专题21 二次函数中图形面积与角度（6解答压轴题型12难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：平面直角坐标系中图形面积计算
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【变式1-1】难点01：面积定值
（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)若抛物线上有一动点，使的面积为10，求点的坐标．
【变式1-2】难点02：不规则三角形面积最值
（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
2．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
3.（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
题型二：图形面积关系中的辅助线构造
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-1】难点03：同底等高面积问题
（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】难点04：面积数量关系问题
（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
【变式2-3】难点05：面积平分问题
（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E．
(1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
(2)联结，如果平分，求a的值；
(3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由．
4．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
(3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
7．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024·海南·三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
①设的面积为，求出关于的关系式；
②当为何值时，与相似？
如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三：构造一线三垂直解决特殊角问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【变式3-1】难点06：一线三垂直全等解题
（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标．
①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____．
【类比分析】
（2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标．
【变式3-2】难点07：一线三垂直相似解题
（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，求线段长度的最大值；
(3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线与直线l的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
2．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标；
(3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标．
3．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式．
4．如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，对称轴与x轴交于点C，点B是二次函数图象上一动点，交其对称轴于点D，点D，E关于点F成中心对称，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点B在对称轴右侧的二次函数图象上运动，求证：；
(3)若点B在二次函数图象上运动，当为等腰直角三角形时，直接写出点B的坐标．
6．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q．
【构建联系】
（1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上．
（2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标．
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，，顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使，若存在，求点的横坐标；
(3)点为点上方轴上的一点，抛物线上有两点E、F（在的左边），直线均与抛物线有且仅有一个交点，连接与轴交于点，求的值．
8．（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
(3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
题型四：构造辅助圆解决定角问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图1，点A、D是抛物线上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a(0