上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期综合练习（3）数学试卷（含答案）

这是一份上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期综合练习（3）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的为( )
A. E与FB. F与GC. E与HD. G与H
2.若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
3.已知等差数列an中，a9=3π8，设函数f(x)=(4cs2x2−2)sinx+cs2x+2，记yn=f(an)，则数列yn的前17项和为( )
A. 9B. 17C. 26D. 34
4.已知f(x)=lg5(1−x)x0)的左右焦点，l是Γ的一条渐近线，以F2为圆心的圆与l相切于P.若双曲线Γ的离心率为 3，则sin∠PF1F2= ．
15.已知OA、OB、OC为空间中三个单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC、OB与OC夹角为120∘，点P为空间一点，满足OP=1且OP⋅OC≤OP⋅OB≤OP⋅OA，则OP⋅OC最大值为 ．
16.已知各项均为正整数的数列a1,a2,⋅⋅⋅,a8满足：对任意正整数n(2≤n≤7)，均存在i(1≤i≤n−1)，使得an+1=2an−ai.若a2m=2m(1≤m≤4)，则满足条件的数列的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BC1的中点．
(1)求证：BC1⊥平面CDE；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
18.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=lg122+xx−2．
(1)求证：y=f(x)是奇函数；
(2)若关于x的方程f(x)=lg12(x+k)在区间[3,4]上有解，求实数k的取值范围．
19.(本小题14分)
一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．
(1)设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；
(2)求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．
20.(本小题14分)
双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)、F2(c,0)(c>0)，过点F1的直线l与Γ右支在x轴上方交于点A．
(1)若a= 5，点A的坐标为(3,4)，求c的值；
(2)若AF2⊥F1F2，且a,b,c是等比数列，求证：直线l的斜率为定值；
(3)设直线l与Γ左支的交点为B，c=3，当且仅当a满足什么条件时，存在直线l，使得|AB|=|AF2|成立．
21.(本小题14分)
设函数y=f(x)的定义域为D，在D上仅有一个极值点x0，方程f(x)=0在D上仅有两解，分别为x1、x2，且x1m+3，即x1+x221a，即证lnx1+lnx2>2．
lnx1+lnx2=lnx2−lnx1x2−x1x1+x2，
不妨设01时，t+1t−1lnt>2．
令g(t)=lnt−2(t−1)t+1,t>1，求导并整理，得g′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，
因此函数y=g(t)在区间(1,+∞)上单调递增，
其值域为g(1),+∞，而g(1)=0，
因此当t>1时，g(t)>0，即t+1t−1lnt>2，
从而x1+x22>1a得证，即函数y=f(x)在D上的极值点左偏移．