专题20 二次函数中的线段关系与最值（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：线段定值与数量关系问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

【变式1-1】难点01：线段的数量关系
（2026·内蒙古·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
(1)求点的坐标及的值．
(2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，求证：；
(3)当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
∴，
将代入，得，
∴，
将，分别代入，得
，
解得．
答：点的坐标为，的值分别为．
（2）证明：如图，
设直线的解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设点E的坐标为
∵，
∴，
将代入得，
将代入，得，
∴，
，
∴
（3）如图
当时，，
∴，
∴，
即，解得．
当时，，
∴，
∴，
即，解得，
∴或．
【变式1-2】难点02：双斜线段数量关系
（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，
，
解得：，
解析式为：；
（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，
设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点的纵坐标为．
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限的抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到线段（点在第一象限内），过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)如图，在（）的条件下，连接，过点作，射线交过点且与垂直的直线于点，过点作于点，点为上一点，过点作，交于点，交于点，连接，若，，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴顶点的坐标为，
∵顶点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点作直线轴，交轴于点，交于点，设对称轴交轴于点，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
当时，代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上，
∴点的纵坐标为，
即；
（3）解：过点作，过点作，
∵顶点，，
∴，
，
在中和中，
，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为．
2．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．
(1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标．
(3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围．
(4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值．
【详解】（1）解：∵点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”，
∴把代入，得，
即，
解得，
∴平衡点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）解：把代入，得，
整理得，，
∵二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，
∴，
∴①，
∵“平衡点”为，
∴，
整理得，②，
联立①②，得，
解得，
∴二次函数关系为，
∵，
∴顶点坐标为；
（3）解：由（）可得，，，
∴，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，如图，
当时，，
解得，
当时，，
∴；
（4）解：把代入，得，
整理得，，
∵关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，
∴，
解得，
∴，
由，整理得，
解得，
∴，
把代入，得，
整理得，，
∴，
解得，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
综上所述，．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线，与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C 点，A点坐标
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上一点，连接并延长交y轴于点H，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，交于F，过C作x轴平行线交于点G，点Q是第二象限抛物线一点，连接交于点K，延长交x轴于点N，交延长线于点R，连接交于点M，若，求R点坐标．
【详解】（1）解：把代入到中得：，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴；
如图所示，过点P作轴于Q，
∵点P是第一象限抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点G作轴于T，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵轴，轴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，设直线交y轴于L，
∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为；
∵，
∴点M为的中点，
∵轴，点K在上，
∴点K的纵坐标为3，
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点K的横坐标为，
∴点K的坐标为，
同理可得直线解析式为，
联立，解得，
∴．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点的坐标为．
(1)求、的值；
(2)如图1，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，，点在上，，交于点，，点在第二象限，连接，，连接，过点作的垂线，交过点且平行的直线于点，连接交于点，过点作轴的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，，连接并延长交抛物线于点，，点在内，连接，，，，交的长线于点，，求直线的解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点，点的坐标为，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
∵点为第二象限内抛物线上一点，
∴设，
如图：过作轴于点，则，
，
，
；
（3）解：当时，，即，
，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由题意可得，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，
∴，
四边形为正方形，
如图：连接，
设，
，
，
连接，
，
，
，
，
点、、共线，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
过作于点，于点，延长至点，使，连接，
则，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
，
过作于点，
，
设，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于点，则，
∴，
，，
，
点在抛物线上，
，
或（舍去），
，
，
在上取一点，使，连接，则为等腰直角三角形，设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
，
，
，
或（舍去）.
，
过作于点，则，
，
设，，
，
，
或（舍去），
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为．
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”．
(1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ；
(2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围；
(3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为．
①当时，抛物线的解析式为 ；
②当时，求抛物线的解析式；
③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值．
【详解】（1）解：当时，可得：，
解得：，
点的坐标为，顶点坐标为，
设的“兄弟函数”的表达式为：，
把点坐标代入上式得：，
解得：，
的“兄弟函数”的解析式为，
答案为：；
（2）解：存在“兄弟函数”，理由如下：
令，
当时，
抛物线与轴有个交点，
解得：；
（3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线，
抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，
此时，：，顶点为，
令，则，点的坐标为，
同理可得：：，
①当时，：，
②当时，：，
③由题可得：，顶点为，
：，直线的函数表达式为：，
联立、 ，可得：，
整理得：，
两个函数的交点为点和点，
由韦达定理得：，
即：，
解得：，
则点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点为中点，则，
解得：，
答：的值为．
6．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为．
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标．
(2)点为抛物线上的动点，过点作直线．
①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值；
②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的函数表达式为，
当时，，
；
（2）解：①由题可知，
当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，
点即为最高点，
此时，
解得，
在对称轴右侧，即，
；
②当，如图，
找出临界值，点在上时，
由题可知，
，
解得或（舍去），
；
点B在线段上时，
由题意，
设直线解析式为，代入坐标得：
，
解得
∴解析式为，
点B在线段上时，代入坐标得：
（舍去），，
综上
当点在点左侧时，即，如图，
同理可得；
点B在线段上时，
由题意，
设直线解析式为，代入坐标得：
，
解得
∴解析式为，
点B在线段上时，代入坐标得：
（舍去），
∴
综上，或．
7．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
根据题意得，点的坐标为，则，
把代入，得：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又轴，
∴轴，
，
，
，
，
又，
，
解得：，（不合题意，故舍去），
∴的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
又点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得：，，
点的坐标为或，
分情况讨论：
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
题型二：二次函数性质解决最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
(2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
因为正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，线段的长度取得最大值；
（2）解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的取值范围是．
【变式2-1】难点03：竖直线段最值
（2026·甘肃·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
(3)如图2，将该抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象．当直线与新图象有且仅有三个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【详解】（1）解：将点，，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由抛物线解析式得，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
．
，
当时，有最大值．
此时点坐标为；
（3）解：将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，其顶点坐标为，如图：

①当过点时，，
解得；
②当直线与抛物线只有1个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，当直线与新图象有且仅有三个公共点时，m的取值范围为．
【变式2-2】难点04：点到定直线最值
（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值是，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∵，
∴；
设点P到直线的距离为h，
∴，
∴，
∵当有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为，
∴点P到直线的最大距离为；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
∵，
∴；
设点Q的坐标为，则；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或．
【变式2-3】难点05：周长最值
（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：设，
轴，H在直线上，
，
；
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
的周长的最大值为，此时点P的坐标为．
（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：
当在轴上方时，延长，交于，如图：
在中，令得或，
，
由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，
新抛物线函数表达式为，
把代入得：，
解得舍去或，
新抛物线函数表达式为，
在中，令得或，
，
由，可得直线函数表达式为，
设，
，，
，
，
，
，
解得，
，
由，可得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，
由，得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或．
【变式2-4】难点06：线段比的最值
（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线上一点（不与点，，重合），其横坐标为．
(1)求点，，的坐标；
(2)如图2，连接，，当时，求证：点为抛物线的顶点；
(3)已知，对称轴与轴的交点为，连接并延长交的延长线于点，交对称轴于点，连接并延长交对称轴于点．
①设，求关于的函数表达式及其最大值；
②猜想是否是一个定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：当时，，
解得，．
当时，，
点，，的坐标分别为，，；
（2）证明：如图，连接并延长交轴于点，
点，的坐标分别为，，
．
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
设，
点，点在的图象上，
，
解得：，
，
，
顶点坐标为，
当时，，
点为抛物线的顶点；
（3）解：①由（2）可知，抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
点，点在的图象上，
，
解得：，
，
如图，分别过点A、P作轴的平行线，分别交于点Q、H，
，
，
，
，
，
点，，
，，
，，
，
，，
当时，，
②是一个定值为2，理由如下：
直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
∴，
∴是一个定值为2．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接．
①若点在第一象限，且，求点的坐标．
②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
．
抛物线与轴交于两点，对称轴为直线，
解得
抛物线的函数表达式为.
（2）解：①如图1，设与轴交于点．
抛物线与轴交于两点，对称轴为直线，
点
.
点在第一象限，且，
，
点.
设直线的函数表达式为，
则
解得
直线的函数表达式为.
联立抛物线与直线，得，
解得（舍去），.
将代入，得，
点的坐标为.
②如图2，过点作轴，交于点，连接．
点的横坐标为点．
点，
直线的函数表达式为，且，
点，
，1
．
设点到的距离为，
则.
当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为.
2．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．
(1)求的值．
(2)若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离．
(3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
过作于点，作轴，交于点，
∴轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，的值最大，即点D到直线BC距离最大，
设，则，
∴，
∴当时，有最大值为，此时，的最大值为．
（3）解：存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，

由（2）得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，

∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点，
故设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述：直线的解析式为或．
3．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
4．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【详解】（1）解：①∵，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，
∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式．
(2)如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标．
(3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：将点、点代入抛物线，
得，解得，
故抛物线表达式为．
（2）解：∵轴，
∴，
若，
则为等边三角形，
即的周长为长度的3倍，
故要求出的最大值，
∵，，
∴，
即点的坐标为，
令直线的表达式为，
将点、代入，
得，解得，
故直线的表达式为，
结合、，
可得方程，
化简得，
解得或，
故点的横坐标取值范围为，
令点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴当时，最大，其最大值为，
∴此时，
∴点的坐标为，
此时的周长最大为．
（3）解：∵，，
由勾股定理可得，
将移动方向进行分解，设其右移动个单位，再向上移动个单位也满足题意，
则，
解得，，
沿方向移动个单位，等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，
移动后抛物线表达式为，
化简得，
此时函数对称轴为直线，
则点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
∵
∴若与相似，则应为含角的直角三角形，
令点坐标为，
对的位置情况进行分类讨论：
当点在轴上方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴上方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴下方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴下方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
综上，满足条件的点的坐标为、、、．
题型三：几何模型解决线段最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【例3】几何模型01：利用两点之间线段最短求最值
【变式3-1】难点07：两定一动求最小值
（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
【变式3-2】难点08：两定一动求最大值
（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．
【变式3-3】难点09：三角形周长最小
（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为：．
（2），
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
（3）存在．
解：连接交对称轴于点，连接，
两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时的周长最小，
，抛物线交轴于点，
当时，，即，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
的解析式为：，
在对称轴上，
当时，，即．
【变式3-4】难点10：四边形周长最小
（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值．
【详解】（1）解：把代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵直线经过点，
∴直线的表达式为．
由，
解得或，
∴．
∵直线交轴于点，在中，令，则，
∴．
∴．
（3）∵为定点，
∴线段的长为定值，
∴当的和最小时，四边形的周长最小．
如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，
∵三点共线，
∴，
此时的值最小．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，，
∴直线的表达式为．
∵点为直线与的交点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴四边形周长的最小值为．
【例4】几何模型02：利用垂线段最短求最值
【变式4-1】难点11：线段和最小
（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
【变式4-2】难点12：借助胡不归模型转化
（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N．
(1)点A坐标为 、点B坐标为 ；
(2)当时，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值．
(4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ．
【详解】（1）解：把代入得
，
解得，
∴点A坐标为、点B坐标为﹒
故答案为：，；
（2）解：把代入得，
∴点C坐标为﹒
如图，作轴，垂足为H﹒
设点M坐标为，
则，，
∵在中，，
∴，
解得，
经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去，
∴点M坐标为，
∵点C坐标为，
∴；
（3）解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒
设直线解析式为，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵点A坐标为，
∴当时，，
∴点K坐标为，
∴，
设点M坐标为，
∴点G坐标为，
∴﹒
∵设与有公共高，
∴﹒
∵，轴，
，
∴，
∴，
∴
∴﹒
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（4）解：∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴﹒
如图，作，垂足为E﹒
∴在中，，
∴，
∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值为3﹒
故答案为：3
【变式4-3】难点13：借助直角三角形转化
（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点
∴设，；
∵旋转，
∴，
当点在轴上方时，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或；
（3）存在；
在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：，的最小值为．
【例5】几何模型03：借助阿氏圆求最值
【变式5-1】难点14：线段和最小
（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点．
(1)求的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
【详解】（1）解：，
点坐标为，
将，代入，
得，
解得，
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则， ，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
【例6】几何模型04：利用点圆求最值
已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
将C（0，4）代入，得．
∴，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又，时，均有，
结合函数图象可得：，解得：；
（3）连接DI，AI，OI，
∵I为△ADG的内心，
所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI，
又∵IA=IA，DA=OA，
∴，
∴∠OIA=∠DIA=135°，
∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，
又A（4，0），OA=4，
∴在等腰Rt△AON中，，
∴ N（2，－2），，
连接NC，
∴，
∴当C、I、N三点共线时，CI最小，
∴CI的最小值为．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2024·浙江·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)如图2，若点P在以点O为圆心，长为半径作的圆上，连接，请你直接写出的最小值．
【详解】（1）将代入得，，
解得，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
将代入得，
∴点C的坐标为；
（2）在上截取，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
当M、P、B三点共线时，最短，
根据勾股定理，最小值为．
2．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线及直线的表达式；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值．
【详解】（1）解： 将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：由（1）可得抛物线的对称轴为．
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且．
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值
【详解】（1）解：由题意，，，
设抛物线的解析式为，
把代入
∴
得到．
∴
则
故抛物线的解析式为．
（2）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
设直线的解析式为
把和代入
得
直线的解析式为，
由题意，，，
，
解得或（舍弃），
当时，的值为．
（3）解：如图，是对称轴，，
∴
依题意点在轴上
，
依题意
∵点在直线的解析式为
把代入
得
∴，
∵过点且垂直于的直线交轴于点，
，
由（2）得
，
，
，
，
，，
，
在上取一点，使得，
设
∵
则
解得（点K在第三象限，正值舍去）
把代入，得出
此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值．
4．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①9；②．③
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可；
②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为
∴四边形的面积；
即四边形的面积
②设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，
∴，
∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，
如图：
由可知，当时，，
∴有最大值时，点E的坐标为， 则，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为
5．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求此抛物线的表达式．
(2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值．
【详解】（1）解：∵的图象过点和，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，
∴点，
连接，
由函数的对称性质知，
∴四边形的周长，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
∴四边形周长的最小值为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与只有唯一的一个交点，
联立得，
整理得，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，代数式
，
∵当时，的值随的增大而减少，
故当时，代数式的值最大；
当时，的值随的增大而增大，
故当时，代数式的值最大；
又∵当时，；
当时，；
而，
∴当时，代数式的最大值为．
6．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标；
(3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，
当四边形是菱形时，则，
即，
解得：，
即点；
（3）解：由（1）得抛物线解析式为
当时，
∴
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，
理由：四边形的周长为最小，
则，
即四边形的周长的最小值为，
设直线的表达式为，
把、代入，得
，解得：
∴直线的表达式为：，
令，则，
解得：
∴，
令，则
∴．
7．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，点，，
与关于对称轴对称，
连接与对称轴交于点，
∴，
此时的周长取得最小值，
设解析式为，
，
解得，
，
当时，，
，
点；
（3）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：①当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
②当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
③当为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
9．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，
∴，，
∴，
∴的面积；
（3）①由题意，作图如下：
连接，作于点，
由（2）可知：，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴点在抛物线上；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
同①可得，，
∴点在射线上运动，
∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
10．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标．
【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，，
∴，
∴，
∴，，，
设抛物线的表达式为：，
∴，
∴，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，
∴对称轴为直线，
∴点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小，
已知，，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
则点；
（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，
∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴当时，，即；
当时，，即
∴点的坐标为：或．
11．（24-25九年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线，
，
，
代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
，
，
，
令，则，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线的解析式为，
如图，延长交轴于点，
轴，
，
，
，
，
，即，
，
，
设，则，，
，，
，
当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为，
作直线，过点作轴交直线于点，
令，则，解得，
，
，
在中，，
，
作于点，则，
，
，
当三点共线时，有最小值，此时，
过点作轴交直线于点，则，
令，则，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
综上所述，点D的坐标为，的最小值为．
（3）解：由（2）得，直线的解析式为，
由平移的性质得，，
设直线的解析式为，
联立，
消去整理得：，
与原抛物线恰好只有一个交点，
，
解得：，
代入得，，
解得：，
，
又，
，
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线的解析式为，
，，
同理可得，直线的解析式为，
连接交于点，连接、，
点G关于直线的对称点为，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
设，
，
解得：，，
符合条件的N点的横坐标为或．
12．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值：
(3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标．
【详解】（1）由，令得，
，，故，
又在轴负半轴，则
抛物线过，
设，代入：
，解得，
故抛物线解析式为
（2）由，得直线
设，
∵
∴
则
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∵轴，即
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
∴
设，为二次函数，开口向下
当时，取最大值，此时，
此时在轴上，，点在上方
要求最小值，为定值，即求最小值
设，则
将点向下平移1单位得，则
故，，
作关于轴的对称点，则
故的最小值为．
（3）原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得：
设，
由得，
解得，
则
由（1）得
①当在轴上方，
∵
∴
∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点
∴可以将直线看作直线向左平移个单位
即向左平移个单位，
则
联立
解得，（舍）
②过中点，作垂线于，与延长线交于
由得，中点即
设点，
，
，
由勾股定理得：
，故点，
设，
解得，即
联立：
，整理得
或（舍）
则点的横坐标为．
综上所述，的横坐标为或．
13．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴抛物线，
∵抛物线与x轴交于，
∴将代入中，得，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴令，得，即，
∵，，
∴直线的解析式为，
如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵直线与抛物线对称轴交于点L，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为，
∴设，，，
∴，，
∴，
∵，开口向下，
又∵，
∴时，取最大值，此时．
∵点E为点C关于x轴的对称点，，
∴，
∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，，
在中，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当且P，M，N，R四点共线时，
，
此时的最小值为的长．
如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
，，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴
（3）解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度，
设平移后的抛物线为，
设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，，
令，整理得，
∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，
∴，
解得，
∴平移后的抛物线，
设，
∵点E为点C关于x轴的对称点，
∴，
①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下：
在x轴上截取，连接，
∵，，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵在中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵线段关于的对称线段为，
∴，
∵，
∴，
∵在中，
，
在中，
，
∴，
∵，，
∴，
即此时直线与直线所成夹角为，且，
∴点K的横坐标为；
②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下：
∵线段关于的对称线段为，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵，，
∴，
此时，，
直线解析式为：，
∴联立，
解得或，
∴；
综上或．
14．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值；
(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得：
∴抛物线的解析式是；
（2）∵点在抛物线上，且点的横坐标为，
∴当时，得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵是线段上的一个动点（与， 不重合），且轴，
设，则，
∵点在点的上方，
∴，
∵，，
∴、两点之间横坐标的距离为：，
∴，
∴，
当时，最大为，
∴面积的最大值为；
（3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形．
设抛物线与轴交于点，
当时，得：，
∴，
∵，
∴轴，，
①如图，四边形为平行四边形（点与点重合），
∵，，，
∴，
∴，
②如图，四边形为平行四边形（点与点重合），
∵，，，
∴，
∴；
③如图，四边形为平行四边形，点在轴右侧，
∵点在轴上，，，
∴是平行四边形的对角线，且在轴上，
∴点和点到轴的距离相等，
∴，两点的纵坐标关于轴对称，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
∴；

④如图，四边形为平行四边形，点在轴左侧，
∵点在轴上，，，
∴是平行四边形的对角线，且在轴上，
∴点和点到轴的距离相等，
∴，两点的纵坐标关于轴对称，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，存在4个符合条件的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形；
（4）∵抛物线，
∴它的对称轴的解析式：，
∵，，
∴点关于直线对称点为点，
∵直线的解析式为，
当时，得：，
∴，
∵，
∴，
取点关于轴的对称点为，
连接交直线于点，交轴于点，
∴四边形的周长：
，
当点、、、四点共线时，取“”，此时四边形的周长的最小值为，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得：，
解得： ，
∴．
15．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
【详解】（1）解：（1）由题意得：，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点、、，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
∴，
∴当时，取得最大值，此时点，
∴，
∵为定值，
∴取最小值时，即为取最小值即可，
∴如图，将点C向右平移个单位得到点，连接交于点P，作垂直直线交于点Q，连接，则此时的值最小，
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移，则设抛物线向右向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为：，
∴将点D的坐标代入得：，解得：（负值已舍去），
∴新抛物线的表达式为：，
当点在上方时，
∵，
∴直线，
∵、，
∴直线的斜率k为，
∴直线的表达式为，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得（舍去）或，
∴点；
当点在下方时，
∵，
∴直线与直线关于直线对称，
∴设点关于直线：对称点为点，
则直线的表达式为：，
∴联立，解得，，
∴点与点的中点坐标为，
∴点，
设直线的表达式为：，
∴将点代入直线的表达式中，解得，
∴直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得（舍去）或，
∴点；
∴点F的坐标为或．
题型一：线段定值与数量关系问题
难点01：线段的数量关系
难点02：双斜线段数量关系
题型二：二次函数性质解决最值问题
难点03：竖直线段最值
难点04：点到定直线最值
难点05：周长最值
难点06：线段比的最值
题型三：几何模型解决线段最值问题
几何模型01：利用两点之间线段最短求最值
难点07：两定一动求最小值
难点08：两定一动求最大值
难点09：三角形周长最小
难点10：四边形周长最小
几何模型02：利用垂线段最短求最值
难点11：线段和最小
难点12：借助胡不归模型转化
难点13：借助直角三角形转化
几何模型03：借助阿氏圆求最值
难点14：线段和最小
几何模型04：利用点圆求最值
难点15：点圆最值
解决斜线段长问题的关键点:
关键点1解决抛物线中斜线段定值问题的一般步骤:
步骤一:设抛物线上所求点的坐标;
步骤二:作坐标轴的垂线(或平行线)构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理将斜线段长问题转化为竖直线段长的问题;
步骤三:通过直线解析式求出交点坐标，得到竖直线段长;
步骤四:根据等量关系列方程，求解，注意根据动点自变量的取值范围对解取舍.
关键点2斜线段转化为竖直或水平线段长的方法:
(1)作x轴或y轴的平行线，利用锐角三角函数转化成可以直接表示出线段长的水平或竖直线段;
(2)构造相似三角形，利用相似将斜线段转化为可表示的线段长.
利用二次函数性质求线段最值的一般步骤:
步骤一:设抛物线上点的坐标，确定自变量的取值范围;
步骤二:用横坐标或纵坐标表示线段长，化简为二次函数顶点式;
步骤三:利用二次函数性质，结合自变量的取值范围确定最值