共6个，选项说法错误，不符合题意；
②当n＝3时，a0+a1+a2＝5，
∵a0，a1，a2…，an﹣1为自然数，
∴a0，a1，a2有0，0，5，0，1，4，0，2，3，1，1，3，1，2，2的组合，
1，1，3有3种顺序，
1，2，2有3种顺序，
0，0，5有3种顺序，
0，1，4有6种顺序，
0，2，3有6种顺序，
所以符合条件的整数Q总共有3+6+6+3+3＝21个，
每个整式Q的系数和为1+5＝6，
所以满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为6×21＝126，选项说法错误，不符合题意；
③∵需要二次三项式，
∴n＝2，
∴a0+a1＝5，
∵需要三项，
∴a0≠0，a1≠0，
∴可以是a1＝4，a0＝1，此时Q＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3不一定为非负数，
a1＝2，a0＝3，此时Q＝x2+2x+3＝（x+1）2+2一定为非负数，
a1＝3，a0＝2，此时Q=x2+3x+2=(x+32)2−14不一定为非负数，
a1＝1，a0＝4，此时Q=x2+x+4=(x+12)2+154一定为非负数，
∴当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有2个，选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
考向解读
中考对 “整式概念” 主要考基础辨识、细节辨析、简单计算，难度不高，但易错点密集，常出在选择、填空前几道题。
1. 单项式的考向
识别一个式子是不是单项式
求系数（注意符号、π、分数、负号）
求次数（所有字母指数和，数字不算次数）
易错陷阱：单独一个数 / 字母也是单项式；π 是常数不是字母
2. 多项式的考向
识别多项式、整式、分式的区别
确定多项式的项数、次数、最高次项、常数项
按某一字母升幂 / 降幂排列
判断整式、分式的关键：分母含字母就不是整式
3. 同类项的考向
判断两个单项式是否为同类项（高频）
利用 “同类项定义” 列方程求字母指数
简单合并同类项正误判断
4. 整式整体概念辨析
区分：代数式、整式、单项式、多项式、分式
判断说法正误，如 “次数最高的项是常数项” 等
方法技能
1. 单项式的项、次数：数字符号全带走，字母指数加到头；π是常数不是元，单独数字次数零。
2. 多项式次数、项数速判法:项数看加减，次数看最高；常数不含字，排列按升降。
3. 同类项判断三步法：字母完全相同，相同字母的指数分别相同，系数、顺序无关紧要
考向解读
整式运算在中考里题型固定、套路极强，主要集中在这几类：
幂的运算性质辨析与计算
判断运算式子是否正确
直接计算：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负指数
整式的加减运算
去括号、合并同类项
化简求值（基础解答题常客）
整式乘法
单项式 × 单项式、单项式 × 多项式
多项式 × 多项式
两大乘法公式必考：平方差、完全平方公式
整式除法
单项式 ÷ 单项式，多项式 ÷ 单项式
综合化简与整体代入
先化简再代入求值
不求出字母具体值，用整体思想求值（高频难点）
简单规律探究题
用整式运算找算式、图形规律
方法技能
1. 幂的运算：记准公式，不混符号
· 先定符号，再算指数
· 看到负指数：底数变倒数，指数变正
· 混合运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减
2. 整式加减：去括号 + 合并同类项
括号前是 “+”：进去不变号
括号前是 “−”：每一项都变号
合并同类项:只把系数相加减，字母和指数完全不动
化简求值步骤：化简 → 代入 → 计算（中考严禁直接代入原始式子硬算）
3. 整式除法：从系数到字母依次算
单项式 ÷ 单项式：系数相除，同底数幂相减
多项式 ÷ 单项式：逐项除，再相加(注意：除式不能为 0)
考向解读
乘法公式（平方差、完全平方）是初中代数核心必考点，难度中等，但考法非常固定，主要集中在：
1．公式直接计算选择、填空、计算题直接用公式展开或因式分解。
2．公式结构辨识判断能否用公式、用哪个公式，避免展开硬算。
3．公式变形与整体代入已知 a+b、ab，求 a2+b2、(a−b)2 等，高频压轴小题。
方法技能
已知 x+y 或 xy，求 x2+y2、(x−y)2 等
方法：（1）不单独求；
把已知式子看成整体；
（3）用公式变形后代入
考向解读
1.判断变形是否属于因式分解（关键：和差化积，结果是整式乘积）。
2.直接分解因式填空、选择必考，一般是两步：一提公因式→二套公式。
3.综合应用：（1）与分式约分、通分结合；（2）与一元二次方程解法结合；（3）利用因式分解进行简便计算、判断整除、求代数式值
方法技能
1.因式分解三步骤一提二套三检查，分解彻底不落下
2.平方差识别二项异号平方项，直接分解和差积
3.完全平方识别三项首尾平方项，中间两倍首尾项
4.结果规范：（1）相同因式写成幂；（2）首项系数化为正；（3）括号内不再有同类项、不再可分解
考向解读
整式化简求值是中考解答题第一道常客，固定题型、固定步骤，属于送分但易丢分题。
主要考向：
混合运算化简含：整式加减、去括号、幂运算、单项式乘除、乘法公式（平方差 / 完全平方）。
先化简，再代入求值绝不允许直接代入原式计算，否则会被扣分。
方法技能
1．观察结构看有没有：完全平方、平方差、括号、负号。
2．用公式 / 去括号先算乘方、乘法公式，再去括号。
3．合并同类项化成最简整式（不能再有括号，不能有同类项）。
4．代入数值计算代入时负数、分数要加括号，细心计算。
考向解读
本题型考查整式，数字、图形规律的探索，熟练掌握通项代数式的归纳过程是详解本题的关键，属于中档难度题型。
方法技能
数字类规律探究，先求出前几个数之间的关系，找到规律，再写出通项代数式；图形的变化规律解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，并写出通项代数式。