专题01 函数的图象与性质综合压轴6大题型（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

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考向01 二次函数图象与性质
题型1 二次函数对称性
1．（2023•工业园区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-32x+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2．
（1）OB＝ ；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，52），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围．
题型2 求函数范围或最值问题
3．（2024•惠山区校级一模）当﹣3≤x≤2时，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax﹣7a+12的图象在x轴上方，则a的取值范围为 ．
4.（2025•淮安）已知二次函数y=12x2-mx+m﹣1（m为常数）．
（1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝ ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围．
5．（2025•兴化市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣x2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）若函数的图象经过点（1，4），并与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的表达式；
②若点D在该二次函数图象上，且D在直线BC上方，当△BCD的面积最大时，试求出点D到直线BC的距离；
（2）点M（x1，y1），N（3a，y2）是二次函数图象上两点，当1≤x1≤3时，始终有y1＜y2，求a的取值范围．
6．（2025•靖江市校级三模）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围．
（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．
7．（2025•江阴市一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0，c＞0）的图象顶点C的坐标是(c2，0)．
（1）若c＝5，求二次函数表达式；
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两个不同的点，若x1+x2＞c，请判断y1，y2的大小关系，并说明理由；
（3）等腰直角△BOD的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若S△BOD＝8，直接写出a的值．
考向02 函数的性质综合
题型3 函数的性质综合
8．（2025•南京）（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是 ．
（2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化．
①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围．
②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
9．（2025•靖江市一模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的横坐标分别为m﹣1，m+a（m，a为常数，a＞﹣1），且在抛物线y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m﹣2am+1上，抛物线顶点记为C．
（1）对称轴方程为x＝ ；（用含m的代数式表示）
（2）过A作x轴的平行线交该抛物线于点A′，若S△ACA′＝2S△ABA′，求a的值；
10．（2025•苏州二模）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx(k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若C（1，6），求三角形ABD的面积．
（3）在（2）的条件下，设y＝2x﹣2和y=kx-1交于E（a，b）和F（c，d）两点，请直接写出（a﹣1）（b+2）的值为 ．
题型4 函数的平移、旋转和翻折
11．（2025•宿城区校级一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，设点P的坐标为（n，nk+3），当n变化时，是否存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，若存在，求出k的值及△PAD面积的定值；若不存在，请说明理由．
（3）若将该抛物线在﹣5≤x≤0间的部分记为图象M，并将图象M在直线y＝t（﹣12≤t≤3）上方的部分沿着直线y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤9．求t的取值范围．
12．（2025•海陵区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，
（1）当x0＝1，p＝q时，
①求b的值；
②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由．
（2）当b＜﹣2时，若对于1+b2＜x0＜-b2-1，都有p＞q，求b的取值范围．
13．（2024•宝应县三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y=3x，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 ；（填序号）
（2）设函数y=-4x（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．
考向03 函数的应用
题型5 函数在生活中的应用
14．（2025•江宁区校级模拟）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A1的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于p1，p2，p3大小关系的表述中，正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3B．p1＞p3＞p2C．p3＞p1＞p2D．p3＞p2＞p1
15．（2025•鼓楼区校级模拟）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）图中t＝ min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是 m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值．
16．（2025•梁溪区三模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝23，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝43，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 ；此时杯体内液体的最大深度为 ．
17．（2025•盐城一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
18．（2025•海州区二模）某服装店销售A、B两种服装，它们的进价和售价如表，若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元．
（1）求A、B两种衣服每套的进价；
（2）若老板用不超过36000元的资金进A、B两种服装共100套，则老板按售价卖出这100套服装的最大利润是多少？
（3）根据市场情况，老板在11月份按售价可卖A种服装14套．假设老板按售价每套A种服装每降价10元，就可多卖出一套A种服装，请问当售价定为多少时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大．
19.（2024•海陵区校级三模）
题型6 函数的新定义问题
20．（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”；
②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；
③若1是函数y1＝kx+3与函数y2=1x的“对偶值”，则k＝2；
④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2=1x（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b≤92．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
21．（2025•镇江）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数y=12(x-h)2+k（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点．
（1）二次函数y=12x2的图象如图所示．
①在t的不同取值2、92、5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 ；
②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数y=12(x-h)2+k（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式．
（建议用时：120分钟）
1．（2025•天宁区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax+3（a＜0）的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），顶点为C．
（1）若x1＝﹣3，
①求a，x2的值；
②D为线段AB上一点，过点D作AC的平行线交抛物线于点E，若点E在x轴上方，且DE=12AC，求E的坐标．
（2）若4＜x2﹣x1＜6，直接写出a的取值范围．
2．（2024•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝ ．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
3．（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围．
4．（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h．
（1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为 ；
（2）当2≤h≤4时，求证：14≤a≤12；
（3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是 ．
5．（2025•丹阳市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点C，与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点（m﹣2，y1）、（m﹣1，y2）、（m+1，y3）在抛物线上，且满足y1＞y2＞y3，求m的取值范围；
（3）当2n﹣1≤x≤2n+1时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当s﹣t＝4时，直接写出n的值 ．
6．（2025•东海县模拟）已知二次函数y1＝x2+（b﹣2）x+b24．
（1）①该二次函数图象的顶点坐标为 （用含有字母b的代数式表示）；
②求证：该二次函数图象的顶点不在第三象限；
（2）当m≤x≤2时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，y1的最大值与最小值的差为5，求m的值；
（3）已知一次函数y2=14x+1，若当0≤x≤2时，总有y2＞y1，请直接写出b的取值范围．
7．（2025•无锡二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）．
（1）二次函数的顶点坐标为 ；
（2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得，
①求线段AB的长；
②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于112，求m的值．
8．（2025•溧阳市一模）实验操作：
如图是初中物理用伏安法测电阻的简易示意图，该串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
（1）填写：m＝ ，n＝ ；
探究尝试：
（2）根据以上实验，构建出函数y=15x+2（x≥0），结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数y=15x+2（x≥0）的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
拓展延伸：
（3）结合上述函数图象，直接写出不等式15x+2≥-54x+152的解集．
9．（2025•亭湖区校级二模）学科实践
“科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）
【初步思考】
通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究：
甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理；
乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定；
丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况；
丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型…
设拟合函数为：y=kx+a+b(k＜0，a＞0，b＞0)
【问题解决】
（1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式．
（2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？
（3）①根据图象变换，（1）中图象可由y=-11250x的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到：
②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间．
10．（2025•淮安区校级一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题．
（1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴交于点A（3，0）、B（0，6），把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得OC＝OA，所以点C坐标为 ，由此可求得直线BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线y＝﹣2x+6上一点（m，﹣2m+6），沿y轴翻折得点（﹣m，﹣2m+6），则x＝﹣m，y＝﹣2m+6，即m＝﹣x，代入y＝﹣2m+6得翻折后所得直线的表达式为 ．
（2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式．
（3）下列说法中正确的有 （填序号）．
①将一次函数y＝kx的图象沿直线y＝x翻折得到直线的表达式为y=xk；②将反比例函数y=3x的图象沿直线x＝1翻折所得图象的表达式为y=3x-2；③将二次函数y＝ax2+bx+c的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为y＝ax2﹣bx+c；④将函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象沿直线y＝3翻折得到图象的表达式为y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6．
（4）将抛物线y＝2x2+1沿直线y＝x翻折得到图象G，直线y=12x+b与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），且|n1﹣n2|≤3，求b的取值范围．
11．（2024•淮安模拟）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在y=4x的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
12．（2025•沭阳县校级模拟）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是 千米/时，乙车行驶的时间t＝ 小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
13．（2025•梁溪区一模）【知识回顾】
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象记作直线l，l与x轴的夹角为α．
（1）若α＝30°，则k＝ 33 ；
（2）当k＞0时，求证：tanα＝k．
【知识应用】
电影《蛟龙行动》中有这样一段情节：
静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟710海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇A测得潜艇B在其北偏东69°方向，2点05分，测得潜艇B在其北偏东60°方向，经过解算，潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东56°方向．
请利用以上信息，以我方潜艇A为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇B的航线图象的函数表达式．[参考数据：tan21°≈239，tan34°≈235]
14．（2025•如皋市校级模拟）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可．
15．（2025•启东市二模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．
（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是 ．
16．（2025•南京一模）如何设置挡板？
如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与y=-12x2相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计）
【初步体验】
（1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ ．
【数学思考】
（2）如图③，若OP=22，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值．
【问题解决】
（3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中：
（Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值；
（Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值．
17．（2024•高港区三模）背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，′数′说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考查测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为3m，则AB＝ 32 m；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用竹竿CD（竹竿可看成线段）模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；
③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用长方形纸板PQMN模拟汽车通过宽均为3m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y=kx(x＞0)的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB=32m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2，7≈2.6)
18．（2025•锡山区校级一模）任意y关于x的函数对于实数m、n（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m到n（含m、n）这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”．
（1）若一次函数y＝ax+b（a＞0）存在“翻倍取值范围”，求a、b的值；
（2）已知二次函数y＝x2+kx+h的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，h＝2，若实数c、d（c＜d）从c到d（含c、d）的取值范围为函数y＝x2+kx+h的“翻倍取值范围”，求c、d的值．
19．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1．
【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝ ；
【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”，
①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值；
②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系；
【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值．
20．（2025•宿迁校级一模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】例如：函数y=12x+1上的点（2，2），(-23，23)到两个坐标轴的距离相等，我们就称点（2，2），(-23，23)是函数y=12x+1图象的完美点．
（1）若点（a+1，﹣2a）是一次函数y＝kx+4（k≠0）第四象限图象的完美点，求k的值；
（2）求二次函数y＝x2+x﹣4图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值．
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模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中函数的图象与性质压轴考点主要有以下几类：①二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）；②二次函数与系数的关系（每年1~2题，3~5分）；③一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质的综合运用，多出现在新定义题型中（每年1~2题，3~15分）；④函数的平移、旋转和轴对称（每年1~2题，3~15分）；⑤一次函数、反比例函数、二次函数的应用（每年1道，6~10分）考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，难度中等偏上．
预测2026年：函数的图象与性质一直都是中考的重要考点，包括二次函数的对称性、增减性、求最值问题例如2025年常州中考T27；3种函数相结合的新定义问题，例如2024、2025年无锡中考T10，2025年镇江中考T26等；函数的的应用，基本上每个市必考题型；所以对于以上考点需要熟练掌握。
1、对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线x=-b2a ；顶点坐标：（- b2a,4ac-b24a）`
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
4、A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上，若y1=y2,那么A、B两点对称，抛物线的对称轴为x=x1+x22，也可以反过来利用对称性求点的坐标。
根据点到对称轴的距离比较函数值大小
A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上的两点，对称轴为x=h
①当a＞0时，若x1-h>x2-h，则y1>y2 点到对称轴的距离越远，函数值越大；距离越近，函数值越小；
②当a＜0时，若x1-hy2 点到对称轴的距离越近，函数值越大；距离越远，函数值越小；
定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间分析思路相同，都可以将对称轴当做定值，分类讨论区间与对称轴的关系
一次函数：y=kx+b,当k>0时，y随x的增大而增大；k0时，函数位于一、三象限，在单独的象限内，y随x的增大而减小；k