专题16 切线的判定与阴影部分面积（3大题型2新考法4解题方法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：已知公共点证明切线
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且，点E在DC的延长线上，且．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若，，求DA的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：∵，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
【变式1-1】（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，试求与半径的数量关系．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长及的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，
∵，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵是直径
∴
∴即
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴
∵
∴，
又∵，
∴
解得：
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴的半径为
【变式1-3】（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
的面积是的面积的3倍，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
∴，
在中，．
【变式1-4】（新考法结合尺规作图）数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：

下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，长为半径作弧，交⊙于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：
①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹．
②进步小组通过连接，，证明，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“”“”或“”）．
(2)希望小组的作法：如图（3），连接，作的垂直平分线m交于点M，以点M为圆心，长为半径作圆，交于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接，由作图知，是的※，
∴，（理由：◎）
即
又是的半径，
∴为的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______；
◎处应该填写______（填序号）
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图（4），连接交于点C，过点C作的垂线n，以点O为圆心，长为半径作弧，交直线n于点D，连接交于点B，作直线，则直线即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．
【详解】（1）解：①补全图形如下：

②连接，由作图可知：，
又，
∴，
故答案为：．

（2）证明：连接，由作图知，是的直径，
∴，（理由：直径所对的圆周角是直角）
即
又是的半径，
∴为的切线．
故答案为：直径，③；
（3）证明：由作图知，，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴直线是的切线．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
设，
∴，，
∵是的切线，是的切线，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴半径为．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
．
为的半径，
是的切线．
（2）解：点B是的中点，
．
，
．
，
．
又，
．
．
在中．
．
即半径为．
3．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：设交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
设的半径为，则：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
5．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．
7．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，．
(1)求证：是的切线．
(2)若， ，求的长．
【详解】（1）证明：如图：连接，
在与中，
，
∴．
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图：连接．
∵，，
∴．
∴．．
∵为直径，
∴，．
设，，，
∴．
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
8．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使．
(1)求证：是的切线．
(2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
9．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵于点F，
∴,
∵
∴，
∵
∴，
∴，
即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∵
∴
解得，
∴
∴，
∴
10．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵，且，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：存在常数，，使等式成立；
理由如下：
如图，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
得：，
∵，
∴，
∴，．
11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求与的长度；
(3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
【详解】（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；
（3）过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型二：未知公共点证明切线
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求线段的长．
【详解】（1）方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
（2），为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【变式2-1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点A作交的延长线于点D，若．求证：为的切线．
【详解】证明：过点作于点
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
又．
为的切线．
【变式2-2】（与物理学科结合）（2024·陕西西安·二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动绕圆心O转动，当连杆恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记与的另一个交点为C，过点B作交直线l于点D，发现恰好平分．
(1)求证：直线l与相切；
(2)若，，求的半径．
【详解】（1）证明：如图，作于点E，
恰好平分，，，
，
点在上，为半径，
直线l与相切；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，，
，
设的半径为r，
在中，，，
由勾股定理得，，即，
解得，
即的半径为．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图，中，，点在线段上，连接，，过点作交的延长线于点，以为圆心，为半径作．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的半径，
∵，
∴为的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
2．如图，，，点O在上，交延长线于点D，，以点O为圆心，为半径作圆．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的长.
【详解】（1）证明：作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，设半径为R，
∵，
∴，
∴，
∴在中，
3．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【详解】（1）证明：过点作于点，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
4．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．

(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，

．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
5．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：如图，过点作于，则，
∵是的切线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴为的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
6．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，，是上一点，以点为圆心，长为半径，作圆交于点，是的切线，是切点，连接交于点，已知．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，，求的值．
(3)连接，分别延长，交于点．当为等腰直角三角形时，是否存在，使它们的相似比为？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）证明：连接，过点作于点．如图：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即为的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：
在中，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：当为等腰直角三角形时，不存在；
理由：如图，连接，
∵等腰直角三角形，，
∴，
当时，，
∵BD为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，与已知条件与的延长线相交于点矛盾，
∴当为等腰直角三角形时，不存在．
题型三：阴影部分面积
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（公式法）（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
【变式3-1】（和差法）（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图：连接相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是．
故选D．
【变式3-2】（容斥原理）（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，，
∴和为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【变式3-3】（等积转化）（2025·山西·模拟预测）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．
(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．
(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．
【详解】（1）解：如图，设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，
∴于，于，于，
∵的半径为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2025·四川绵阳·一模）如图，在菱形中，，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，令交于，
，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，
∴，
故选：A．
2．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接，
∵小圆与相切于，
，
，
在中，，
则剩余部分的面积为：，
故选：D．
4．（2026·山东·一模）如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，，，
由题意可知，点是点，，所在圆的圆心．
点A、P、B在同一直线上，
是的直径．
∵，
∴．
的直径为，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
故设边上的高为，（），
则，
即，
，
，
．
∵ ，
∴．
故选：A．
5.（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
7．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴轴，轴，
∵半径为1，
∴，
∴A点的纵坐标为1，
把代入，求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴第一象限中阴影的面积，
同理，第三象限中阴影的面积，
∴．
故答案为：．
8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可．
【详解】解：连接，
∵是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可．
【详解】解：过A作，
∵，，
，
∵，
∴，
，
，
，
设长度为，则，在中，由勾股定理得：
解得：，
，
，
则，，
，
．
故答案为：．
10．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【详解】解：构造扇形，扇形，连接，
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，
，
，
，
，
在菱形中，，
，
，
令交于点，
在中，，
，，
，，
．
故答案为：．
11．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】20
【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的半径为，
∵，
∴，即，
解得，
∴扇形的半径为7，
∵扇形面积，
∴，
，
，
∴图中阴影部分面积是20；
故答案为：20．
12．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，作于点，
由（1）知：，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
13．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
15．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
∵是正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
19．（2026·河北沧州·一模）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点．
(1)求与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若为的中点．
①探究与的数量关系，并说明理由；
②连接，若，求阴影部分的面积．
【详解】（1）如图1，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
又∵是的切线，
∴．
∴．
（2）①．
理由：如图2，连接，
∵是的中点，
∴是的直径，
∴．
∵，
∴．
②如图3，连接．
∵为的中点，为的中点，
∴．
又∵，，
∴四边形为菱形．
∴，，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
∴．点到的距离为
∴，．
∴．
20．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，．
(1)求证：是的切线；
(2)点C是优弧上一点，连接，，设．
①求的大小（用表示）；
②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，切点为A，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵，，
∴
，
∴；
②如图，连接，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：（负值舍去）
∴，
∴
．
21．（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．
(1)求点到直线的距离．
(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．
①当直线与优弧相切时，的值为______．
②当时，求阴影部分面积．
(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得；
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得；
综上，当直线与优弧相切时，的值为或，
故答案为：或；
②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，取得最大值，
此时的最大值为，
故答案为：．
题型一：已知公共点证明切线
新考法01：结合尺规作图
题型二：未知公共点证明切线
新考法02：与物理学科结合
题型三：阴影部分面积
解题方法一：公式法
解题方法二：和差法
解题方法三：等积转化法
解题方法四：充斥原理法
连接圆心与交点，证明直线垂直半径，即“连半径，证垂直”.常见的情形如下:
利用尺规过圆外一点作圆的切线．
已知：如图（1），为⊙的切线，切点为A．
求作：圆的另一条切线，切点为B．

过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径，即“作垂直，证半径”
证明圆心到直线的距离等于半径的常见证明方法:
1利用角平分线上的点到角两边的距离相等;
2证明三角形全等.
方法一：面积公式直接计算
观察图形，当所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时，可直接用面积公式进行求解
方法二：面积和差运算
方法三：等积转化法
方法四：充斥原理法
等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．
例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．
证明：连接，，过点作边上的高，则．
，
，
．
．