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2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题06 二次函数与几何结合（解答压轴题） （含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题06 二次函数与几何结合（解答压轴题） （含解析），共50页。试卷主要包含了 理解题意， 分析函数图像， 应用几何知识， 建立方程或不等式， 求解方程或不等式， 得出结论等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
1. 理解题意：
首先，仔细阅读题目，理解题目中给出的二次函数表达式和几何图形的性质。
确定二次函数的一般形式，并理解 a、b、c的值对函数图像的影响。
2. 分析函数图像：
根据二次函数的系数，判断函数的开口方向。
计算对称轴。
计算顶点坐标。
确定函数与坐标轴的交点。
3. 应用几何知识：
根据题目要求，利用几何知识分析函数图像与坐标轴、对称轴、顶点等的关系。
可能需要计算线段长度、角度、面积等。
4. 建立方程或不等式：
根据几何关系，建立关于 x或 y的方程或不等式。
利用二次函数的性质，如对称性、最值等，进一步简化方程或不等式。
5. 求解方程或不等式：
使用代数方法，如配方法、公式法、因式分解法等，求解方程或不等式。
验证解的合理性，确保解符合题目要求和二次函数的取值范围。
6. 得出结论：
根据求解结果，结合几何知识，得出最终结论。
检查答案是否符合题目要求，确保没有遗漏或错误。
1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点是C．
(1) SKIPIF 1 < 0 _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， SKIPIF 1 < 0 ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据原抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，求得原抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为x=1，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得m= SKIPIF 1 < 0 或m=8（舍去），
当m= SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得a=3或a= SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴平移后得抛物线为 SKIPIF 1 < 0
∵过点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在 SKIPIF 1 < 0 的对称轴x= SKIPIF 1 < 0 的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由 SKIPIF 1 < 0 ，设平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵顶点为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵原抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴p=1（舍去），或p=3或p= SKIPIF 1 < 0 ，
当p=3时， SKIPIF 1 < 0 ，
当p= SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)随着点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动．
① SKIPIF 1 < 0 的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段 SKIPIF 1 < 0 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在该二次函数的图象的对称轴上时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)① SKIPIF 1 < 0 的大小不变，理由见解析；②线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，把 SKIPIF 1 < 0 化为顶点式即可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）①在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形即可得出结论；②由 SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，进而解直角三角形即可求解；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：① SKIPIF 1 < 0 的大小不变，理由如下：
在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的大小不变；
②，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 （点A在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），直线 SKIPIF 1 < 0 是对称轴．点 SKIPIF 1 < 0 在函数图像上，其横坐标大于4，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若以 SKIPIF 1 < 0 的切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，且 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 求得点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；如图连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：∵抛物线过 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
如图：连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，则： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图2：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧）．将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，求此时 SKIPIF 1 < 0 所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 两点分别在边 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为一边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．进而得出可得 SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图1，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入解析式得出 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ．②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，代入解析式得出 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，不合题意舍去．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，符合题意．由题意可求得 SKIPIF 1 < 0 ．取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．易知当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图1，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵直线 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去．当 SKIPIF 1 < 0 时，符合题意．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况不存在．
综上， SKIPIF 1 < 0 所对应的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图3，由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，不合题意舍去．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，符合题意
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
依题意，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
5．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数 SKIPIF 1 < 0 （m是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数 SKIPIF 1 < 0 （m是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像上，始终存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）分别令 SKIPIF 1 < 0 等于0，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．根据轴对称的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于点H．由方法一，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点A在点B的左侧，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一：如图1，连接AE．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图2，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于点H．
由方法一，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点N， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)如图2，在 SKIPIF 1 < 0 轴上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得新抛物线，新抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，线段 SKIPIF 1 < 0 关于线段 SKIPIF 1 < 0 的对称线段 SKIPIF 1 < 0 所在直线交新抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，再由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求出平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与抛物线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 点；当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与抛物线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 点．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
SKIPIF 1 < 0 抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴平移2个单位，沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向平移2个单位，
SKIPIF 1 < 0 平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6；
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
2．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图所示，某个温室大棚的横截面可以看作是由矩形 SKIPIF 1 < 0 和抛物线的一部分 SKIPIF 1 < 0 构成的（以下简记为“抛物线 SKIPIF 1 < 0 ”），其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现取 SKIPIF 1 < 0 中点O，过点O作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 ．若以O点为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为y轴建立如图①所示的平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图②所示，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 SKIPIF 1 < 0 ，其中L，R在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，求两个正方形装置的间距 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查二次函数的实际应用，矩形的性质，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 时对应的自变量的值，得到 SKIPIF 1 < 0 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
【详解】（1）由题意，知四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点J，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴负半轴交于点A．与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P的横坐标是t， SKIPIF 1 < 0 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为斜边在 SKIPIF 1 < 0 的右侧作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点F的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系数法求解即可；
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点T，令 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，P点在抛物线上，P点横坐标为t．根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点N， SKIPIF 1 < 0 延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点M，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点L．根据 SKIPIF 1 < 0 证明 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可推出 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 轴于点R，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式和直线 SKIPIF 1 < 0 解析式．由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式，然后联立直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵抛物线经过A、B两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点T，令 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，P点在抛物线上，P点横坐标为t．
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点N， SKIPIF 1 < 0 延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点M，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点L．
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 轴于点R
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点F，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，矩形的判定与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，一次函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
4．如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，并交x轴于另一点B，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限的抛物线上， SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在一点P，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大？若存在，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上是否存在点P，使 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(4)如图2，点Q在抛物线上，当 SKIPIF 1 < 0 的值最大且 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，求点Q的横坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，四边形 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(3)存在，点P坐标为 SKIPIF 1 < 0
(4)点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得出方程组，解方程组即可得解；
（2） SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，然后表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质即可得出答案；
（3）作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；
（4）作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点N，先利用相似求出P点坐标，当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴该抛物线的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面积有最大值，最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，此时P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）如图作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点N，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值最大时即 SKIPIF 1 < 0 有最大值，
∴ SKIPIF 1 < 0 有最大值时，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，有以下三类情况，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
③ SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
综上所述，点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
5．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) SKIPIF 1 < 0 在第二象限抛物线上，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3) SKIPIF 1 < 0 为第一象限抛物线上的点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的点，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)Q点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组求出b、c的值即可得答案；
（2）设D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则E点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别代入抛物线和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，列方程组可求出m、n的值，进而可得答案；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线解析式可求出点C坐标，即可求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长，根据勾股定理逆定理可得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于D，交 SKIPIF 1 < 0 于E，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据角的和差关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而列方程可求出m的值，可得 SKIPIF 1 < 0 的长，根据点Q坐标可用n表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可；当 SKIPIF 1 < 0 时，根据平行线的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 轴，可得出点P纵坐标，进而可求出点P坐标，可得 SKIPIF 1 < 0 的长，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可得点Q坐标；当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况符合题意；综上即可得答案．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：设D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则E点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于D，交 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于Q，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
②如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴点P纵坐标为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于Q，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，不符合题意，
综上所述：点Q坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
6．综合运用：已知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 如图1所示，其对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)①写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系______；
②证明：抛物线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，将此抛物线记为 SKIPIF 1 < 0 ，把抛物线 SKIPIF 1 < 0 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
①求抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标；
②点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①根据对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，列式 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算 SKIPIF 1 < 0 并配方，即可求解，
（2）①将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式： SKIPIF 1 < 0 ，顶点式： SKIPIF 1 < 0 ，根据坐标的平移，得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式，当 SKIPIF 1 < 0 时，即可求解②，根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：①∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
②联立抛物线与直线方程， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
故答案为：① SKIPIF 1 < 0 ，
（2）解：①将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，顶点式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
②根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上，横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将该抛物线 SKIPIF 1 < 0 两点之间（包括 SKIPIF 1 < 0 两点）的部分记为图象 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的差为4时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 下方，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交拋物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)面积的最大值为18， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出点C的坐标，分为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，三种情况讨论即可；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的值不存在
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为8，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为18，此时 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键．
8．如图1，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点为B，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作 SKIPIF 1 < 0 于N，作 SKIPIF 1 < 0 于F，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点M的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，设平移时间为t秒，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质建立方程求解即可；
（3）根据将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，可知t秒时 SKIPIF 1 < 0 向右，向上平移t的单位，得到 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据等腰三角形边的关系分类讨论求解即可；
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，
SKIPIF 1 < 0 t秒时 SKIPIF 1 < 0 向右，向上平移t个单位，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，图形的平移，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是要注意分类讨论思想解题，避免遗漏．
9．如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 （点A在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），直线 SKIPIF 1 < 0 是对称轴．点 SKIPIF 1 < 0 在函数图象上，其横坐标大于4，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若以 SKIPIF 1 < 0 的切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，且 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 求得点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵抛物线过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如图：连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，则： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图2：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
10．如图1，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值及直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)如图1，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 上方的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
(ⅰ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标，
(ⅱ)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于 SKIPIF 1 < 0 轴下方面的部分不变，位于 SKIPIF 1 < 0 轴上方面的部分关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，得到新的图形，将直线 SKIPIF 1 < 0 向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与新的图形有四个不同交点，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)(ⅰ) SKIPIF 1 < 0 ；(ⅱ) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 ，得出点 SKIPIF 1 < 0 ，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）（i）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解．
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，观察函数图象，可得当 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，直线 SKIPIF 1 < 0 与新的图形有三个不同交点，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的值，根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 舍 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
（ii）如图，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0
（3）解：依题意， SKIPIF 1 < 0
新的图形的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
则新的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
设平移后的直线解析式为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 时，有3个交点，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
则 SKIPIF 1 < 0
消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
结合函数图象可得： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
通用的解题思路：
1. 理解题意：
首先，仔细阅读题目，理解题目中给出的二次函数表达式和几何图形的性质。
确定二次函数的一般形式，并理解 a、b、c的值对函数图像的影响。
2. 分析函数图像：
根据二次函数的系数，判断函数的开口方向。
计算对称轴。
计算顶点坐标。
确定函数与坐标轴的交点。
3. 应用几何知识：
根据题目要求，利用几何知识分析函数图像与坐标轴、对称轴、顶点等的关系。
可能需要计算线段长度、角度、面积等。
4. 建立方程或不等式：
根据几何关系，建立关于 x或 y的方程或不等式。
利用二次函数的性质，如对称性、最值等，进一步简化方程或不等式。
5. 求解方程或不等式：
使用代数方法，如配方法、公式法、因式分解法等，求解方程或不等式。
验证解的合理性，确保解符合题目要求和二次函数的取值范围。
6. 得出结论：
根据求解结果，结合几何知识，得出最终结论。
检查答案是否符合题目要求，确保没有遗漏或错误。
1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点是C．
(1) SKIPIF 1 < 0 _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， SKIPIF 1 < 0 ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据原抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，求得原抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为x=1，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得m= SKIPIF 1 < 0 或m=8（舍去），
当m= SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得a=3或a= SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴平移后得抛物线为 SKIPIF 1 < 0
∵过点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在 SKIPIF 1 < 0 的对称轴x= SKIPIF 1 < 0 的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由 SKIPIF 1 < 0 ，设平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵顶点为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴平移后的抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵原抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴p=1（舍去），或p=3或p= SKIPIF 1 < 0 ，
当p=3时， SKIPIF 1 < 0 ，
当p= SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)随着点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动．
① SKIPIF 1 < 0 的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段 SKIPIF 1 < 0 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在该二次函数的图象的对称轴上时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)① SKIPIF 1 < 0 的大小不变，理由见解析；②线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，把 SKIPIF 1 < 0 化为顶点式即可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）①在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形即可得出结论；②由 SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，进而解直角三角形即可求解；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：① SKIPIF 1 < 0 的大小不变，理由如下：
在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的大小不变；
②，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的长最大，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即线段 SKIPIF 1 < 0 的长度存在最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的中点为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 （点A在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），直线 SKIPIF 1 < 0 是对称轴．点 SKIPIF 1 < 0 在函数图像上，其横坐标大于4，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若以 SKIPIF 1 < 0 的切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，且 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 求得点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；如图连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：∵抛物线过 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
如图：连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，则： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图2：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧）．将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，求此时 SKIPIF 1 < 0 所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 两点分别在边 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为一边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．进而得出可得 SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图1，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入解析式得出 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ．②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，代入解析式得出 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，不合题意舍去．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，符合题意．由题意可求得 SKIPIF 1 < 0 ．取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．易知当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图1，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵直线 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去．当 SKIPIF 1 < 0 时，符合题意．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况不存在．
综上， SKIPIF 1 < 0 所对应的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图3，由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，不合题意舍去．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，符合题意
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
依题意，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
5．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数 SKIPIF 1 < 0 （m是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数 SKIPIF 1 < 0 （m是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像上，始终存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）分别令 SKIPIF 1 < 0 等于0，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．根据轴对称的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于点H．由方法一，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点A在点B的左侧，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一：如图1，连接AE．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图2，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于点H．
由方法一，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点N， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)如图2，在 SKIPIF 1 < 0 轴上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得新抛物线，新抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，线段 SKIPIF 1 < 0 关于线段 SKIPIF 1 < 0 的对称线段 SKIPIF 1 < 0 所在直线交新抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，再由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求出平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与抛物线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 点；当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与抛物线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 点．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
SKIPIF 1 < 0 抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴平移2个单位，沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向平移2个单位，
SKIPIF 1 < 0 平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6；
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或6或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
2．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图所示，某个温室大棚的横截面可以看作是由矩形 SKIPIF 1 < 0 和抛物线的一部分 SKIPIF 1 < 0 构成的（以下简记为“抛物线 SKIPIF 1 < 0 ”），其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现取 SKIPIF 1 < 0 中点O，过点O作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 ．若以O点为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为y轴建立如图①所示的平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图②所示，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 SKIPIF 1 < 0 ，其中L，R在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，求两个正方形装置的间距 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查二次函数的实际应用，矩形的性质，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 时对应的自变量的值，得到 SKIPIF 1 < 0 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
【详解】（1）由题意，知四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点J，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 均为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴负半轴交于点A．与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P的横坐标是t， SKIPIF 1 < 0 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为斜边在 SKIPIF 1 < 0 的右侧作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点F的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系数法求解即可；
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点T，令 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，P点在抛物线上，P点横坐标为t．根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点N， SKIPIF 1 < 0 延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点M，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点L．根据 SKIPIF 1 < 0 证明 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可推出 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 轴于点R，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式和直线 SKIPIF 1 < 0 解析式．由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式，然后联立直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵抛物线经过A、B两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点T，令 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，P点在抛物线上，P点横坐标为t．
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点N， SKIPIF 1 < 0 延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点M，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴于点L．
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 轴于点R
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点F，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，矩形的判定与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，一次函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
4．如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，并交x轴于另一点B，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限的抛物线上， SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在一点P，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大？若存在，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上是否存在点P，使 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(4)如图2，点Q在抛物线上，当 SKIPIF 1 < 0 的值最大且 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，求点Q的横坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，四边形 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(3)存在，点P坐标为 SKIPIF 1 < 0
(4)点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得出方程组，解方程组即可得解；
（2） SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，然后表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质即可得出答案；
（3）作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；
（4）作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点N，先利用相似求出P点坐标，当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴该抛物线的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面积有最大值，最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，此时P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）如图作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点M，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点N，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值最大时即 SKIPIF 1 < 0 有最大值，
∴ SKIPIF 1 < 0 有最大值时，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，有以下三类情况，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
③ SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
综上所述，点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
5．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) SKIPIF 1 < 0 在第二象限抛物线上，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3) SKIPIF 1 < 0 为第一象限抛物线上的点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的点，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)Q点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组求出b、c的值即可得答案；
（2）设D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则E点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别代入抛物线和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，列方程组可求出m、n的值，进而可得答案；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线解析式可求出点C坐标，即可求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长，根据勾股定理逆定理可得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于D，交 SKIPIF 1 < 0 于E，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据角的和差关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而列方程可求出m的值，可得 SKIPIF 1 < 0 的长，根据点Q坐标可用n表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可；当 SKIPIF 1 < 0 时，根据平行线的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 轴，可得出点P纵坐标，进而可求出点P坐标，可得 SKIPIF 1 < 0 的长，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可得点Q坐标；当 SKIPIF 1 < 0 时，此情况符合题意；综上即可得答案．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：设D点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则E点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于D，交 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于Q，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
②如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴点P纵坐标为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于Q，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，不符合题意，
综上所述：点Q坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
6．综合运用：已知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 如图1所示，其对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)①写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系______；
②证明：抛物线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，将此抛物线记为 SKIPIF 1 < 0 ，把抛物线 SKIPIF 1 < 0 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
①求抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标；
②点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①根据对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，列式 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算 SKIPIF 1 < 0 并配方，即可求解，
（2）①将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式： SKIPIF 1 < 0 ，顶点式： SKIPIF 1 < 0 ，根据坐标的平移，得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式，当 SKIPIF 1 < 0 时，即可求解②，根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：①∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
②联立抛物线与直线方程， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
故答案为：① SKIPIF 1 < 0 ，
（2）解：①将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，顶点式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
②根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上，横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将该抛物线 SKIPIF 1 < 0 两点之间（包括 SKIPIF 1 < 0 两点）的部分记为图象 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的差为4时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 下方，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交拋物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)面积的最大值为18， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出点C的坐标，分为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，三种情况讨论即可；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的值不存在
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为8，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为18，此时 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键．
8．如图1，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点为B，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作 SKIPIF 1 < 0 于N，作 SKIPIF 1 < 0 于F，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点M的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，设平移时间为t秒，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质建立方程求解即可；
（3）根据将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，可知t秒时 SKIPIF 1 < 0 向右，向上平移t的单位，得到 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据等腰三角形边的关系分类讨论求解即可；
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 将抛物线沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位的速度平移，
SKIPIF 1 < 0 t秒时 SKIPIF 1 < 0 向右，向上平移t个单位，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，图形的平移，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是要注意分类讨论思想解题，避免遗漏．
9．如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 （点A在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），直线 SKIPIF 1 < 0 是对称轴．点 SKIPIF 1 < 0 在函数图象上，其横坐标大于4，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若以 SKIPIF 1 < 0 的切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，且 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 求得点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得切线长 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵抛物线过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如图：连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，则： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图2：当点M在点N的上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
10．如图1，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值及直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)如图1，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 上方的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
(ⅰ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标，
(ⅱ)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于 SKIPIF 1 < 0 轴下方面的部分不变，位于 SKIPIF 1 < 0 轴上方面的部分关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，得到新的图形，将直线 SKIPIF 1 < 0 向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与新的图形有四个不同交点，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)(ⅰ) SKIPIF 1 < 0 ；(ⅱ) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 ，得出点 SKIPIF 1 < 0 ，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）（i）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解．
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，观察函数图象，可得当 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，直线 SKIPIF 1 < 0 与新的图形有三个不同交点，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的值，根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 舍 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
（ii）如图，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0
（3）解：依题意， SKIPIF 1 < 0
新的图形的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
则新的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
设平移后的直线解析式为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 时，有3个交点，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
则 SKIPIF 1 < 0
消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
结合函数图象可得： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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