数学八年级下册（2024）21.2 平行四边形第2课时教案设计

这是一份数学八年级下册（2024）21.2 平行四边形第2课时教案设计，共13页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课是人教版初中数学八年级下册“四边形”章节的核心内容，承接了平行四边形的定义与性质，首次引入“两条平行线之间的距离”这一重要概念.它不仅是对“点到点”“点到线”距离概念的延伸与拓展，也为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形，以及梯形、三角形中位线等知识奠定了理论基础，在整个平面几何体系中起到了承上启下的关键作用.
教材从平行四边形对边平行且相等的性质出发，引出“两条平行线之间的任何两条平行线段都相等”的结论.将上述结论推广，定义“两条平行线之间的距离”，并明确其与“点到点的距离”、“点到直线的距离”的联系与区别.
通过例3(等腰梯形中证明底角相等)，引导学生运用“平行线间的距离处处相等”这一性质，通过构造全等三角形来解决几何证明问题，实现知识的迁移与应用.

二、学情分析
1.已有基础
学生已经掌握了平行四边形的定义、对边平行且相等、对角线互相平分等基本性质.熟悉“点到点的距离”和“点到直线的距离”的概念，具备了初步的全等三角形证明能力.
2.存在困难
容易混淆“平行线间的距离”与“平行线间的线段”，难以理解“距离”作为一个长度的度量本质.在复杂图形中，难以主动构造出利用“平行线间距离相等”这一性质的辅助线，进行等积或全等转化.
3.认知特点
八年级学生的抽象思维能力正处于发展阶段，对直观、可操作的探究活动更感兴趣.倾向于通过观察、操作、猜想、验证的过程来学习新知识，而不是被动接受结论.

三、教学目标
1.理解并掌握“两条平行线之间的距离”的概念，能说出它与“点到点的距离”、“点到直线的距离”的联系与区别.
2.能运用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决相关的几何证明与计算问题.
3.通过观察、猜想、证明等活动，经历从平行四边形性质到平行线间距离概念的形成过程，发展逻辑推理能力.
4.感受数学知识之间的内在联系，激发学习几何的兴趣.

四、教学重难点
重点：理解并掌握“两条平行线之间的距离”的概念，能说出它与“点到点的距离”、“点到直线的距离”的联系与区别；
难点：能运用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决相关的几何证明与计算问题.

五、教学过程
复习回顾
问题1：什么是平行四边形？
答：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
问题2：平行四边形有哪些性质？
答：平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
师生活动：教师依次提问“什么是平行四边形?”“它有哪些性质?”，学生独立思考后回答，教师从边、角、对角线维度补充并板书规范结论.
设计意图：激活旧知，建立“定义——性质”知识框架，为新课学习做好铺垫，快速吸引学生进入学习状态.
探究新知
活动一：探究平行四边形性质的综合应用
问题3：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OEOF.
师生活动：教师出示问题3，引导学生结合平行四边形性质分析，口述证明思路；再提出问题4、5，学生分组讨论直线EF位置变化后的结论，教师点拨并板书全等证明与面积、周长分析过程.
分析：利用平行四边形对角线互相平分，证△AOE≌△COF，得OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COFOA=OC∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
问题4：改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
答：利用全等三角形依然可得OE=OF，结论成立.
问题5：□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
答：利用全等三角形得出被分成的两部分所包含的三角形面积分别相等.再加上对角线分成的四个三角形面积也相等，所以两部分的总面积是相等的，各占平行四边形面积的一半.
由全等三角形可知，AE=CF，BE=DF.两部分的周长都等于“平行四边形周长的一半”加上公共线段EF的长度，因此周长也相等.
总结：1.过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
2.这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
设计意图：以递进式问题链引导探究，巩固全等证明，渗透分类讨论思想，推导“过对角线交点直线平分平行四边形”的结论，为新课核心知识奠基.
活动二：探究平行线间的距离
问题6：如图， a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点，AB 和 CD 相等吗？为什么？
师生活动：教师先引导学生测量AB、CD长度，猜想结论；再追问证明思路，学生结合平行四边形定义与性质完成证明，教师总结“平行线间平行线段相等”.
量一量：
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
追问：你能证明你的结论吗？
问题7：你能证明你的结论吗？
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
（平行四边形的定义）．
∴AB＝CD（平行四边形的性质）．
总结：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
设计意图：通过“测量——猜想——证明”的探究路径，让学生经历知识形成过程，从真观感知过渡到逻辑推理，深化对平行四边形性质的理解与应用.
问题8：如图，如果直线 a∥b，c⊥b，d⊥b，那么 AB 和 CD 相等吗？
师生活动：教师引导学生由c⊥b，d⊥b推出 AB∥CD，结合“平行线间平行线段相等”得出AB=CD，进而归纳“平行线间距离处处相等”；再通过对比，让学生辨析三种距离的联系与区别.
答：∵c⊥b，d⊥b，
∴c∥d，即 AB∥CD．
∵AC∥BD，
∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得 AB＝CD．
总结：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离
如图，a∥b，A 是 a 上的任意一点，AB⊥b，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a，b 之间的距离．
两条平行线之间的距离处处相等．
问题9：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
两点间的距离：两点之间线段的长度.
点到直线的距离：过此点作直线的垂线段的长度.
两条平行线间的距离：在一条平行线上取一点，此点到另外一条直线的距离
联系：都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离.
设计意图：从特殊到一般，完成从“线段相等”到“距离相等”的概念升华，通过对比辨析，帮助学生厘清概念本质，构建完整的距离知识体系.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例1，引导学生结合平行线间距离性质分析思路，口述证明过程；再抛出追问，组织学生分组探究第二种证法，教师点评并板书两种证明.
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
分析：

证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.(两条平行线之间的距离处处相等)
又 AB = DC，
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
追问：你还有其他证明方法吗?
方法二：
证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
设计意图：运用新知解决梯形证明题，巩固平行线间距离的应用；通过一题多解，培养学生的几何转化能力，拓宽解题思路.
【经典例题】
师生活动：教师出示例2，引导学生利用角平分线性质和平行线间距离求AP最小值；再出示例3，组织学生分组讨论等积转化和线段相等的证明思路，教师板书关键步骤并点评.
例2 如图，在△ABC中，C=90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线 l //AB，点P为直线 l 上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC=8，则AP最小值为 .
分析：∵C=90°，△BCD的面积为16，BC=8，
∴12BC·CD=16，即CD=4.
作DE⟂AB，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE=CD=4,
∵直线l //AB，∴AP最小值与DE相等为4,
故答案为：4.
答：4
例3 如图，在平行四边形ABCD中，E、F两点分别在BC、CD边上，EF//BD，连接AF，AE，分别交BD于P，Q两点.
(1)求证：S△ABE=S△ADF；
(2)求证：BQ=DP.
分析：(1)连接DE，BF，根据平行线间的距离相等可得S△DFB=S△BDE，根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD//BC，CD//AB，根据平行线间的距离相等得出S△ABE=S△BDE，S△ADF=S△DFB，即可得证.
(2)过A作AM⟂BD于M，过E作EN⟂BD于N，根据S△ADP+S△PDF=S△ABQ+S△BEQ，进而得出12PD·(AM+EN)=12BQ·(AM+EN)，即可得证.
(1)证明：连接DE，BF,
∵FE//BD,
∴S△DFB=S△BDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∴S△ABE=S△BDE，S△ADF=S△DFB，
∴S△ABE=S△ADF
(2)证明：过A作AM⟂BD于M，
过E作EN⟂BD于N，
∵S△ADF=S△ABE
∴S△ADP+S△PDF=S△ABQ+S△BEQ，
∴12 PD·AM+12 PD·EN=12BQ·AM+12BQ·EN
∴12PD·(AM+EN)=12 BQ·(AM+EN)
∴PD=BQ.
总结：利用平行线间等积转化，结合平行四边形性质，通过面积或全等证线段相等.
设计意图：通过两道例题，将“平行线间距离处处相等”的性质应用于最值求解和等积证明，强化知识迁移能力，培养学生的几何转化思想.
课堂练习
【教材练习】
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，BE 平分∠ABC 且与 AD 相交于点 E，DF∥EB 且与 BC 相交于点 F. 求∠1 的大小.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，
∴∠ADC = ∠ABC = 70°，AD∥BC.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBC = 12 ∠ABC = 35°.
又 DF∥EB，∴∠DFC = ∠EBC = 35°.
∵AD∥BC，∴∠ADF = ∠DFC = 35°.
∴∠1 =∠ADC－∠ADF = 35°.
2. 如图， □ ABCD 的周长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O， 点 E 在 AD 上，OE ⊥ AC . 求△CDE 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且周长为 16，两条对角线的交点为 O，
∴AD + CD = 16÷2 = 8，OA = OC.
又 OE ⊥ AC，
∴OE 垂直平分 AC，∴AE = CE，
∴△CDE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8.
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 3，AB = 4， BC = 5，E 为边 BC 上一点，AB∥DE. 求 AD，BC 之间的距离.
解：∵AD∥BC，AB∥DE，
∴DE = AB = 4，BE = AD = 3.
∴CE = BC－BE = 5－3 = 2.
在 Rt△DCE 中，
CD =DE2−EC2=42−22 = 23 ，
∴AD，BC 之间的距离是 23.
师生活动：教师出示三道练习题，先让学生独立完成，再组织小组交流；随后邀请学生代表上台讲解解题思路，教师针对易错点(如垂直平分线性质、平行线间距离计算)进行点评和强调.
设计意图：通过分层练习，巩固平行四边形性质、角平分线与平行线间距离等核心知识，培养学生独立思考和规范表达的能力，及时反馈学习效果.
【限时训练】
1.如图，a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为重足，则下列说法错误的是( )
A. CE//FG B. CE=FG
C. A、B两点的距离就是线段AB的长 D. 直线a、b间的距离就是线段CD的长
答：D
2.如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若□ABCD的周长为14，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A. 13B. 12C. 10D. 8
答：C
3.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=( )
A. 6：2：1B. 3：2：1C. 6：3：2D. 4：3：2
分析：连接BF.设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC=3：1，BE=OB，AF/​/OE
∴S△OBF=S△AOB=m，S△OBC=13m，S△AOC=2m3，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC=m：2m3：13m=3：2：1
故选：B．
答：B.
4.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，连接AE、CF、DE．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AE=2BE，求证：ED平分∠AEC．
【答案】(1)证明 ∵ E，F分别为BC，AD的中点，∴EC=12BC，AF=12AD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠ADC，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD,∠B=∠FDC,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF．

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，AD＝BC，又∵AE＝2BE，BC＝2BE，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵AD // BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠AED＝∠CED，∴ED平分∠AEC．
5.已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD的一点，连接DF，BG，AG，∠1=∠2．
(1)若CF=2，AE=3，求BE的长；
(2)探究∠CEG与∠AGE的数量关系，并证明．
【答案】解：(1)∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE= AB2−AE2= 16−9= 7；
(2)∠AGE=2∠CEG，理由如下：
延长AG，交BC延长线于M，
在△ECG和△DCF中，
∠2=∠1∠GCE=∠FCDEC=DC，
∴△ECG≌△DCF(AAS)，
∴CF=CG，
∵CE=CD，F为CE的中点，
∴DG=CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADG=∠MCG，
在△ADG和△MCG中，
∠ADG=∠MCGDG=CG∠AGD=∠MGC，
∴△ADG≌△MCG(ASA)，
∴AG=MG，
∵∠AEC=90°，
∴EG=12AM=GM，
∴∠GEC=∠M，
∵∠AGE=∠GEC+∠M，
∴∠CEG=12∠AGE，
∴∠AGE=2∠CEG．
师生活动：教师出示分层练习题，学生先独立完成选择与证明题；小组交流疑难后，代表讲解思路，教师针对平行线间距离、全等证明等易错点重点点拨并规范书写.
设计意图：通过梯度练习整合本节课核心知识点，兼顾基础巩固与能力提升，检测学生知识掌握情况，培养逻辑推理与规范解题的能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.什么是两条平行线之间的距离？
2.夹在两条平行线之间的任何两条平行线段有什么关系？
3.平行线间的距离有哪些性质?
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：“反向思考”大挑战
任务：探究“如果一条直线上有两个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是否平行”这一逆命题.
要求：1.分两种情况讨论：
情况一：两个点在另一条直线的同侧，画图并证明两直线是否平行.
情况二：两个点在另一条直线的两侧，画图并判断两直线的位置关系.
2.请用一句话进行归纳总结.