专题04一次函数（知识清单）（6大考点+14大题型+4大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题04一次函数（知识清单）（6大考点+14大题型+4大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），共23页。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点）
考点01一次函数的有关概念 考点02一次函数的图象与性质
考点03一次函数的平移 考点04待定系数法求一次函数解析式
考点05一次函数与方程、不等式之间的关系 考点06一次函数的应用
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（14大重难题型）
题型01正比例函数与一次函数的有关定义 题型02正比例函数与一次函数的图象
题型03正比例函数的性质 题型04根据一次函数的增减性求参数
题型05已知一次函数经过的象限求参数 题型06一次函数的平移
题型07一次函数的对称与旋转 题型08一次函数与坐标轴的交点
题型09一次函数的函数值 题型10一次函数与方程、不等式
题型11一次函数的规律探究 题型12一次函数的新定义问题
题型13一次函数的实际应用 题型14一次函数与几何综合
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点）
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"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02一次函数的性质的综合应用
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06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧）
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07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.理解正比例函数、一次函数的有关概念
2.能画正比例函数和一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)，并理解k>0和k＜0时图像的变化情况，掌握一次函数的有关性质，理解正比例函数、一次函数的平移问题
3.会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
4.理解一次函数与二元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
5.会用一次函数解决有关实际问题
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1.正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
2.一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
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1.正比例函数图象的性质
（1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
（2）当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
2.一次函数的图象和性质
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（3）一次函数图象与系数的关系:
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点03一次函数的平移
(1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象;
(2)-次函数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象;
(3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象;
(4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象.
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待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
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1.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3.二元一次方程（组）与一次函数的关系
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点06一次函数的应用
1.利润(费用)最值问题
通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值
2.行程问题
(1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义;
(2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围;
(3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。
3.方案选取问题
方案选取问题的解题步骤
(1)建立一次函数模型;
(2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计;
(3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案
题型01正比例函数与一次函数的有关定义
【典例】（2025·四川乐山·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，那么的值是 .
【答案】3
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入一次函数，求出的值即可．
【详解】解：点在一次函数的图像上，
．
解得：，
故答案为：3．
【变式练习】
1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案．
【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点，
∴，得，
∴，
当时，，故选项不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上．
【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上；
当时，．故不在一次函数图象上；
当时，．故在一次函数图象上；
当时，．故不在一次函数图象上；
故选：C．
3．（2024·广东·模拟预测）某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为．当时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了已知自变量的值求函数值，把代入一次函数解析式，求出y的值即可．
【详解】解：把代入得：．
故答案为：．
4．（2025·湖北武汉·三模）若一次函数的图象过点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，把代入得到，再代入计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图象过点，
∴把代入得到，
∴，
故答案为：．
题型02正比例函数与一次函数的图象
【典例】（2025·四川·中考真题）函数的图象为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
【变式练习】
5．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案．
【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大，
一次函数的图象过第一、二、三象限，
故A，B，C选项不符合题意；
当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小，
一次函数的图象过第一、二、四象限，
故D选项符合题意．
故选：D．
6．（2025·江西·模拟预测）已知压力 F、压强P 与受力面积S之间的关系式为．当受力面积S为定值时，则表示压强P 与压力 F 之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解题关键是由（定值）推导出与的正比例函数关系，进而判断图象．
【详解】∵压力 F、压强P 与受力面积S之间的关系式为，
∴当S为定值时，压强P 与压力F之间的函数关系是正比例函数，
故选：D．
7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果．
【详解】点在第二象限，
．
则一次函数经过一、二、四象限，
A选项图象符合题意.
故选：A．
题型03正比例函数的性质
【典例】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（ ）
A．x大于0时y小于0B．图像不一定经过第四象限
C．图像是倾斜直线D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项．
【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限，
，
函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小．
当时，；正比例函数的图像是倾斜直线．
所以选项A、C、D正确，选项B错误．
故选：B．
【变式练习】
8．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知，即可得出随的增大而增大．
【详解】解：，，
随的增大而增大，
，
∴经过一，三象限
∴B符合条件，C，D不符合条件
∵直线，
∴直线经过原点
点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合，
故选：．
9．（2024·上海·模拟预测）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可．
【详解】解：因为正比例函数，
所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，
即当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．
故答案为：．
10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可．
【详解】解：，
y随x的增大而减小，
当时，函数有最大值，最大值为；
当时，函数有最小值，最小值为；
当时，函数的最大值与最小值的和为．
故答案为：2．
题型04根据一次函数的增减性求参数
【典例】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【变式练习】
11．（25-26九年级上·重庆·月考）已知一次函数的随的增大而增大，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大是解题的关键．
直接根据一次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵一次函数的随的增大而增大，
∴．
故选B．
12．（2024·陕西·模拟预测）若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数的图象经过点，则，即，然后通过的值随值的增大而增大可得，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵的值随值的增大而增大，
∴，
∴，解得，
∴选项符合题意，
故选：．
13．（23-24九年级下·江苏淮安·月考）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质，当一次函数（，为常数， ）中时，函数值随的增大而减小，本题中，据此列不等式求解的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）中的取值对函数增减性的影响是解题的关键．
【详解】解：∵ 一次函数的函数值随的增大而减小，
∴ ，
解得．
故答案为： ．
题型05已知一次函数经过的象限求参数
【典例】（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出的取值范围即可．
【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点，
直线过二、三、四象限，
，
直线与轴的交点为，
把点为代入得，，
直线与直线在第二象限交于点，则．
故选：A．
【变式练习】
14．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴时， 时，
故选： ．
15．（2024·湖北·三模）若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围，进而即可求解．
由一次函数图象经过第一、二、四象限，可知在范围内确定k的值即可．
【详解】解：因为一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，
所以
所以k可以取，
故答案为：（答案不唯一）．
16．（2020·四川巴中·模拟预测）有5张卡片的正面分别写有数字， ， 2， 3， 4，它们除了数字不同外其余完全相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字能使一次函数的图象不经过第三象限的概率为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限，判定，根据简单地概率公式解答即可．
本题考查了一次函数的图象分布，简单地概率公式应用，熟练掌握图象分布，概率计算是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数的图象不经过第三象限，得，
a是负数的可能性有， 两种，一共有， ， 2， 3， 4，共5种可能性，
故图象不经过第三象限的概率为，
故答案为：．
题型06一次函数的平移
【典例】（25-26九年级上·陕西延安·月考）将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证．
根据平移规律，将向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得新函数解析式；将选项中代入解析式，计算值，匹配对应选项．
【详解】解：根据平移规律，一次函数向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得：．
当时，，
即新函数图象过点，对应选项C．
故选：C．
【变式练习】
17．（25-26九年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可．
【详解】解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位，
∴新函数为 ．
故选：C．
18．（25-26九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为，
故答案为：．
19．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键．
先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答．
【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到，
若直线过，则，解得：，
若直线过，则，解得，
∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则．
故答案为：．
题型07一次函数的对称与旋转
【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵直线
∴当时，，
∴直线与y轴的交点为；
∴当时，，
解得
∴直线与x轴的交点为
∵一次函数的图象与直线关于轴对称，
∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为
设一次函数的解析式为
∴
∴
∴此一次函数的解析式为．
故选：A．
【变式练习】
20．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可．
【详解】解：∵直线与直线关于轴对称，
∴
∴一次函数即，的图象不经过第二象限，
故选：B．
21．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键．
根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解．
【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，，
∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线（为常数）中，当时，，当时，，
∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，
∴，，
解得，，
故选：C ．
22．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解．
【详解】解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
题型08一次函数与坐标轴的交点
【典例】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值．
【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点，
令，得，
∴，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式练习】
23．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积．
【详解】解：∵在中，令，则，
解得：，
令，则，
∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为，
，
故选：B．
24．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
首先求出，，得为等腰直角三角形，当时，最小，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度．
【详解】解：如图所示：

∵直线，即，
令，则；
令，则，
解得，
，，
，，
是等腰直角三角形，
当时，最小，
∴．
故选：C．
25．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据建立等式．
利用解析式求出点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，再结合建立等式求解，即可解题．
【详解】解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
点是轴上一点（不与点A重合），且，
点在点右侧，
设点的坐标为，
则，
整理得，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
26．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．
(1)求点的坐标；
(2)当的面积是面积的时，求t的值．
【答案】(1)点；点
(2)或3秒
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将和分别代入，即可求得答案；
（2）通过勾股定理求得，根据题意，可知，接着证明，得到，从而表示出，通过列出方程，解出答案即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
点；
当时，，
∴点．
（2）解：点，
，
，，
∵动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，
．
如图，过点Q作，易得，
，
即，
，
．
∵的面积是面积的时，
∴，
解得或3秒．
题型09一次函数的函数值
【典例】（23-24八年级上·安徽亳州·月考）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟练掌握由k的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．先根据一次函数的解析式判断出其增减性，再求出与时y的值即可．
【详解】解：对于一次函数，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，，
故选：B．
【变式练习】
27．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得．
【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有，
∴对于这个一次函数，随的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
28．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性．
分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可．
【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大，
当时，的最大值是，
，
此时，即
当时，一次函数有最小值，最小值为；
当时，一次函数中，y随x的增大而减小，
当时，的最大值是，
，
此时，即
当时，一次函数有最小值，最小值为；
综上所述，的最小值是1或；
故答案为：1或．
题型10一次函数与方程、不等式
【典例】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意；
由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意；
把代入，
得，
解得，
故与的交点为，
令，则
解得，
即与轴的交点为，
由图象可知：当时，则，
故③不符合题意；
由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故④符合题意．
故答案为：①②④
【变式练习】
29．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1，
∴，
∴，
将代入中，得：，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
30．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集．
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点，
∴当时，则，
故选：B
31．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答．
【详解】解：当时，，解得，
∴交点坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：．
题型11一次函数的规律探究
【典例】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标为，，点C在直线上，，直线m与x轴的正半轴所成的角为；连接，，将绕点C顺时针旋转到，点B的对应点落在直线m上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线m上．如此下去，…，则的纵坐标是（ ）
A．2010B．2004C．1988D．1982
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故选：B．
【变式练习】
32．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标．
【详解】∵，点，
∴，
∴，
过作x轴于M， 过作y轴于N，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，，
同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同，
，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，，
根据图象得出，，，
直线的解析式为，
的纵坐标为，
把代入，解得，
的坐标是，
当时，，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键．
33．（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质．
根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标．
【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、，
正方形、、，
与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称，
，，
，即，，即，
，，
将与的坐标代入中得：
，
解得：，
直线解析式为，
设，则有坐标为，
代入直线解析式得：，
解得：，
坐标为，即，
依此类推．
故答案为：．
34．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可．
【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，，┈，
∴，，
∴，，
∴点的横纵坐标为，
∴，
∴的纵坐标为，
∴，
∴的面积．
故答案为：
题型12一次函数的新定义问题
【典例】（2025·湖南常德·三模）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ）
A．是“乾坤点”
B．函数的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为
【答案】D
【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D．
【详解】解：A．∵，
∴不是“乾坤点”，故选项A错误；
B．∵函数的图象上存在“乾坤点”，
∴，
解得，
∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误；
C．若函数是“乾坤函数”，
则，即，
∴，
∴方程无解，
∴函数的图象上不存在“乾坤点”，
∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误；
D．∵是“乾坤函数”，
∴，
化简，得，
∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴方程为，
解得，
∴，
∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确，
故选：D．
【变式练习】
35．（2025·湖南株洲·三模）定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（ ）
A．函数图象上的“零和点”就是原点
B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2
C．函数图象上至少有一个“零和点”
D．函数图象上有且只有一个“零和点”
【答案】C
【分析】本题考查相反数的应用，解题的关键是正确理解“零和点”．
根据“零和点”的定义，逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】A、联立和，得，解得，对应，即原点，故选项A不符合题意，
B、联立和，得，解得，故选项B不符合题意，
C、联立 和，得，整理为，无实数解，故无零和点，故选项C符合题意，
D、联立和，得，解得，唯一解，故选项D不符合题意，
故选：C．
36．（2025·江苏无锡·二模）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”．
①点是一次函数的“2倍值点”；
②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则；
③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”；
④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ）
A．①B．①④C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解．
【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”，
．
又，
点是一次函数的“2倍值点”，故①正确．
对于②，由题意， “2倍值点”的，
．
联立方程组，
．
二次函数存在唯一的“2倍值点”，
．
或，②错误．
对于③，联立方程组，
．
．
为正整数，
．
反比例函数总存在二个的“倍值点”．
设其中一点为，另一个点为，
．
这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误．
对于④，联立方程组，
．
函数的“倍点”为．
点与点的距离为．
又当时，
．即，
又为正整数，
不合题意，故④错误．
故选：A．
37．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”．
（1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ；
（2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点．
（1）根据新定义求解即可；
（2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即，
故答案为：；
（2）设函数上一点为，
由新定义可得，函数上一点为，
将代入，则，
则，
∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，
∴关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
38．（2025·湖南娄底·三模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是
【答案】①③
【分析】本题考查了函数的新定义问题，一次函数、反比例函数及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，根据“倍值函数”的定义逐一判断即可求解，理解新定义是解题的关键．
【详解】解：①当时，，方程无解，
∴函数不是“倍值函数”，故①错误；
②当时，，
解得或，
经检验，得或是原方程的解，
∴函数的图象上的“倍值点”是和，故②正确；
③当时，，
整理得，，
∵关于的函数的图象上有两个“倍值点”，
∴且，
解得且，故③错误；
综上，说法不正确的序号为①③，
故答案为：①③．
题型13一次函数的实际应用
【典例】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【答案】(1)
(2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元，
∴
根据题意得：；
（2）解：设可获得利润为元．
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为2250，
答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元；
（3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．
∴该函数图象的对称轴为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，W取得最大值，
∴，
∴（不合题意舍去），
∴．
【变式练习】
39．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元．
(1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元．
(2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元
(2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数．
（1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可；
（2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答．
【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
，两款帆布袋的单价分别为8元和5元；
（2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元，
，
，
随的增大而增大．
购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的，
，
且为正整数，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元．
40．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象．
(1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时；
(2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围；
(3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米．
【答案】(1)，
(2)
(3)2小时或5小时或小时
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键．
（1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间；
（2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可；
（3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是；
由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，
∴快车与慢车的速度比为，
∴快车的速度为，慢车的速度为，
∴快车到达乙地的时间为小时．
故答案为：，6．
（2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了，
则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为，
∴点C的坐标为，
设的解析式为，
则，解得：，
∴．
（3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时，
由图像可知：，
设函数解析式为，
则，解得：，
∴，
当，即时，解得：小时，
∴当快车行驶小时，两车相距200千米；
②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时，
由题意的点，，
设函数解析式为，
则，解得：，
∴，
当，即时，解得：小时，
∴当快车行驶5小时，两车相距200千米；
③当快车返回甲地前，两车相距200千米时，
由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时，
∴快车返回甲地的速度为，
∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为
小时．
综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米．
41．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？
【答案】(1)
(2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施．
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．
（1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可；
（2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
关于x的函数解析式为；
（2）解：①当时，得，
解得，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆；
②当时，得，
解得，
（分钟），
答：最晚10分钟需启动限流措施．
42．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．
(1)分别写出，关于的函数解析式．
(2)当时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
【答案】(1)
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；
②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
；
（2）解：①当时，，．
，
该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶．
该方案所需费用为（元）．
题型14一次函数与几何综合
【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键．
（1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答；
（2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
.
；
（2）解：设的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设点的横坐标为，则纵坐标为，
，，
垂直于轴，垂直于轴，，
，
四边形是矩形，
，
，
点在线段上，
，
当时，四边形的面积有最大值，
当时，点纵坐标为，
．
【变式练习】
43．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标．
【详解】矩形为“率矩形”，
设，
直线平分该矩形的面积，
直线经过点，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
故选：．
44．（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可．
【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示：
∵轴，在第一象限，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
45．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且．
(1)求的表达式；
(2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标；
(3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值．
【答案】(1)
(2)或．
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先确定、，则、，再证明，利用相似三角形的性质可得，即；然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D．此时；再求得直线为、为，然后分别联立和、和求点D的坐标即可；
（3）如图：过点C作于点G，取点G使得，易得，再证明可得，即当B、F、G三点共线时，有最小值．如图：过点G作轴于点H，轴于点K，易证可得，，进而得到，然后运用待定系数法求得直线的解析式为，易得、，最后代入求比例即可．
【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
，
，，
，
，
，
，
，
设的表达式为过点B、C
，解得：
的表达式为．
（2）解：如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D．
设直线为，直线为，
代入，代入，
得：，
为，为
联立和可得：，解得：，
坐标为，
联立和可得：，解得：，
坐标为
D的坐标为或．
（3）解：如图：过点C作于点G，取点G使得，
此时，，
，
由勾股定理得：，，
，
，
，即，
当B、F、G三点共线时，有最小值．
如图：过点G作轴于点H，轴于点K，
，
，，即
，
∴，
，，
，
由待定系数法可得：直线的解析式为：，
，
，
．
46．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C．
(1)求直线的表达式；
(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标；
(3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)、、 、；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先求得，然后代入求得a的值即可解答；
（2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可；
（3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可．
【详解】（1）解：直线交x轴于点A
，解得：，即，
将代入中可得：
，解得：，
直线的表达式：．
（2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B
∴令，则，即，
直线过点A交y轴于点C
令，则，即
∴，
设点P的坐标为，则
①当，
，即
，即，
∴，；
②当；
，即，
，即，
∴，．
综上，P的坐标为、、、．
（3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，
，解得： ，
∴
同理 ，解得：，即；
①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G，
，
∴，即，解得：；
②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q
，
，解得：．
综上所述：或．
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【错因】没有理解一次函数的平移规律
【避错关键】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b0时，呈上升趋势：当k0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b