专题15 与圆的基本性质有关计算（3大题型4难点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题15 与圆的基本性质有关计算（3大题型4难点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），文件包含专题14平行四边形中的几何模型3大题型3难点3新考法题型清单原卷版docx、专题14平行四边形中的几何模型3大题型3难点3新考法题型清单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共146页， 欢迎下载使用。

题型一：与圆周角有关计算
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【变式1-1】难点01：已知圆周角构造圆心角
（2026·山东临沂·模拟预测）如图，为等腰三角形且，，圆O为的外接圆，圆上有一点D，连接，交于点E，点E恰好为边上靠近C的三等分点，已知，则圆O的半径为（ ）（提示： ，）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，过点O作于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点E恰好为边上靠近C的三等分点，
∴，
设，则
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴；
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圆O的半径为，
故选：B，
【变式1-2】难点02：已知直径构造90°圆周角
（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
2．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】B
【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
故选：B ．
4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接、，
∴，
∴当点、、共线时，的值最小，
∵E为的中点，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴点E为的中点时，的值最小，
∴的最小值为．
故选：A．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵
∴
∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，
如图，此时
∵
∴当重合时，重合，
此时，则
∴的最小值是
故答案为：．
7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，
∴
∵面积为24，
∴
∴，
过点C向上作线段，使得，
∵
∴
即
∴，
连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点D在以为直径的圆上，
∵，
记圆心为直径的中点，
即的半径
连接，并延长与交于一点，即为，
此时为的最大值，
故
∴
故答案为：．
10．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小．
【答案】
【详解】解：连接．
是的两条切线，
，，
．
，四边形的内角和为，
在四边形中，．
，
，
．
11．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求半径的长．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，即平分．
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
12．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵点C在上，过点C作的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故的半径为．
13．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若，，求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，即，
，
是线段的垂直平分线，
，
∴，
，
∵，
，
是的半径，
是的切线，
由弦切角定理可得：，
；
（2）解：交于点，，
设，则，，
，
，
，
在中，，
，
，
是的直径，
，
，
，
在中，，
，
由垂径定理可得：，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，，
在中，，，
由勾股定理可得，，
设的半径为，
，
，
在中，由勾股定理可得，，
，
解得．
题型二：与垂径定理有关计算
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接．
∵是的直径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2-1】难点03：与圆周角定理及其推论结合考查
（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
(1)当经过圆心O时（如图1），求的度数；
(2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【详解】（1）解：∵经过圆心O，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：连接、，如图所示：
∵与相切，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2-2】新考法01：传统文化情境
（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
【答案】D
【详解】解：如图，连接、，交于点，
设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：D．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：C．
2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接，
∵小圆与相切于，
，
，
在中，，
则剩余部分的面积为：，
故选：D．
3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设半径为R，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得．
故选：A．
4．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
即，
∵，
∴，
则，
故答案为：．
5．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ．
【答案】13
【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接，
依题意，，
∵，
∴，，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴，
在中，，
即这枚古钱币的半径为，
故答案为：13
6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，为直径，为弦，点C为弧的中点，以点C为切点的切线与的延长线交于点E，连接交于点F，若，，则的长度为 ；的长度为
【答案】 2
【详解】解：如图，连接交于点，连接，
∵点C为弧的中点，
∴，
∴，
∵是的切线，点C为切点，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；．
9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ．
【答案】6
【详解】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：
由垂径定理得：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
故答案为：6．
10．（2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵和是位似图形，位似中心为点O，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
即：，
解得：．
故答案为：．
11．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，点是劣弧的中点，连接，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
设的半径为，
∴，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
即的长为5．
12．（2026·安徽·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴（负值舍去）．
13．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）
如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
同理，在中，_____，
在中，_____，
∴___________，
即，
∴；
【结论应用】
（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．）
【深度探究】
（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为．
求证：．
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________．
【详解】（1）解：同理，在中，，
在中 ，，
∴，
即，
∴；
故答案为：，，，；
（2）解：，
，
由（1）知：，
，
，，
，；
（3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ，
是直径，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
同理，在中，，
在中，可得，
，
∴；
（4）解：过O作，连接，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
当时，最小，此时也最小，
过A作于，
在中，，
，
，
长度的最小值是，
故答案为：．
题型三：与圆内接四边形有关计算
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：，
，
，
∵，
．
故选：C．
【变式3-1】难点04：构造圆内接四边形，与圆周角定理及其推论结合考查
（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山西运城·一模）如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
又，
．
故选：．
2．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图连接，
由圆内接四边形的性质可得：，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选A．
3．（2025·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：在中，，
，
，
连接，则，
的半径为3，
的长为．
故选：．
5．（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 .
【答案】
【详解】解：∵正五边形的外接圆为,
∴，
∵点P是劣弧上一点,
∴观察图中，四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则 ．
【答案】140
【详解】解：四边形内接于，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：140．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接．
∵，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
8．（2024·安徽·模拟预测）如图，的半径为5，圆周角，则劣弧的长为 ．
【答案】
【详解】如图，连接，在优弧上取一点D，连接，
则，
∴，
∴劣弧的长为．
故答案为：．
9．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接、，如图，
四边形内接于，
，
，
，
、为的切线，
，，
，
，
．
故答案为：．
10．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是的内接四边形，，
∴，
连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
在中，；
故答案为：．
11．（2025·广东深圳·二模）如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作于点，则，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，，
，
四点共圆，记圆心为，且为的直径，
如图，作于点，连接、，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，此时有最小值，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
12．（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 12 6
【详解】解：过点作于点，如图所示，
，，
，．
在中，，
，
，
，，
，
点，，，四点共圆，
是此圆的直径时，最大，
，
时，最大，
当，有最大值，
当时，设与交于点，
，
，
，
，
，四边形为菱形，
，
，
，则，
的最大值为12，
如图，当点与点重合时，有最小值，
此时，
的最小值为6．
故答案为：12；6．
13．（2025·陕西榆林·一模）问题探究
（1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长；
问题解决
（2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）如图，连接，
为直径，
，，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），，
，，
，
，
过作于，如下图，
，
∴，，
，，
∴，
，
，
，
，
点，，，四点共圆，
如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点，
，
是直径，
，
，
又，则，
，则，
，
要使得最小，即最小，而是直径，，
当时，取得最小值，此时最小，
此时是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故玻璃桥长的最小值为．
14．（2026·江苏苏州·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接．
(1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°．
(2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点．
①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________．
【详解】（1）解：补全图形如图所示∶
∵，，
∴，
∵边关于对称的线段为，
∴，
∴，
故答案为：90．
（2）①，
理由如下：如图，连接，过点B作于点H，
∵边关于对称的线段为，
∴，，，
设，
∵，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
．
，
即，
∴，
∵，
∴，
②由①知：，
∵，
∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接，
当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大，
∵，
∴，即垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴,
∴，
∴，
∴面积最大值是．
此时，点E的位置如图所示，过点E作于K，

则，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
题型一：与圆周角有关计算
难点01：已知圆周角构造圆心角
难点02：已知直径构造90°圆周角
题型二：与垂径定理有关计算
难点03：与圆周角定理及其推论结合考查
新考法01：传统文化情境
题型三：与圆内接四边形有关计算
难点04：构造圆内接四边形，与圆周角定理及其推论结合考查

圆内接四边形的性质
性质1:圆内接四边形的对角互补;
性质2:任意一个外角等于它的内对角