专题03 函数的实际应用题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc221119053" 考点一 函数的实际应用题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
考点一 函数的实际应用题

题型一 从函数图象中获取信息
1．（2025·江苏南京·二模）A，B两地相距，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地，已知乙列车的速度是甲列车速度的倍．乙列车离地的距离与甲列车出发时间之间的函数图像如图所示，其中线段轴．
(1)在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离与之间的函数图像；
(2)当甲、乙两辆列车相距时，求的值．
2．（2025·江苏淮安·一模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是_______千米/时；
(2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(3)当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______．
3．（2025·江苏南京·一模）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
(1)飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟；
(2)求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义；
(3)要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______．
4．（2025·江苏南通·一模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示．
(1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ；
(2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由．
(3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】
题型二 一次函数中的最大利润问题
5．（2025·江苏南京·二模）某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
6．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？
(2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？
7．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下：
已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元．
(1)求a，b的值；
(2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元?
8．（2025·江苏无锡·一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
(1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价；
(2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少于130套时，求的最大值．
题型三 一次函数中的行程问题
9．（2025·江苏南京·模拟预测）一支队伍以匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第与排尾的距离为．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示．
(1)在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象；
(2)若队伍长，求传令兵从排头回到排尾所走的路程．
10．（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示．
(1)求a，b的值．
(2)求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）．
(3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值．
11．（2025·江苏南京·二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离．
(1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象；
(2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
(3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
12．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为．
(1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有．
①则甲的速度是__________，乙的速度是__________；
②求与的函数关系式；
(2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等?
题型四 一次函数中的分配问题
13．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
(1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
14．（2025·江苏宿迁·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）．
方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费）
方案二：直接购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
(1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ；
(2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．
15．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
16．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每满200元减50元．
(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．
(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
题型五 反比例函数中的实际问题
17．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)试确定V与之间的函数表达式；
(2)要使密度不高于，求的取值范围．
18．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为．
(1)求第一次锻造操作的时长；
(2)求第二次开始锻造的时间．
19．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
(1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围．
(2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
20．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶
②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱．
③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示：
④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ．
(1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式．
(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由．
(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
题型六 二次函数中的销售问题
21．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的一次函数关系式．
(2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？
22．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元．
(1)每件商品降价元时，日销售量为______件：
(2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少；
(3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？
23．（2025·江苏无锡·二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用．
(1)小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？
(2)在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?
24．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务．
题型七 二次函数中的拱桥、隧道问题
25．（2025·山西晋中·二模）综合与实践
问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面．
（1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）；
（3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））．
26．（2025·陕西西安·三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由．
27．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题：
(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；
(2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？
28．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
题型八 二次函数中的投球问题
29．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）．
(1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ；
(2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
(3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
30．如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
(3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
31．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
32．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
题型九 二次函数中的几何应用
33．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
34．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
35．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知，，其中、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设米，花圃的面积为y平方米．
(1)用含有x的代数式表示出的长；
(2)求y与x的函数关系式并写出x的取值范围．
36．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型十 函数与实际问题（新情境）
37．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？
如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计）
【初步体验】
（1）如图②，若，，则_________．
【数学思考】
（2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值．
【问题解决】
（3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中：
（Ⅰ）直接写出最小时的的值；
（Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值．
38．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
39．（2025·江苏苏州·二模）【综合实践】
素材1：如图①所示，两地相距千米，地位于两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地．
素材2：
5月10日高铁G234时刻表
5月10日高铁G235时刻表
两辆高铁在行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数关系如图②所示．
【问题解决】
(1)图①中，_________，_________，高铁在行驶过程中速度是___________；
(2)求高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式；
(3)求5月10日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻．（提示：答“xx点xx分xx秒”）
40．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
(2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值；
(3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米．
题型十一 函数与实际问题（函数综合问题）
41．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”．
(1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ；
(2)如图，设点是点的“k值关联点”．
①当轴时，求点Q的坐标及k的值；
②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值．
42．（2025·江苏宿迁·二模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为．
(1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____．
(2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值．
43．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线与直线l的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
44．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C．
(1)填空： ___________， ___________；
(2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________；
(3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标．
知识1 一次函数的实际应用
用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
（3）观察图像特征，判断函数的类型.
2.建立一次函数解析式的常用方法
（1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式；
（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式；
3.一次函数应用问题的求解思路：
（1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
（2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
（3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤：
（1）观察图像，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
知识2 反比例函数的实际应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
（3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
（4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
（1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
（2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
（3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
知识3 二次函数的实际应用
1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细审题，理清题意；
（2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
1．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？
2．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)的值为______；甲车的速度为______千米时；
(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式．
3．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台．
(1)求投放塑料的奖励积分；
(2)求的值；
(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明．
4．（2025·江苏南京·三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温（单位：）与测试时间之间的函数图象如图所示．
(1)当测试时间为时，乙壶中的水温是___________．
(2)求甲壶中的水温与之间的函数关系式．
(3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过时，直接写出的取值范围．
5．（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象．
(1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________．
(2)求出租车从乙地返回甲地的速度．
(3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？
6．（2025·江苏无锡·二模）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中．
(1)与x的函数表达式为__________；
(2)在12时，通过计算判断与的大小关系；
(3)如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵．
7．（2025·江苏南通·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：
，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答：
(1)求日销售量与时间的函数关系式？
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
9．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏．
(1)当n＝4时，菜园面积的最大值为______．
(2)求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）．
(3)在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______．
10．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）．
(1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ；
(2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
(3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
11．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
(1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元；
(2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
12．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？
【理解a的几何意义】
（1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：
（2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示）
【运用a的几何意义】
（3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示）
13．（2025·江苏盐城·二模）学科实践
“科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）

【初步思考】
通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究：
甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理；
乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定；
丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况；
丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型．
设拟合函数为：
【问题解决】
(1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式．
(2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？
(3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到；
②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间．
14．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．
抽象建模
如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分．
数据与定义
已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离．
问题解决
(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；
(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；
(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．
15．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．
请根据以上知识解决下列问题：
已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为．
(1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）；
(2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值．
16．（2025·江苏盐城·一模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图2），当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．

【提出问题】的面积是否存在最大值？
【分析问题】由于点的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形．
【解决问题】
(1)如图3，当时，试求与的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？
(2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长；
(3)的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点在什么位置？如果不存在，请说明理由．
17．（2024·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为．
(1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________；
(2)求矩形花圃面积的最大值；
(3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长．
18．（2025·江苏扬州·三模）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．
(1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
(2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围．
19．（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】
材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离．
材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据．
【问题情景】
(1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟．
①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物．
②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米．
(2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m．
①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？
②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线中，的最大值是多少．
20．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法．
【结构认识】
如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
【概念学习】
①视差：物体目标点在左、右相机的视差．
②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．
③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）．
【原理感知】
如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略）
【灵活运用】
(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母）
②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．
①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m．
②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为．
③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
真题动向
题型一：从函数图象中获取信息
题型二：一次函数中的最大利润问题
题型三：一次函数中的行程问题
题型四：一次函数中的分配问题
题型五：反比例函数中的实际问题
题型六：二次函数中的销售问题
题型七：二次函数中的拱桥、隧道问题
题型八：二次函数中的投球问题
题型九：二次函数中的几何应用
题型十：函数与实际问题（新情境）
题型十一：函数与实际问题（函数综合问题）
必备知识
知识1 一次函数的实际应用
知识2 反比例函数的实际应用
知识3 二次函数的实际应用
命题预测
命题透视
1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。
2.命题内容
1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。
2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。
4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。
5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
一次函数的实际应用
南京·T24：一次函数中的动点函数问题
苏州·T7：一次函数的物理应用
无锡·T25：一次函数的销售问题
南通·T9：一次函数的图象信息获取问题
南通·T24：一次函数的最大利润问题
南京·T13：一次函数的行程问题
南京·T22：一次函数实际应用的其他问题
苏州·T26：一次函数的行程问题
南通·T24：一次函数的最大利润问题
二次函数的实际应用
徐州·T27：二次函数的其他应用
南通·T24：二次函数的图形问题
无锡·T26：二次函数销售利润问题
反比例函数的实际应用
南京·T12：反比例函数的物理应用
南通·T16：反比例函数的物理应用
南通·T14：反比例函数的物理应用
命题预测
函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。
从函数图象中获取信息，需仔细观察图象的形状、位置、趋势，准确读取点的坐标、范围、最值、单调性等信息，并结合函数解析式解决问题。
解决一次函数中的最大利润问题，需先建立利润与自变量的一次函数关系式，确定自变量的取值范围，再根据函数的增减性（k 的符号）在取值范围内求解利润的最大值或最小值。
进价(元/公斤)
售价(元/公斤)
南粳1号
a
6
南粳2号
b
8
价格
甲
乙
丙
批发价（元／套）
25
________
________
零售价（元／套）
30
25
35
解决一次函数中的行程问题，需先分析题意，建立路程与时间的一次函数关系式，理解图象中斜率（速度）和截距（初始位置）的意义，再根据函数或图象解决相遇、追及等问题。
解决一次函数中的分配问题，需先分析题意，建立两个分配对象数量之间的一次函数关系式，确定自变量的取值范围（通常为非负整数），再根据函数性质和取值范围解决最优分配等问题。
售价（元/瓶）

解决二次函数中的销售问题，需先建立利润（或销售额）与销售单价的二次函数关系式，确定自变量的取值范围，再利用配方法求利润的最大值或最小值。
制定购买方案
问题背景
背景1
◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元．
◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售．
背景2
学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人．
信息整理
设奖励一等奖学生人，列表如下：
一等奖人数范围
钢笔支数
钢笔单价
笔记本本数
笔记本单价
__________
__________
探究任务1
建立数学模型
设购买总额元，求关于的函数表达式．
探究任务2
拟定购买方案
制定购买奖品金额最少的购买方案．
解决二次函数中的拱桥、隧道问题，需先建立合适的平面直角坐标系，根据顶点和其他点的坐标求出二次函数解析式，再利用解析式解决拱高、跨度等实际问题。
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
站名
到时
发时
停留
站
___________
___________
站
分
站
___________
___________
站名
到时
发时
停留
站
___________
___________
站
分
站
___________
___________
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小西
不分段
A档
4000米
小傅
第一段
B档
1800米
第一次休息
第二段
B档
1200米
第二次休息
第三段
C档
1600米
时间x
7时
10时
13时
16时
19时
第2车道车流量（辆／分钟）
20
26
32
38
44
第5车道车流量（辆／分钟）
33
30
27
24
21